Revision 2740205 of "Definicija i teorema" on bswiki

{{Nedostaju izvori}}
Osnovni pojmovi;definicije i teoreme:

P: Paralelogram je centralno simetrična figura
Q:Romb je paralelogram
P'''→'''Q:Romb  je centralno simetričan

U geometriji osnovni pojmovi su        [[tačka, prava i ravan]]; a osnovne relacije (regulišu neke osnovne veze između objekata ) su pripada, leži na. Za ostale pojmove uvode se definicije . definisati neki pojam znaći objasniti neki pojam uz pomoć osnovnih i već ranije definisanih pojmova.
== Definicija ==
Definicija je  ispravna u matematici  samo onda kada ona sadrži osnovne pojmove koje smo ranije definisali.

Pri definisanju treba se čuvati greške;
#Kada u definiciji koristimo isti pojam samo pod drugim imenom. npr: prave su normalne ako su okomite.( normalno i okomito isto značenje)
#Kada definišemo termin B pomoću termina A ili nekog drugog izvedenog  termina A* a da pri tome nije definisan npr: pravi ugao je ugao koji čine  dvije okomite prave.
U definiciji
Dvije prave su okomite ako one ćine pravi ugao nije definisan ni jedan od ova dva pojma.
== Genus i specifične odlike- razlike ==
Primjer:
[[Paralelogram]] je [[četverougao]] kome su naspramne stranice paralelne.

Iz ove definicije proizlazi
#paralelogram je četverougao
#skup paralelograma je podskup skupa četverouglova
#paralelogram je vrsta četverouglačije su naspramne stranice paralelne.
To znaći da je pojam četverougla genus (rod tj šira grupa) za pojam paralelograma.

Naspramne stranice su paralelne –specifična odlika (odlika vrste) paralelograma po kojima se paralelogrami razlikuju od četverouglova. Svaka definicija sadrži  genus i specifična odlika

Definicija:[[ Kružnica]] je skup tačaka koje su jednako udaljene od stalne tačke  nije ispravna jer nije navedeno da se te tačke nalaze u jednoj ravni, ovo je definicija lopte; treba reći skup tačaka ravni.

Definicija: [[paralelogram]] je [[četverougao]] kome su naspramne stranice paralelne i jednake- nije ispravna jer je suvišno rečeno jednake. Naspramne stranice samim tim što su paralelne i jednake.
Definicija: paralelogram je četverougao kome su naspramne stranice paralelne i jednake- nije ispravna jer je suvišno rečeno jednake. Naspramne stranice samim tim što su paralelne i jednake su.
Matematika rezultate svojih dokazivanja i zaključivanja formuliše u logičke [[sud]]ove (stavove). Pri izvođenju nekih stavova polazimo od početnih stavova. Ove početne stavove nazivamo [[aksiom]]e. U matematičkoj teoriji njihov broj je mali.

Primjer

*Datom tačkom A prolazi jedna i samo jedna [[Prava (geometrija)|prava]] [[paralelna]] datoj pravoj.
Pri izboru  aksioma bitno je da su one saglasne našem iskustvu.

Treba razlikovati definicije i teoreme. Teoremama tvrdimo pa ih dokazujemo. Definicijama sporazumno dajemo naziv nekom pojmu. Za njh se  ne postavlja pitanje istinitosti nego pitanje da li odgovaraju tačno pojmovima koje definišemo i da li su dovoljno prikladne- pogodne. Nema smisla govoriti o dokazivanju.

== Teoreme ==
Teorem je iskaz u kojem se uočava da neki matematički pojam (uz, možda, još neke uvjete) ima još neke karakteristike osim onih datih u definiciji tog pojma i ta se tvrdnja mora dokazati. Dok se tvrdnja ne dokaže, tu tvrdnju zovemo propozicijom, hipotezom.

Na neki način se dokazane propozicije dijele na tri grupacije (ovo nije stroga matematička podjela, nego čisto zbog lakšeg razumijevanja.

Pod pojmom teorema podrazumjevamo istinit stav ali tu istinitost treba dokazati. Dokazati teoremu znaći izvesti je formalno logički iz predhodno usvojenih aksioma, definicija i teorema. Izgradnja neke matematičke teorije sastoji se upravo u tome. Najčešće se izražava u implikacijskom obliku   P '''→''' Q. (p je hipoteza (pretpostavka), a q zaključak ( tvrdnja).

Primjer 
P zbir uglova trougla je 180<sup>0</sup> ovo nije implikacijski oblik. Implikacijski oblik je: ako su α β γ uglovi trougla onda je   
     
α+ β+γ=180x<sup>0</sup>

Prva jezički sažetija ,a druga matematički korisnija.
U vezi teorema imamo
p '''→'''  q   teorema
q '''→'''  p obratna teorema  
''¬'''Q '''→''' '''¬'''P kontrapozicija
'''¬'''P'''→''' '''¬'''Q suprotna teorema
Tautologija je formula koja je uvijek istinita.
Ako su dvije prave normalne na treću pravu c u jednoj ravni onda su one paralelne.
p: a,b  iz α  a norm c & b norm c
q: a║b
pretpostavimo da  nije a║b
tada bi se prave a i b sjekle u tački A.
Pošto je a norm c & b norm c znaći tačkom C prolaze 2 prave normalne na [[pravu]] c
Osnovu geometrije kao i svake druge matematičke nauke čine
#skup osnovnih termina koje se ne dokazuju
#skup osnovnih stavova – aksioma koji  se ne dokazuju
Svi drugi termini se dokazuju.
== Dokaz teoreme ==
Logički dokazati teoremu znači  dokazati da je to logička posljedica predhodno utvrđenih  stavova- teorema i aksioma.
Vrste dokaza:
#Matematička indukcija
#Progresivni sintetički dokaz
#Regresivni analitički dokaz
#Indirektni

== Matematička indukcija ==
Princip  matematičke indukcije koji glasi:
Ako neka tvrdnja vrijedi za broj <math>\ 1</math>, i ako iz pretpostavke da vrijedi za neki prirodni broj   <math>\ n</math>.   možemo pokazati da vrijedi i za <math>\ n+1</math> za <math>\ n \in N </math>

Dokaz matematičkom indukcijom se provodi u tri koraka

1.faza provjerimo stav ili formulu u kojoj formuliše n iz N a koji želimo dokazati za neki prirodni broj n = k<sub>0</sub> najčešće za k<sub>0</sub> =1
2.faza pretpostavimo istinitost za n = k<sub>0</sub>  i na osnovu te tvrdnje da važi za n = k+1

3.faza ako je utvrđeno1) i 2)  zaključujemo da tvrdnja koju dokazujemo vrijedi za svako n> k<sub>0</sub>

Ovom metodom dokazuju se tvrdnje o jednakostima, nejednakostima, nizovima...
Primjer

:<math>\ 1+2+3+... n = \frac{n(n+1)}{2})</math>
:za <math>\ n=1</math>
:<math>\ 1=\frac{1*2}{2})</math>
: neka važi za <math>\ n</math>
:Dokažimo za <math>\ n+1</math>
:<math>\ 1+2+3+... n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2})+(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2}) </math>

===Historija matematičke indukcije===

Najraniji tragovi  matematičke indukcije implicitno su sadržani u [[Euklid|Euklidovim]] dokazima na primjer u dokazu da postoji beskonačno mnogo [[Prosti brojevi|prostih brojeva]] (300. p.n.e.).
U IX knjizi  Euklidovih prostih brojeva ima beskonačno mnogo

Euklid ovu tvrdnju dokazuje uzimajući za proste brojeve A, B, C i pokazuje da je ABC+1 novi prost broj G. Zaključak dokaza je:
„Dobili smo proste brojeve A, B, C G što je više od predpostavljenih“

Euklidu je nedostajao algebarski jezik neophodan za uopšteniji indukcijski korak, a umjesto toga ga je predstavljao u konkretnom slučaju.

Prva eksplicitna formulacija javlja se kod [[Blaise Pascal|Paskala]]. On je u svojoj knjizi (1654. god.) upotrebio metod kompletne indukcije u vezi sa aritmetičkim [[Trougao|trouglom]], koji nosi njegovo ime, i njegovim primjenama

<math>    	\binom{n}{k}= 	\binom{n-1}{k-1}+ 	\binom{n-1}{k}                    </math>

Veliki doprinos u nastajanju matematičke indukcije dali su arapski matematičari. Implicitni dokaz indukcijom za aritmetičke nizove uveo je 
[[al-Karaji]] oko1000.god. a nastavio je al-Samaw’al koji je koristio za 
specijalne slučajeve binomne teoreme i osobine  Paskalovog trougla.
Khayyam (1048–1131) je napisao značajnu Studiju o rješavanju algebarskih problema (1070. god.). posebno je izveo opšti metod za rješavanje kubnih jednačina. U Studiji on je pisao o trougaonom nizu i binomnim koeficijentima poznatim kao Paskalov trougao.

Takođe značajan doprinos su dali i indijski matematičari. Bhaskara (1114 -1185. god.)  izveo je ciklični metod za rješavanje neodređene kvadratne jednačine oblika 
<math>    	ax^2+bx+c=0                  </math>  u kome se javlja  matematička indukcija.

Naznake metoda matematičke indukcije mogu se naći u radu F. Mavrolikosa (1494- 1575) u knjizi I njegove Aritmetike iz 1545.god.
Mavrolikos u  svojoj knjizi počinje definicijama različitih vrsta brojeva kao što su:
# Parni brojevi
# Neparni brojevi
# Trougaoni brojevi ( n-ti (po veličini) trouglasti broj je zbir prirodnih brojeva od 1 do n )
# Kvadratni brojevi
# Numeri parte altera longories (N.P.A.L.) ( N-ti (po veličini) N.P.A.L. broj je proizvod n(n-1))
...
{| class="wikitable"
|-
! Prirodni !! Neparni !! Parni !! Trouglasti !! Kvadratni !! NPAL
|-
| 1|| 1|| 2 || 1 || 1 || 0
|-
| 2 || 3 || 4 || 3|| 4 || 2
|-
| 3 || 5 || 6 || 6 || 9 || 6
|-
|4 || 7 || 8 || 10|| 16 || 12
|-
| 5 || 9 || 10 || 15 || 25 ||20
|-
| 6 || 11 || 12 || 21 || 36 || 30
|-
| 7 || 13 || 14 || 28 || 49 || 42
|}

Nakon ovih definicija slijede teoreme u vezi sa uvedenim vrstama brojeva.

;Teorema IV 
Neparni brojevi se dobijaju iz jedinice uzastopnim dodavanjem broja 2. 
n-ti  neparan broj +2= sljedeći neparan broj 
<math>N_n +2=N_{n+1}</math>
;Teorema X
<math>2T_n= L_{n+1}</math>
;Teorema X
<math>L_n+n= K_n</math>
;Teorema XI
:<math>T_n + T_{n-1}=K_n</math>
;Teorema XIII
:<math>K_n+N_{n+1}=K_{n+1}</math>
;Teorema XV
:<math>N_1+N_2+....+N_n=K_n</math>

;Dokaz teoreme XI
Prvi kvadratni broj je 1, koji je ujedno i neparan dodamo drugom neparnom broju 3 dobijamo drugi kvadratni broj 4.
:<math>1+3=4</math>
:<math>4+5=9</math>
:<math>9+7=16</math>

Tako neograničenom primjenom Teoreme XIII  dokazujemo da je tačna tvrdnja
Izloženi dokaz jasno ukazuje na začetak metode matematičke indukcije u obliku u kome je i danas  koristimo.

Sve do XVII  vijeka nije pronađena zadovoljavajuća formulacija metode, kada se javila u radu Pjera Fermaa(1601- 1665) i Bleza Paskala (1623-1662)
[[Pierre de Fermat|Ferma]] je koristio svoju verziju matematičke indukcije, poznatiju kao “metod spusta“, u dokazu  čuvene poslednje teoreme. 
Teorema glasi
Ne postoje cjelobrojna rešenja jednačine 
:<math>x^2+y^2=z^2 </math>  za koje je  <math>\frac{xy}{2} </math>  kvadrat
Ferma pretpostavlja suprotno od onoga što  želi da dokaže kao hipotezu.

On pretpostavlja da takva rješenja postoje. 
Izostavljajući veći dio dokaza on glasi:

„Dakle, ako postoje dva kvadrata takva da su njihovi zbir i razlika takođe kvadrati, takođe će postojati druga dva kvadrata koji će imati istu osobinu, ali će imati manji zbir. Po istom principu nalazimo zbir opet manji od predhodne i nastavljamo do beskonačnosti nalazeći kvadrate cijelih brojeva sve manje i manje koji imaju istu osobinu. To je međutim ne moguće, jer ne postoji beskonačan niz brojeva manjih nego bilo koji ceo broj koji zamislimo.’’
Fermaova strategija je bila da dokaže postojanje beskonačno opadajućeg niza kvadrata brojeva iz negiranja teoreme. Pošto strogo opadajući niz prirodnih brojeva ne postoji, Ferma je pokazao da 
negiranje teoreme dovodi do kontradikcije i time je teorema tačna. Fermaov metod poznat kao metod spusta je obrnuti oblik matematičke indukcije, jer on podrazumjeva spust, a ne uspon prirodnih brojeva. Glavna odlika ove metode je da je pretpostavka da neprazan [[skup prirodnih brojeva]] sadrži najmanji element i to je ono što ga čini ekvivalentnim sa matematičkom indukcijom.

Nakon Fermaa, matematička indukcija je ponekad bila poznata kao 
Fermaova indukcija, mada je zahvaljujući Paskalu dobijena prva zadovoljavajuća formulacija, tj moderna forma matematičke indukcije. Ona se pojavljuje u kratkoj knjizi koju je Paskal objavio 1654. god. o aritmetičkim trouglovima koji nose njegovo ime. Paskal je bio upoznat sa radom Mavrolikosa i njegovom aritmetikom. On je u nekoliko navrata koristio metod kompletne indukcije u vezi sa svojim aritmetičkim rouglom i njegovim primjenama

Poslije Paskala i Fermaa matematička indukcija je postala standardni metod dokazivanja među matematičarima.  Naziv matematička indukcija
Dao je  [[Augustus De Morgan|De Morgan]] 1838. god

===Regresivna indukcija===
Istinitost nekog metoda <math>P(n)</math>, za svako <math>n</math> po metodu regresivne indukcije slijedi iz:
#<math>P(n)</math> je tacno za beskonacno mnogo prirodnih brojeva <math>n</math>
#za sve prirodne brojeve (n >1)P(n)= >P(n-1) je tacan iskaz.

Primjer 
Dokazati da za sve prirodne brojeve <math>n</math> i sve nenegativne realne brojeve <math>a_1, a_2,...a_n</math> vazi nejednakost aritmeticke i geometrijske sredine

<math>  \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}  \ge         \sqrt[n]{a_1*a_2*...*a_n}</math>

Prvo matematickom indukcijom po <math>k</math> dokazujemo da tvrdjenje vazi za sve prirodne brojeve oblika <math>n=2^k, k \in N</math>.
za <math>k=1 (n=2)</math> imamo
<math>  \frac{a_1+a_2}{2}  \ge         \sqrt{a_1*a_2}</math>

<math>a_1+a_2\ge 2\sqrt{a_1*a_2}</math>

<math>a_1-2 \sqrt{a_1*a_2}+a_2 \ge 0</math>

<math>(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2\ge 0</math>
To znaci nejednakoxt vazi za

<math>n\in \begin{Bmatrix}2,2^2,2^3,...\end{Bmatrix}</math>

Pretpostavimo sada da je nejednakost tačna za neki prirodan broj <math>n</math> i izaberimo
:<math>a_n =\frac{1}{n-1}(a_1+a_2+...a_{n-1})</math>

<math>\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}+ \frac{a_1+a_2+...a_{n-1}}{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_n\frac{a_1+a_2+...a_{n-1}}{n-1}}</math>

<math>\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_{n-1}} \sqrt[n]{ \frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1}}</math>

<math>(\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n})^{1-\frac{1}{n}}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_{n-1}}</math>

<math>\frac{a-1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1} \ge \sqrt[n-1]{a_1*a_2...a_{n-1}} </math>

Dokazalismo da nejednakost vazi i za <math>n-1</math>, pa zakljucujemo da vazi za sve prirodne brojeve.
U datoj nejednakosti za <math>n\ge 2</math> jednaskost važi ako i samo ako je <math>a_1=a_2=...a_n</math> .

===Rekurentna indukcija===
Postoje tvrdnje koje se dokazuju metodom matematicke indukcije, ali je pri dokazivanju indukcijskog koraka prakticnije pretpostaviti <math>P(n-k), P(n-k+1),...P(n)</math> i dokazati <math>P(n+1)</math>. Drugacije rečeno, ne cini se korak sa <math>n</math> ka <math>n+1</math>, većc sa nekoliko <math>k</math> koji prethode <math>n+1</math> ka <math>n+1</math>. Ako indukcijski korak ima k pretpostavki ovaj princip se moze zapisati:
:<math>P(1)\land P(2)\land  ...\land P(k)(\forall n \ge k )(P_{(n-k)}\land ...\land P(n)=> P{(n+1)})(\forall n \in N )P_n</math>
Ovaj princip matematicke indukcije je ekvivalentan osnovnom principu.

Primjer

Nela je
:<math>a_1=4</math>
:<math>a_2=12</math>, ...
:<math>a_{n+2}= 4a_{n+1-4a_n}</math> za <math>n \ge 1</math>

Dokazati
:<math>a_n=2^n-n*2^n</math>
:<math>a_1=2^1+1*2^1=2+2=4</math> i <math>a_2=2^2+2*2^2=4+8=12</math> za <math>n=1</math> i <math>n=2</math>
:vazi za <math>n</math> i <math>n+1</math>
:<math>a_{n+2}=4 (a_{n+1} -a_n)=4 (2^{n+1}+(n+1)2^{n+1}-2^n - n2^n)=</math>
<math>4*2^n(2+2n+2-1-n)=2^{n+2}(3+n)=2^{n+2}[(2+n)+1]=2^{n+2}+(n+2)2^{n+2}</math>
Jednakost vrijedi za sve prirodme brojeve
=== Transfinitna indukcija===

Kod pojedinih tvrdnji o prirodnim brojevima za dokaz da važi <math>(\forall n \in N)P(n)</math> treba dokazati sljedece
#<math>P(1)</math> tacan iskaz
#<math>\forall n \in N)</math> ako su <math>P(1),...,P(n)</math> tacni iskazi onda je <math>P(n+1</math>) tacan iskaz.
Ova indukcija se zapisuje na sljedeci nacin
:<math>P(1) \land (\forall n \in N)(\forall k \le n)P(k) = > P(n+1)= > (\forall n \in N)P(n)</math>

Primjer
Dokazati da je svaki prirodan broj <math>n\ge 2</math> prost ili je proizvod prostih brojeva.

# za <math>n=2 </math> broj 2 je prost pa je tvrdnja tacna.
# neka je <math>n\ge 2</math> prirodan broj i neka tvrdnja vaz za <math>k < n</math>. broj n je prost pa je tvrdnja tacna.
Ako je slozen broj onda je <math>n=k_1k_2</math> za <math>k_1</math> i <math>k_2</math> prirodne brojeve manje od <math>n</math>.
Za <math>k_1</math> i <math>k_2</math> vazi indukcijska pretpostavka pa su oni prosti brojevi. ili proizvod prostih brojeva pa je <math>n=k_1*k_2</math>.

== Progresivni sintetički dokaz ==
Treba dokazati  p =>q  

p =>q<sub>1</sub> =>q<sub>2</sub>=>q<sub>3</sub> =>... =>q   

;Primjer 
Ako je <math>  f : R \rightarrow  R  </math>  funkcija data sa <math>  f (x) = ax + b, a \ne  0  </math> onda je funkcija f injekcija.
:<math>  x_1\ne x_2 \land a \ne  0 </math>  pretpostaka
:<math>  x_1\ne x_2 \land a \ne  0 = > f(x_1)\ne  f(x_2)= > ax_1 \ne ax_2 =>ax_1+b \ne ax_2+b </math>
Dokazana tvrdnja.

; Primjer

Zbir dva racionalna broja je racionalan broj
Neka su data dva racionalna broja  <math>r = \frac{p}{q} \land q \ne 0  \land</math> <math>s = \frac{u}{v} \land v \ne 0</math>
:<math> r+s = \frac{p}{q} +  \frac{u}{v}= \frac{pv+qu}{qv}   \land qv \ne 0         </math>
Ovim je tvrdnja dokazana

== regresivni (analitički) dokaz ==
Ide se obrnutim putem
q =>p<sub>1</sub> =>p<sub>2</sub> =>p<sub>3</sub> =>... =>p

== Indirektni ==
Dokazujemo pretpostavkom da teorema nije istinita i dolazimo do netačne pretpostavke.
:<math>((P \land {\neg Q} = > F ))= > (P = > Q) </math>

;Primjer

Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.

Dokaz.
:Pretpostavimo suprotno, da je skup prostih brojeva konačan, tj. postoji najveći prosti broj <math> p </math>
:Zato su svi prosti brojevi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . , p.
posmatrajmo  broj<math>
:q=2*3*4...*p+1 </math>
:Broj <math> q </math>  je veći od broja <math> p </math> pa  ne može biti prost broj jer je prema pretpostavci <math> p </math> najveći prost broj. Budući da je <math> q </math> složen broj on se može prikazati kao proizvod prostih brojeva, pa  mora biti djeljiv s barem jednim prostim brojem, dakle nekim od brojeva <math> 2, 3, 5, . . . , p </math>. 
:To je u suprotnosti s pretpostavljenim oblikom broja <math> q </math>. Time smo dokazali polaznu tvrdnju.

== Lema ==
'''Lema'''  je jednostavan teorem. Koristi  se samo za  dokazivanje složenih teoreme. Ona  nema neku korist. Sama   po sebi nije nešto posebno, posebno ako je koristimo  ponovo na samu sebe i time dokaže da je tačna tvrdnja koju dokazujemo .

== Korolar ==
'''Korolar''' je dokazana teorema koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.

{{stub-mat}}
[[Kategorija:Matematika]]