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Bereichstheorie
Die '''Bereichstheorie''' ist ein Zweig der Mathematik, der spezielle Arten von [[Halbordnung|Halbordnungen]],  gemeinhin als Domänen bekannt, studiert. Sie kann als ein Teil der Reihenfolgetheorie betrachtet werden. Die Bereichstheorie beinhaltet  wichtige Anwendungen in der Informatik, die in der Funktionensemantik [[Denotationelle Semantik|(denotationellen Semantik)]] insbesondere für funktionale Programmiersprachen, verwendet werden.<ref>[//www.cs.nott.ac.uk/~gmh/doma(contracted; show full)

Dennoch stellen bestimmte Situationen eine Notwendigkeit dar, um über Elemente, die in einem gewissen Sinne einen viel einfacheren oder viel unvollständigeren Zustand  von Informationen beinhalten, zu sprechen. Um eine solche Beziehung zu modellieren, muss man die induzierte strenge Ordnung  (<) einer Domäne mit der Ordnung  (≤) betrachten.

==== Approximationsordnung ====
Eine aufwendigere Methode der Modellierung führt zur sogenannten [[Approximationsordnung]].  Das Element ''
'X''' liegt weit unter dem Element '''Y''' (Supremum = Menge D) was bedeutet, dassx'' approximiert ''y'', in Zeichen <math> x \ll y </math>, wenn für jede [[gerichteten Menge]] <math>D</math> mit <math> y \sqsubseteq \sup D </math> ein Element <math>d \in D ergib</math> existiert mit <math> x \sqsubseteq d </math>.

Ebenso gilt dadurch die Annahme, dass X Y approximiert und man folglich schreibtAus <math>  x \ll y  </math>.

Das wiederrum implizier folgt <math> x \sqsubseteq y </math>, da <math>\{y\}</math> eine gerichtete Menge ist.

Das Supremum der Kette <math> \{0\}, \{0, 1\}, \{0, 1, 2\}, \ldots </math> ist die Menge aller natürlichen Zahlen '''N''' und zeigt, dass keine unendliche Menge unter '''N''' stehapproximieren kann.

==== Grundlagen von Domänen ====
Im Allgemeinen beschränkt man sich auf eine bestimmte Teilmenge von Elementen die als immer ausreichend für alle anderen Elemente als kleinste obere Schranke anzunehmen ist. Folglich definiert man die Basis der [[Korrelationsungleichung]] (Posets) '''P''' als eine Teilmenge '''B''' an '''P''' derart, dass diese für '''X''' bis '''P&(contracted; show full)

Alle diese Klassen von Domänen können, unter Verwendung ihrer jeweiligen Funktionen, wieder in verschiedene Kategorien unterteilt werden. In monotone, Scott-kontinuierliche oder sogar spezialisierte Morphismen [[Kategorientheorie|(Kategorientheorie)]]. Letztendlich ist zu beachten, dass der Begriff Domäne selbst nicht genau definiert ist und somit nur als Abkürzung bzw. formale Definition verwendet wird.

== Siehe auch ==
* [[Scott-Topologie]]

* [[Scottsches Axiomensystem]]⏎
* [[Kategorientheorie]]

== Weblinks ==
* [http://www.uni-siegen.de/fb6/tcs/team/spreen Fachgruppe für Theoretische Informatik - Universität Siegen] – deutsch
* [http://homepages.inf.ed.ac.uk/als/Research/topological-domain-theory.html Topological Domain Theory-Übersicht] - englisch
* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.55.903 Domain Theory (1994) by Samson Abramsky] - englisch
* [http://www.cs.bham.ac.uk/~axj/pub/papers/handy1.pdf Domain Theory - Corrected and expanded version] (PDF, 1.06 MB) 

==  Einzelnachweise  ==
<references />

[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]