Revision 2694186 of "Definicija i teorema" on bswiki

{{Nedostaju izvori}}
Osnovni pojmovi;definicije i teoreme:

P: Paralelogram je centralno simetrična figura
Q:Romb je paralelogram
P'''→'''Q:Romb  je centralno simetričan

U geometriji osnovni pojmovi su        [[tačka, prava i ravan]]; a osnovne relacije (regulišu neke osnovne veze između objekata ) su pripada, leži na. Za ostale pojmove uvode se definicije . definisati neki pojam znaći objasniti neki pojam uz pomoć osnovnih i već ranije definisanih pojmova.
=== Definicija ===
Definicija je  ispravna u matematici  samo onda kada ona sadrži osnovne pojmove koje smo ranije definisali.

Pri definisanju treba se čuvati greške;
#Kada u definiciji koristimo isti pojam samo pod drugim imenom. npr: prave su normalne ako su okomite.( normalno i okomito isto značenje)
#Kada definišemo termin B pomoću termina A ili nekog drugog izvedenog  termina A* a da pri tome nije definisan npr: pravi ugao je ugao koji čine  dvije okomite prave.
U definiciji
Dvije prave su okomite ako one ćine pravi ugao nije definisan ni jedan od ova dva pojma.
=== Genus i specifične odlike- razlike ===
Primjer:
[[Paralelogram]] je [[četverougao]] kome su naspramne stranice paralelne.

Iz ove definicije proizlazi
#paralelogram je četverougao
#skup paralelograma je podskup skupa četverouglova
#paralelogram je vrsta četverouglačije su naspramne stranice paralelne.
To znaći da je pojam četverougla genus (rod tj šira grupa) za pojam paralelograma.

Naspramne stranice su paralelne –specifična odlika (odlika vrste) paralelograma po kojima se paralelogrami razlikuju od četverouglova. Svaka definicija sadrži  genus i specifična odlika

Definicija:[[ Kružnica]] je skup tačaka koje su jednako udaljene od stalne tačke  nije ispravna jer nije navedeno da se te tačke nalaze u jednoj ravni, ovo je definicija lopte; treba reći skup tačaka ravni.

Definicija: [[paralelogram]] je [[četverougao]] kome su naspramne stranice paralelne i jednake- nije ispravna jer je suvišno rečeno jednake. Naspramne stranice samim tim što su paralelne i jednake.
Definicija: paralelogram je četverougao kome su naspramne stranice paralelne i jednake- nije ispravna jer je suvišno rečeno jednake. Naspramne stranice samim tim što su paralelne i jednake su.
Matematika rezultate svojih dokazivanja i zaključivanja formuliše u logičke [[sud]]ove (stavove). Pri izvođenju nekih stavova polazimo od početnih stavova. Ove početne stavove nazivamo [[aksiom]]e. U matematičkoj teoriji njihov broj je mali.

Primjer

*Datom tačkom A prolazi jedna i samo jedna [[prava]] [[paralelna]] datoj pravoj.
Pri izboru  aksioma bitno je da su one saglasne našem iskustvu.

Treba razlikovati definicije i teoreme. Teoremama tvrdimo pa ih dokazujemo. Definicijama sporazumno dajemo naziv nekom pojmu. Za njh se  ne postavlja pitanje istinitosti nego pitanje da li odgovaraju tačno pojmovima koje definišemo i da li su dovoljno prikladne- pogodne. Nema smisla govoriti o dokazivanju.

=== Teoreme ===
Teorem je iskaz u kojem se uočava da neki matematički pojam (uz, možda, još neke uvjete) ima još neke karakteristike osim onih datih u definiciji tog pojma i ta se tvrdnja mora dokazati. Dok se tvrdnja ne dokaže, tu tvrdnju zovemo propozicijom, hipotezom.

Na neki način se dokazane propozicije dijele na tri grupacije (ovo nije stroga matematička podjela, nego čisto zbog lakšeg razumijevanja.

Pod pojmom teorema podrazumjevamo istinit stav ali tu istinitost treba dokazati. Dokazati teoremu znaći izvesti je formalno logički iz predhodno usvojenih aksioma, definicija i teorema. Izgradnja neke matematičke teorije sastoji se upravo u tome. Najčešće se izražava u implikacijskom obliku   P '''→''' Q. (p je hipoteza (pretpostavka), a q zaključak ( tvrdnja).

Primjer 
P zbir uglova trougla je 180<sup>0</sup> ovo nije implikacijski oblik. Implikacijski oblik je: ako su α β γ uglovi trougla onda je   
     
α+ β+γ=180x<sup>0</sup>

Prva jezički sažetija ,a druga matematički korisnija.
U vezi teorema imamo
p '''→'''  q   teorema
q '''→'''  p obratna teorema  
''¬'''Q '''→''' '''¬'''P kontrapozicija
'''¬'''P'''→''' '''¬'''Q suprotna teorema
Tautologija je formula koja je uvijek istinita.
Ako su dvije prave normalne na treću pravu c u jednoj ravni onda su one paralelne.
p: a,b  iz α  a norm c & b norm c
q: a║b
pretpostavimo da  nije a║b
tada bi se prave a i b sjekle u tački A.
Pošto je a norm c & b norm c znaći tačkom C prolaze 2 prave normalne na [[pravu]] c
Osnovu geometrije kao i svake druge matematičke nauke čine
#skup osnovnih termina koje se ne dokazuju
#skup osnovnih stavova – aksioma koji  se ne dokazuju
Svi drugi termini se dokazuju.
== Dokaz teoreme ==
Logički dokazati teoremu znači  dokazati da je to logička posljedica predhodno utvrđenih  stavova- teorema i aksioma.
Vrste dokaza:
#Matematička indukcija
#Progresivni sintetički dokaz
#Regresivni analitički dokaz
#Indirektni

== Matematička indukcija ==
Princip  matematičke indukcije koji glasi:
Ako neka tvrdnja vrijedi za broj <math>\ 1</math>, i ako iz pretpostavke da vrijedi za neki prirodni broj   <math>\ n</math>.   možemo pokazati da vrijedi i za <math>\ n+1</math> za <math>\ n \in N </math>

Dokaz matematičkom indukcijom se provodi u tri koraka

1.faza provjerimo stav ili formulu u kojoj formuliše n iz N a koji želimo dokazati za neki prirodni broj n = k<sub>0</sub> najčešće za k<sub>0</sub> =1
2.faza pretpostavimo istinitost za n = k<sub>0</sub>  i na osnovu te tvrdnje da važi za n = k+1

3.faza ako je utvrđeno1) i 2)  zaključujemo da tvrdnja koju dokazujemo vrijedi za svako n> k<sub>0</sub>

Ovom metodom dokazuju se tvrdnje o jednakostima, nejednakostima, nizovima...
Primjer

:<math>\ 1+2+3+... n = \frac{n(n+1)}{2})</math>
:za <math>\ n=1</math>
:<math>\ 1=\frac{1*2}{2})</math>
: neka važi za <math>\ n</math>
:Dokažimo za <math>\ n+1</math>
:<math>\ 1+2+3+... n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2})+(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2}) </math>
==Regresivna indukcija==
Istinitost nekog metoda <math>P(n)</math>, za svako <math>n</math> po metodu regresivne indukcije slijedi iz:
#<math>P(n)</math> je tacno za beskonacno mnogo prirodnih brojeva <math>n</math>
#za sve prirodne brojeve (n >1)P(n)= >P(n-1) je tacan iskaz.

Primer 
Dokazati da za sve prirodne brojeve <math>n</math> i sve nenegativne realne brojeve <math>a_1, a_2,...a_n</math> vazi nejednakost aritmeticke i geometrijske sredine

<math>  \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}  \ge         \sqrt[n]{a_1*a_2*...*a_n}</math>

Prvo matematickom indukcijom po <math>k</math> dokazujemo da tvrdjenje vazi za sve prirodne brojeve oblika <math>n=2^k, k \in N</math>.
za <math>k=1 (n=2)</math> imamo
<math>  \frac{a_1+a_2}{2}  \ge         \sqrt{a_1*a_2}</math>

<math>a_1+a_2\ge 2\sqrt{a_1*a_2}</math>

<math>a_1-2 \sqrt{a_1*a_2}+a_2 \ge 0</math>

<math>(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2\ge 0</math>
To znaci nejednakoxt vazi za

<math>n\in \begin{Bmatrix}2,2^2,2^3,...\end{Bmatrix}</math>

Pretpostavimo sada da je nejednakost tačna za neki prirodan broj <math>n</math> i izaberimo
:<math>a_n =\frac{1}{n-1}(a_1+a_2+...a_{n-1})</math>

<math>\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}+ \frac{a_1+a_2+...a_{n-1}}{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_n\frac{a_1+a_2+...a_{n-1}}{n-1}}</math>

<math>\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_{n-1}} \sqrt[n]{ \frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1}}</math>

<math>(\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n})^{1-\frac{1}{n}}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_{n-1}}</math>

<math>\frac{a-1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1} \ge \sqrt[n-1]{a_1*a_2...a_{n-1}} </math>

Dokazalismo da nejednakost vazi i za <math>n-1</math>, pa zakljucujemo da vazi za sve prirodne brojeve.
U datoj nejednakosti za <math>n\ge 2</math> jednaskost važi ako i samo ako je <math>a_1=a_2=...a_n</math> .

==Rekurentna indukcija==
Postoje tvrdnje koje se dokazuju metodom matematicke indukcije, ali je pri dokazivanju indukcijskog koraka prakticnije pretpostaviti <math>P(n-k), P(n-k+1),...P(n)</math> i dokazati <math>P(n+1)</math>. Drugacije rečeno, ne cini se korak sa <math>n</math> ka <math>n+1</math>, većc sa nekoliko <math>k</math> koji prethode <math>n+1</math> ka <math>n+1</math>. Ako indukcijski korak ima k pretpostavki ovaj princip se moze zapisati:
:<math>P(1)\land P(2)\land  ...\land P(k)(\forall n \ge k )(P_{(n-k)}\land ...\land P(n)=> P{(n+1)})(\forall n \in N )P_n</math>
Ovaj princip matematicke indukcije je ekvivalentan osnovnom principu.

Primjer

Nela je
:<math>a_1=4</math>
:<math>a_2=12</math>, ...
:<math>a_{n+2}= 4a_{n+1-4a_n}</math> za <math>n \ge 1</math>

Dokazati
:<math>a_n=2^n-n*2^n</math>
:<math>a_1=2^1+1*2^1=2+2=4</math> i <math>a_2=2^2+2*2^2=4+8=12</math> za <math>n=1</math> i <math>n=2</math>
:vazi za <math>n</math> i <math>n+1</math>
:<math>a_{n+2}=4 (a_{n+1} -a_n)=4 (2^{n+1}+(n+1)2^{n+1}-2^n - n2^n)=</math>
<math>4*2^n(2+2n+2-1-n)=2^{n+2}(3+n)=2^{n+2}[(2+n)+1]=2^{n+2}+(n+2)2^{n+2}</math>
Jednakost vrijedi za sve prirodme brojeve
== Transfinitna indukcija==

Kod pojedinih tvrdnji o prirodnim brojevima za dokaz da važi <math>(\forall n \in N)P(n)</math> treba dokazati sljedece
#<math>P(1)</math> tacan iskaz
#<math>\forall n \in N)</math> ako su <math>P(1),...,P(n)</math> tacni iskazi onda je <math>P(n+1</math>) tacan iskaz.
Ova indukcija se zapisuje na sljedeci nacin
:<math>P(1) \land (\forall n \in N)(\forall k \le n)P(k) = > P(n+1)= > (\forall n \in N)P(n)</math>

Primjer
Dokazati da je svaki prirodan broj <math>n\ge 2</math> prost ili je proizvod prostih brojeva.

# za <math>n=2 </math> broj 2 je prost pa je tvrdnja tacna.
# neka je <math>n\ge 2</math> prirodan broj i neka tvrdnja vaz za <math>k < n</math>. broj n je prost pa je tvrdnja tacna.
Ako je slozen broj onda je <math>n=k_1k_2</math> za <math>k_1</math> i <math>k_2</math> prirodne brojeve manje od <math>n</math>.
Za <math>k_1</math> i <math>k_2</math> vazi indukcijska pretpostavka pa su oni prosti brojevi. ili proizvod prostih brojeva pa je <math>n=k_1*k_2</math>.

=== progresivni sintetički dokaz ===
Treba dokazati  p =>q  

p =>q<sub>1</sub> =>q<sub>2</sub>=>q<sub>3</sub> =>... =>q   

U ovom lancu sudova javljaju se neki novi sudovi ( aksiome i teoreme)koje smo ranije dokazali i na koje treba da se pozovemo

=== regresivni (analitički) dokaz ===
Ide se obrnutim putem
q =>p<sub>1</sub> =>p<sub>2</sub> =>p<sub>3</sub> =>... =>p

=== Indirektni ===

Dokazujemo pretpostavkom da teorema nije istinita i dolazimo do netačne pretpostavke.

== Lema ==

'''Lema'''  je jednostavan teorem. Koristi  se samo za  dokazivanje složenih teoreme. Ona  nema neku korist. Sama   po sebi nije nešto posebno, posebno ako je koristimo  ponovo na samu sebe i time dokaže da je tačna tvrdnja koju dokazujemo .

== Korolar ==

'''Korolar''' je dokazana teorema koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.




{{stub-mat}}
[[Kategorija:Matematika]]