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Eine '''Korrelation''' (vom mittellateinischen ''correlatio'' für „<small>(die)</small> Wechselbeziehung“) beschreibt eine Beziehung zwischen zwei oder mehreren Merkmalen, Ereignissen oder Zuständen. 
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== Mathematische Darstellung ==

Im Gegensatz zur [[Proportionalität]] ist die Korrelation nur ein statistischer Zusammenhang. Häufig wird der ''[[Linearität|lineare]]'' oder ''[[Monotonie (Mathematik)|monotone]]'' Zusammenhang zweier Variablen bestimmt. Das bedeutet in diesen Fällen, dass die Korrelation zwischen 
<math>X</math> und <math>Y</math>'''X''' und '''Y''' dieselbe ist wie zwischen <math>'''Z = c + t\cdot X</math> und <math>Y</math> für <math>t>0</math> · X''' und '''Y''' für '''t > 0'''.<ref>[http://www.statistik.lmu.de/~walter/lehre/Stat1Soz_0910/material/Stat1Soz0910-Kap6-1.pdf www.statistik.lmu.de] (PDF; 415&nbsp;kB)</ref> Aus dieser Eigenschaft folgt, dass bei einer unterstellten Beziehung zwischen <math>X</math> und <math>Y</math>'''X''' und '''Y''' in der Form <math>'''Y = a + b\cdot X \,\,(b>0)</math> · X ''' mit '''b > 0''' die Korrelation zwischen <math>X</math> und <math>Y</math>'''X''' und '''Y''' identisch ist mit der Korrelation von <math>Y</math>'''Y''' und beispielsweise <math>2\cdot X</math>'''2·X'''. Das bedeutet, dass selbst bei Kenntnis der Korrelation keine Prognose von <math>Y</math>'''Y''' ohne die Kenntnis der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>'''a''' und '''b''' möglich ist. Die Parameter für den unterstellten linearen Zusammenhang können mittels einer [[Lineare Regression|linearen Regression]] bestimmt werden.

Die Verwechslung von Korrelation und direktem Kausalzusammenhang wird dadurch gefördert, dass bei Berechnung der [[Korrelationskoeffizient#Empirischer_Korrelationskoeffizient|Korrelationskoeffizienten]] <math>r</math>'''r''' nach [[Karl Pearson|Pearson]] und bei der linearen Regression mit einer unabhängigen Variablen mathematisch ganz ähnliche Verfahren zum Tragen kommen. In Regressionsanalysen wird das [[Bestimmtheitsmaß]] <math>R^2</math>'''R<sup>2</sup>''' angegeben; es ist gleich dem quadrierten Korrelationskoeffizienten <math>r^2</math>'''r<sup>2</sup>''' und beschreibt die erklärte Varianz des einfachen Regressionsmodells. Dies fördert die falsche Vermutung, die beiden Verfahren mit ihren jeweiligen Interpretationsmöglichkeiten seien austauschbar. Die Korrelation beschreibt die Stärke des Zusammenhangs, während die Regression die Art des Zusammenhangs spiegelt.

Für die Korrelation zufälliger Größen (exakter: Zufallsvariablen) siehe [[Korrelationskoeffizient]].

== Technische Anwendung ==

In der Physik, Elektrotechnik und allgemeinen [[Signalverarbeitung]] ist die Korrelation von großer Bedeutung. Angewendet auf eine beliebige Funktion mit einer gewünschten zweiten Funktion, ist sie allgemein betrachtet stets ein Maß dafür, wie ähnlich sich die zu untersuchenden Funktionen sind.

Die Funktionen können grundsätzlich kontinuierlich (bzw. [[Stetigkeit|stetig]]) oder [[Diskretheit|diskret]] (Abtastwerte) sein. Beispiele hierfür können Funktionen über die Zeit oder über den Ort sein. Zeitfunktionen sind bei der zeitlichen Signalverarbeitung relevant. Funktionen über eine Ortsvariable sind vor allem bei der [[Bildverarbeitung]] von Bedeutung. Signale, wie sie in der Natur vorkommen, können als Funktionen abgebildet oder interpretiert werden.

=== Signalverarbeitung ===

Bei Zeitfunktionen werden beispielsweise empfangene elektromagnetische Wellen mit den gesendeten elektromagnetischen Wellen korreliert. Hierbei werden zeitliche Signalfolgen (über die Zeitvariable <math>t</math>'''t''') korreliert, wobei das Wellenspektrum beliebig sein kann. Ein Beispiel ist die Verarbeitung von [[Radar]]signalen. Hier wird z.&nbsp;B. das empfangene Radarecho mit dem gesendeten Radarsignal korreliert bzw. verglichen, um zu sehen, ob es sich um das eigene oder ein fremdes Radarecho handelt (z.&nbsp;B. im militärischen Bereich). Ein ähnliches Beispiel ist die Erkennung von [[Mikrowellen]]signalen bzw. Signalfolgen, z.&nbsp;B. bei Mobiltelefonen und anderen Geräten mit drahtloser Kommunikation. 

Die Korrelation der zeitbasierten Signale bzw. Informationen wird häufig hardware- oder softwaremäßig auf der jeweiligen Elektronik (z.&nbsp;B. FPGA, Signalprozessor) realisiert. Ein entscheidender Faktor für die Rechengeschwindigkeit ist die jeweilige Zeitbasis. Je feiner bzw. genauer die Zeiteinheiten sind, desto größer ist der Rechenaufwand.

=== Bildverarbeitung ===

Die Korrelation ist gerade bei der [[Bildverarbeitung]] ein- oder mehrdimensionaler Daten bzw. Bilder von großer Bedeutung. Bei der Bildverarbeitung wird jedoch der Zeitfaktor (z.&nbsp;B. <math>t</math>'''t''') durch eine Ortsvariable (z.&nbsp;B. <math>x</math>'''x''') einfach ersetzt. Das Bild wird als Signalfolge über den Ort interpretiert. Anders als bei Zeitfunktionen liegen bei Bildern nicht eine Zeitbasis, sondern [[Pixel|Bildpunkte]] vor, die sogenannten [[Ortsfrequenz]]en. Die Ortsfrequenzen sind gewissermaßen die [[Bildauflösung|Auflösung]] des Bildes. Bei der Korrelation zweidimensionaler Bilder sind entsprechend zwei statt einer Ortsvariablen anzusetzen. Bei der Bildverarbeitung kann dann beispielsweise mittels [[Autokorrelation]] festgestellt werden, ob oder(contracted; show full)</math>

Für komplexe Zeitfunktionen gilt: 
:<math>
\rho(\tau)= K\int_{-\infty}^\infty x^*(t) m(t + \tau) {\rm d}t
</math>

Der Wert 
<math>K</math>'''K''' und die Integralgrenzen müssen den entsprechenden Funktionen angepasst werden:
:<math>
K = \begin{cases}1            & \text{bei aperiodischen Signalen} \\
 \frac{1}{2T} & \text{bei periodischen Signalen, die Integralgrenzen verlaufen dann von } -T \text{ bis } T \\
 \lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{2T} & \text{bei Zufallssignalen} \end{cases}
</math>

<math>x(t)</math>'''x(t)''' ist die zu analysierende Funktion, <math>m(t)</math>'''m(t)''' ist die Musterfunktion.

==== Musterfunktion ''m''(''t'') ====

<math>m(t)</math>'''m(t)''' kann jede beliebige Musterfunktion sein. Sie sollte jedoch sinnvoll angepasst werden.

Das Korrelationsintegral geht je nach Musterfunktion <math>m(t)</math> über in andere Signaltransformationen:
* [[Fourier-Transformation]]: <math>m(t) = e^{-i \omega t}</math>
* [[Hilbert-Transformation]]: <math>m(t) = \frac{1}{\pi t}</math>
* [[Autokorrelation]]: <math>m(t) = x(t)</math>
* [[Kreuzkorrelation]]: <math>m(t) = y(t)</math>
* [[Planimetrie|Flächenberechnung]]: <math>m(t) = 1</math>
* [[Walsh-Hadamard-Transformation]]
* [[Wavelet-Transformation]]

==== Korrelationsfaktor als Maß für die Ähnlichkeit zweier Signale ====

Die Ähnlichkeit zweier Signale wird zunächst anhand zweier reellwertiger Energiesignale beschrieben, anschließend anhand zweier [[Reelle Zahl|reellwertiger]] Leistungssignale. Die [[Komplexe Zahl|komplexwertigen]] Signale werden hier nicht weiter behandelt.

Die Signalenergie <math>E_s</math>'''E<sub>s</sub>''' eines reellwertigen Signals <math>s</math>'''s''' berechnet sich zu
:<math>
E_s=\int_{-\infty}^\infty s^2(t) {\rm d}t.
</math>

Betrachtet man zusammengesetzte Signale <math>'''s(t)= = x(t)+ + y(t)</math>''', so führt das auf die Gleichung
:<math>
\begin{align}
  E_s&= \int_{-\infty}^\infty s^2(t) {\rm d}t\\
     &= \int_{-\infty}^\infty (x(t) + y(t))^2 {\rm d}t\\
     &= \underbrace{\int_{-\infty}^\infty x^2(t) {\rm d}t}_{E_x}
      + \underbrace{\int_{-\infty}^\infty y^2(t) {\rm d}t}_{E_y}
      + \underbrace{2\int_{-\infty}^\infty x(t) y(t) {\rm d}t}_{2 E_{xy}}.
\end{align}
</math>

<math>E_x</math> ist die Energie von <math>x</math>, und <math>E_y</math>'''x''', und '''E<sub>y</sub>''' ist die Energie von <math>y</math>'''y'''. Die Größe <math>E_{xy}</math> heißt Kreuzenergie. Sie kann positiv, negativ oder null sein.

Es ist zweckmäßig, die Kreuzenergie mit den Signalenergien über die Gleichung
:<math>
E_{xy} = \rho\sqrt{E_x E_y}
</math>
in Beziehung zu setzen.

Der Faktor <math>\rho</math> ist der Korrelationsfaktor, auch [[Korrelationskoeffizient]] genannt. Für ihn gilt stets: <math>\rho^2 \le 1</math>, was mit Hilfe der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]] aus der Analysis bewiesen werden kann.

Die Energie des Gesamtsignals hängt nach den eben gemachten Ausführungen von der Signalenergie von <math>x</math>'''x''', der Signalenergie von <math>y</math>'''y''' und dem Korrelationsfaktor <math>\rho</math> ab.

Der Korrelationsfaktor hat den Wert <math>\rho=1</math>, wenn man das Signal <math>x(t)</math>'''x(t)''' mit dem Signal <math>y(t)=|k| x(t)</math> korreliert. Man nennt das Signal in diesem Fall gleichläufig. Die Signalenergie des Gesamtsignals ist maximal.

Der Korrelationsfaktor hat den Wert <math>\rho =-1</math>, wenn man das Signal <math>x(t)</math>'''x(t)''' mit dem Signal <math>y(t)=-|k| x(t)</math> korreliert. Man nennt das Signal in diesem Fall gegenläufig. Die Signalenergie des Gesamtsignals ist minimal.

Eine Besonderheit liegt vor, wenn der Korrelationsfaktor den Wert <math>\rho=0</math> annimmt. Man nennt beide Signale dann orthogonal (bei Energiesignalen darf man auch sagen: unkorreliert). 

Der Korrelationsfaktor ist, wie an den Beispielen klar wird, ein Maß dafür, wie ähnlich sich zwei Signale sind. 

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* [http://www.uni-koeln.de/phil-fak/muwi/ag/tec/kohkor.pdf Kohärenz und Korrelation in der Tonstudiotechnik] <small>(<abbr title="Portable Document Format">PDF</abbr>, <span title="rund">≈</span>&nbsp;10&nbsp;<abbr title="Kilobyte">KB</abbr>; 10&nbsp;kB)</small> – Dokument bei der ''[[Universität zu Köln|Uni-Köln]]''

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]