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{{QS-Mathematik}}
Die '''Bereichstheorie''' ist ein Zweig der Mathematik, der spezielle Arten von [[Halbordnung|Halbordnungen]],  gemeinhin als Domänen bekannt, studiert. Sie kann als ein Teil der Reihenfolgetheorie betrachtet werden. Die Bereichstheorie beinhaltet  wichtige Anwendungen in der Informatik, die in der Funktionensemantik [[Denotationelle Semantik|(denotationellen Semantik)]] insbesondere für funktionale Programmiersprachen, verwendet werden.<ref>[//www.cs.no(contracted; show full)

Die Berechnung wird in weiterer Folge durch Anlegen monotoner Funktionen auf Elemente der Domäne wiederholt, um ein Ergebnis zu verfeinern. Das Erreichen eines festen Punktes bedeutet die  Endbearbeitung einer solchen Berechnung.

== Übersicht der formalen Definitionen ==
Dieser Abschnitt beinhaltet die zentralen Konzepte und Definitionen der Bereichstheorie.
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= Führende Sätze als konvergierende Daten ====
Die Bereichstheorie befasst sich mit Halbordnungen um die Berechnung einer Domäne zu modellieren. Das Ziel besteht darin, die Bestandteile bzw. Elemente einer solchen Reihenfolge wie Informationsteile oder Teilergebnisse einer Berechnung  so zu interpretieren, das die in der höheren Ebene angesiedelten Informationen mit den darunterliegenden Elementen einen konsistenten Weg aufweisen. Der dadurch bedingte, logische Rückschluss ergibt, dass Domänen nicht oft ein größeres Element darstellen, da dies bedeuten(contracted; show full)

''In der Alternative, der Theorie der metrischen Räume, stehen Sequenzen in vielerlei Hinsicht analog zu den Sequenzen der Bereichstheorie.''

Von der Grundidee der teilweise angegebenen Ergebnisse als Vertreter unvollständigen Wissens, wird eine andere Eigenschaft abgeleitet, die Existenz eines kleinsten Elements. Ein solches Element enthält keine Informationen, dient aber als „Ort“ an dem die meisten Berechnungen beginnen bzw als Ausgangspunkt einer Berechnung.

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= Domänenfunktionen ====
Domänen beinhalten Funktionen wie Eingänge von Berechnungen und Ausgänge von selbigen. Man geht aufgrund dieser Feststellung davon aus, dass der Ausgang einer Funktion mehr Informationen enthält, wenn der Informationsgehalt des Eingangs ebenso erweitert wird. Formal bedeutet dies, dass eine Funktion monoton sein soll.

Eine vollständige Halbordnung (CPO) ist eine Halbordnung mit einem kleinsten Element und der Eigenschaft, dass jede Teilmenge, die eine aufsteigende Kette  bildet, ein „Oberstes“ ([[Supremum]]) besitzt. Das Supremum muss dabei nicht in der Teilmenge selbst liegen. Zu beachten ist auch, dass unter Berücksichtigung der gerichteten Sätze von zwei Elementen, eine solche Funktion ebenso [[monoton]] zu sein hat. Diese Eigenschaften führen zu der Vorstellung einer Scott-stetigen Funktion.

==== Approximation und Endlichkeit ====
Die Bereichstheorie stellt einen rein qualitativen Ansatz zur Modellierung einer Struktur von Informationen und Zuständen dar. Aufgrund dieses Ansatzes wird angenommen, dass etwas mehr Informationen enthält, aber die Menge an zusätzlichen Informationen nicht angegeben ist. 

Dennoch stellen bestimmte Situationen eine Notwendigkeit dar, um über Elemente, die in einem gewissen Sinne einen viel einfacheren oder viel unvollständigeren Zustand  von Informationen beinhalten, zu sprechen. Um eine solche Beziehung zu modellieren, muss man die induzierte strenge Ordnung  (<) einer Domäne mit der Ordnung  (≤) betrachten.

==== Approximationsordnung ====
Eine aufwendigere Methode der Modellierung führt zur sogenannten [[Approximationsordnung]].  Das Element ''x'' approximiert ''y'', in Zeichen <math> x \ll y </math>, wenn für jede [[gerichtete Menge]] <math>D</math> mit <math> y \sqsubseteq \sup D </math> ein Element <math>d \in D</math> existiert mit <math> x \sqsubseteq d </math>.

Aus <math>x \ll y</math> folgt <math> x \sqsubseteq y </math>, da <math>\{y\}</math> eine gerichtete Menge ist.

Das Supremum der Kette <math> \{0\}, \{0, 1\}, \{0, 1, 2\}, \ldots </math> ist die Menge aller natürlichen Zahlen '''N''' und zeigt, dass keine unendliche Menge '''N''' approximieren kann.

==== Grundlagen von Domänen ====
Im Allgemeinen beschränkt man sich auf eine bestimmte Teilmenge von Elementen die als immer ausreichend für alle anderen Elemente als kleinste obere Schranke anzunehmen ist. Folglich definiert man die Basis der [[Korrelationsungleichung]] (Posets) '''P''' als eine Teilmenge '''B''' an '''P''' derart, dass diese für '''X''' bis '''P''', die Menge der Elemente in '''B''', die weit unter '''X''' stehen einen gerichteten Satz mit dem Supremum '''X''' enthält. 

Die Poset '''P''' ist eine kontinuierliche Korrelationsungleichung  wenn sie über eine eigene Basis verfügt. Solch ein Poset wird als [[algebraisch]] angesehen. Aus der Sicht der Funktionensemantik werden algebraische Posets besonders gut aufgenommen, da sie die Angleichung aller Elemente, auch wenn eine Beschränkung besteht, ermöglicht. Jedoch ist nicht jedes endliche Element "endlich" im klassischen Sinne, weswegen es erforderlich ist, diese Endlich-Elemente in einer unzähligen Reihe darzustellen. In manchen Fällen jedoch dienen diese Endlichen-Elemente als Basis für zählbare Posets. In diesem Fall spricht man von einem ω-kontinuierlichen Poset. Dementsprechend erhält man eine Ordnung die ω-algebraisch ist.

==== Besondere Arten von Domänen ====
Eine einfache Art einer Domäne wird als elementare oder flache Domäne bezeichnet. Diese besteht aus einem Satz von unvergleichbaren Elementen,  die insgesamt mit einem einzigen "unteren" Element betrachtet kleiner ist, als alle anderen Elemente.

Eine weitere Art von Domänen sind kontinuierliche Posets und algebraische Posets. Bei gegebener Vollständigkeit erhält man kontinuierliche Gitter und algebraische Gitter.

(contracted; show full)* [http://www.cs.bham.ac.uk/~axj/pub/papers/handy1.pdf Domain Theory - Corrected and expanded version] (PDF, 1.06 MB) 

==  Einzelnachweise  ==
<references />

[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

[[en:Domain theory]]