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Eine '''Korrelation''' (vom mittellateinischen ''correlatio'' für „<small>(die)</small> Wechselbeziehung“) beschreibt eine Beziehung zwischen zwei oder mehreren Merkmalen, Ereignissen oder Zuständen. Eine [[Kausalität|kausale Beziehung]] zwischen den Merkmalen, Ereignissen oder Zuständen muss jedoch nicht besteh⏎
Zwischen Merkmalen, Ereignissen oder Zuständen braucht keine [[Kausalität|kausale Beziehung]] bestehen: manche [[Element]]e eines [[System]]s beeinflussen sich gegenseitig nicht; oder es bezieht eine [[stochastisch]]e (= vom [[Zufall]] beeinflusste) Beziehung zwischen ihnen.  

* In der [[Statistik]] wird die Korrelation zwischen zwei [[Statistische Variable|statistischen Variablen]] mit verschiedenen [[Korrelationskoeffizient]]en gemessen.
* In der [[Informationstheorie]] wird die Korrelation zweier Zufallsgrößen mit Hilfe der [[Transinformation]] und der [[Kullback-Leibler-Divergenz]] gemessen.
* In der [[Signalanalyse]] wird zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale mit unterschiedlichen Zeitverschiebungen die [[Kreuzkorrelation]]sfunktion eingesetzt.

== Nähere Beschreibung ==

Es gibt positive und negative Korrelationen. Ein Beispiel für eine positive Korrelation (je mehr, desto mehr) ist: ''„Je mehr Futter, desto dickere Kühe.“'' Ein Beispiel für eine negative Korrelation (je mehr, desto weniger) ist:
''„Je mehr zurückgelegte Strecke mit dem Auto, desto weniger Treibstoff ist im Tank übrig.“''

Oft gibt es [[Sättigung]]sgrenzen. Beispiel: je mehr Gas ich gebe, desto schneller fährt mein Auto (aber nicht schneller als seine technisch bedingte Maximalgeschwindigkeit). In vielen Korrelationen gilt: die [[Grenzkosten]] steigen und der [[Grenznutzen]] sinkt. ⏎
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Häufig benutzt man zu Recht die Korrelation, um einen Hinweis darauf zu bekommen, ob zwei statistische Größen ursächlich miteinander zusammenhängen. Das funktioniert immer dann besonders gut, wenn beide Größen durch eine „Je ... desto“-Beziehung miteinander zusammenhängen und eine der Größen ''nur'' von der anderen Größe abhängt.

Beispielsweise kann man unter bestimmten Bedingungen nachweisen, dass Getreide umso besser gedeiht, je mehr man es bewässert. Diese Erkenntnis beruht auf dem Wissen über das Getreide - zum Beispiel durch Erfahrung oder wissenschaftliche Überlegungen. Die Korrelation unterscheidet nicht, ob das Wasser auf das Wachstum des Getreides wirkt, oder etwa das Getreide auf die Menge des Wassers. Eine Ursache-Wirkung-Beziehung kann nur eine Person unterstellen, die einer Sache (hier dem Wasser) eine Wirkung (das Wachstum des Getreides) ''zuschreibt''. Gibt es mehrere Einflussfaktoren auf das Wachstum des Getreides (beispielsweise die Temperatur, den Nährstoffgehalt des Bodens, das einfallende Licht usw.), ist die Menge des Wassers nicht mehr die einzige Erklärung für das Wachstum des Getreides. Die Erklärungskraft reduziert sich somit, wohingegen d. Die Korrelation zwischen der Menge des Wassers und dem Wachstum des Getreides bleibt unverändert bleibt, da die Korrelation eben keine Erklärungskraft besitzt, sondern nur Hinweise auf relevante Einflussgrößen bieten kann.⏎
; sie ist ein tatsächlicher Zusammenhang (den man aber nicht immer beweisen bzw. vollständig beschreiben kann. Beispiel: der Vollmond oder ein anderer (bislang) unbekannter Faktor wie die Konstallation von Sonne und Mond könnte das Getreidewachstum auch beeinflussen). ⏎
 
=== Korrelation und Kausalzusammenhang ===

Eine Korrelation beschreibt keine [[Kausalität|Ursache-Wirkungs-Beziehung]] in die eine und/oder andere Richtung.

Beispiele:
* Aus der Tatsache, dass in Sommern mit hohem Speiseeisumsatz viele Sonnenbrände auftreten, darfkann man nicht schließeussfolgern, dass Eisessen Sonnenbrand erzeugt, aber (und auch nicht, dass es die Sonnenbrandbeschwerden lindert.). 
* Zwischen dem Rückgang der [[Störche]] im [[Burgenland]] und einem Rückgang der Anzahl Neugeborener kann es durchaus eine Korrelation geben, aber weder [[Aberglauben|bringen Störche Kinder]] noch umgekehrt.

In beiden Beispielen hängen die jeweiligen Messgrößen allerdings über eine '''dritte Größe''' als Ursache kausal zusammen. Im ersten Fall ist es die Sonneneinstrahlung, die sowohl Eisverkauf als auch Sonnenbrand bewirkt, im zweiten Fall die Verstädterung, die sowohl Nistplätze vernichtet als auch Kleinstfamilien fördertbegünstigt, dass mehr Paare kinderlos sind bzw. nur ein Kind haben (siehe [[Vereinbarkeit von Familie und Beruf]]). Korrelationen dieser Art werden [[Scheinkorrelation |Scheinkorrelationen]] genannt.

In der Presse werden Korrelationen oft in einer Weise berichtet, die eine direkte Kausalität suggeriert, obwohl eine [[Gemengelage]] direkter und indirekter Zusammenhänge besteht. ⏎
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Beispiele für Schlagzeilen:
* ''CO<sub>2</sub> erklärt Nahtoderfahrung''<ref>http://www.aerzteblatt.de/nachrichten/40757/Herzstillstand_Hyperkapnie_erklaert_Nahtod-Erfahrungen.htm, 8. April 2010</ref>
* ''Größere Leute verdienen mehr''<ref>[http://www.baz.ch baz], 25. Oktober 2003</ref>
* ''Je mehr Lärm im Haus, desto dümmer die Kinder''<ref>[http://www.baz.ch baz], 4. September 2004</ref>
(contracted; show full)

Zur Beurteilung der [[Hypothese]]n wären im Grunde [[Experiment]]e nötig, bei denen ein Faktor experimentell festgelegt wird (z. B. der ''Lärm im Haus'') und der andere Faktor gemessen wird (z. B. ''Intelligenz der Kinder''). Solche Experimente würden mithilfe der [[Regressionsanalyse]] oder [[Varianzanalyse]] evaluiert. Eine Regression dagegen ''beschreibt'' den Zusammenhang, kann ihn aber nicht ''erklären''. 
EntsprechendViele derartige Experimente sind allerdings oft aus pragmatischen Gründen nicht durchführbar:  
* zu lange Dauer,  und/oder 
* zu hohe Kosten,  und/oder 
* unethisch.

Aufgrund ihres Fokus auf den Menschen sind für viele sozialwissenschaftliche und medizinische Fragestellungen nur korrelative Studien ethisch rechtfertigbar. Um Korrelationsergebnisse als kausal interpretieren zu können, sind weitere Untersuchungen erforderlich (dabei können z. B. langzeitige Zusammenhänge hilfreich sein; dazu macht man [[Längsschnittstudie]]n). Teilweise werden korrelative Studien fälschlicherweise wie [[Experiment]]e interpretiert.

== Mathematische Darstellung ==

Im Gegensatz zur [[Proportionalität]] ist die Korrelation nur ein statistischer Zusammenhang. Häufig wird der ''[[Linearität|lineare]]'' oder ''[[Monotonie (Mathematik)|monotone]]'' Zusammenhang zweier Variablen bestimmt. Das bedeutet in diesen Fällen, dass die Korrelation zwischen X und Y dieselbe ist wie zwischen Z = c + t*X und Y für t>0(contracted; show full)

=== Signalverarbeitung ===

Bei Zeitfunktionen werden beispielsweise empfangene elektromagnetische Wellen mit den gesendeten elektromagnetischen Wellen korreliert. Hierbei werden zeitliche Signalfolgen (über die Zeitvariable <math>t</math>) korreliert, wobei das Wellenspektrum 
dabei beliebig sein kann. Ein Beispiel ist die Verarbeitung von [[Radar]]signalen. Hier wird z.&nbsp;B. das empfangene Radarecho mit dem gesendeten Radarsignal korreliert bzw. verglichen, um zu sehen, ob es sich um das eigene oder ein fremdes Radarecho handelt (z.&nbsp;B. im militärischen Bereich). Ein ähnliches Beispiel ist die Erkennung von [[Mikrowellen]]signalen bzw. Signalfolgen, z.&nbsp;B. bei Mobiltelefonen und anderen Geräten mit drahtloser Kommunikation. 

Die Korrelation der zeitbasierten Signale bzw. Informationen weirden häufig hardware- oder softwaremäßig auf der jeweiligen Elektronik (z.&nbsp;B. FPGA, Signalprozessor) realisiert. Ein entscheidender Faktor für die Rechengeschwindigkeit ist die jeweilige Zeitbasis. Je feiner bzw. genauer die Zeiteinheiten sind, desto größer ist der Rechenaufwand.

=== Bildverarbeitung ===

(contracted; show full)

Eine Anwendung der Korrelation von Bildern ist beispielsweise die Erkennung von bestimmten Objekten oder Strukturen. Strukturen können hierbei sein: 
Das Muster eines Schüttguts (Größe oder Form), das Karomuster einer Tischdecke, Krebszellen, funktionelle oder nicht funktionelle Blutkörperchen.
Diese Anwendung ist sehr interessant, wenn die Aufgabenstellung die Erkennung oder Sortierung von Objekten ist (gut oder schlecht bzw. Größe). 
Interessant wäre der Nachweis von Manipulation, wie bei gefälschten Geldscheinen.Beispiel: Erkennung, ob ein Geldschein echt oder gefälscht ist. 

Weiterhin können Bilder unter Zuhilfenahme der Korrelation selbst verändert werden, indem bestimmte Strukturen (Oberwellen) ausgefiltert werden. Beispiel: Befreiung der Aufnahme eines Fernsehbildschirms von dessen Bildpunkten, um ein glattes Bild zu erhalten. Um die Bildinformation der Bildschirmmaske zu entfernen, werden lediglich alle Frequenzanteile ausgefiltert, welche die Bildpunkte ausmachen. Übrig bleibt ein Bild ohne Bildpunkte. Eine nachträgliche Analyse gibt Aufschluss darüber, welche Frequenzanteile fehlen.

Eine weitere Anwendung wäre die Erhöhung oder Verminderung der Auflösung eines Bildes – allerdings nur(maximal bis zu der Auflösung, die das optische Aufnahmesystem physikalisch erzeugen koannte).

=== Quantitative Beschreibung ===

Hier sollen die Zusammenhänge aus Sicht der [[Signalverarbeitung]] und [[Signalanalyse]] mit fortlaufenden Signalen beschrieben werden.

==== Das Korrelationsintegral ====

(contracted; show full)[[su:Korélasi]]
[[sv:Korrelation]]
[[th:สหสัมพันธ์]]
[[tr:Korelasyon]]
[[uk:Кореляція]]
[[ur:Correlation]]
[[vi:Hệ số tương quan]]
[[zh:相关]]