Revision 116791371 of "Dispersion (Wasserwellen)" on dewiki

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Bei [[Wasserwelle]]n ([[Oberflächenwelle]]n) wird unter '''Dispersion''' insbesondere die Abhängigkeit der [[Phasengeschwindigkeit]] (Wellenfortschrittsgeschwindigkeit) von der [[Wellenlänge]] bzw. von der [[Frequenz]] verstanden.
[[Datei:Messina-waves-image.jpg|thumb|[[Interne Wellen]] südlich der [[Straße von Messina]]. Man erkennt die höhere Ausbreitungsgeschwindigkeit mit wachsender Wellenlänge]]

[[Wasserwelle#Schwerewelle|Schwerewelle]]n pflanzen sich umso schneller fort, je größer ihre Wellenlänge bzw. je kleiner ihre Frequenz ist. Andererseits haben Wellen mit vorgegebener Wellenlänge über tieferem Wasser eine größere Phasengeschwindigkeit als über flacherem Wasser. Im Gegensatz dazu breiten sich [[Kapillarwelle]]n, deren Rückstellkraft allein aus der Oberflächenspannung resultiert, umso schneller aus, je kürzer sie sind. </br>Die [[Gruppengeschwindigkeit]] ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine [[Wellengruppe]] (d.&nbsp;h. das Intensitätsmaximum mehrerer sich überlagernder Wellen) fortbewegt, deren Wellenlängen sich nur wenig unterscheiden. Das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit zur Gruppengeschwindigkeit entscheidet über die Art der Dispersion. 

== Dispersion bei Oberflächenwellen ==
[[Datei:Wave group.gif|thumb|upright=2.0|Dispersion in [[bichromatisch]]en Gruppen von [[Schwerewelle]]n an deren Oberfläche über [[Tiefwasser]]. Der rote Punkt bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit, und die grünen Punkte mit Gruppengeschwindigkeit. 
{| class="wikitable collapsible collapsed" width="98%"
! mehr …
|-
|Bei den vorliegenden Tiefwasserbedingungen ist die Phasengeschwindigkeit gleich der doppelten Gruppengeschwindigkeit. Der rote Punkt überholt auf seinem Wege von links nach rechts zwei grüne Punkte. Neue Wellen scheinen sich am Ende der Wellengruppe zu bilden, wachsen in ihrer Höhe bis sie den Mittelpunkt der Gruppe erreicht haben und verschwinden am Anfang der Gruppe. In den meisten Fällen sind für Schwerewellen  die Teilchengeschwindigkeiten (Orbitalgeschwindigkeiten) viel kleiner als die Phasengeschwindigkeit. 
|}]]

Ist die [[Phasengeschwindigkeit]] für alle Teilwellen (Komponenten-Wellen) der Gruppe gleich, sind [[Gruppengeschwindigkeit|Gruppen-]] und Phasengeschwindigkeit identisch. Ist dies nicht der Fall, liegt Dispersion vor. Für alle [[Welle|Wellenarten]] gilt nach [[John William Strutt, 3. Baron Rayleigh|Rayleigh]] die nachfolgende Beziehung zwischen Gruppengeschwindigkeit ''c''<sub>g</sub> und Phasengeschwindigkeit ''c'':

:<math>c_g=c- L \cdot \frac{\mathrm dc}{\mathrm dL}</math>

Hierin ist <math>L</math> die [[Wellenlänge]] und <math>\tfrac{\mathrm dc}{\mathrm dL}</math> die Dispersion der Phasengeschwindigkeit. Je nach [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] und Betrag des Differentialquotienten ist die Gruppengeschwindigkeit kleiner, größer oder gleich der Phasengeschwindigkeit. Man unterscheidet [[normale Dispersion]], [[anomale Dispersion]] und dispersionslose Wellenausbreitung:

{| class="wikitable"
!
!d''c'' / d''L''
!d''c'' / d''f''
|-
|Normale Dispersion
|<math>>0</math>
|<math><0</math>
|-
|Anomale Dispersion
|<math><0</math>
|<math>>0</math>
|-
|Keine Dispersion
|<math>=0</math>
|<math>=0</math>
|-
|}

== Dispersion bei Schwerewellen ==
Abweichend von den [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Wellen]] werden bei [[Schwerewelle]]n die Wellenparameter wie folgt bezeichnet.

{| class="wikitable centered" style="text-align:center"
|- class="hintergrundfarbe6"
|
!Schwerewellen
!elektromagnet. Wellen
|-
|style="text-align:left" | Wellenlänge in m
|''L'' 
| <math>\lambda</math>
|-
|style="text-align:left" | Wellenfrequenz in Hz
|''f''
|<math>\nu</math>
|-
|style="text-align:left" | Periodendauer in s
|<math>T =\frac{1}{f}</math>
| -
|-
|style="text-align:left" | Phasengeschwindigkeit in m/s
|<math>c = L\cdot f</math>
|<math>v=\lambda\cdot\nu</math>
|-
|style="text-align:left" | Gruppengeschwindigkeit in m/s
|<math>c_g</math>
|<math>v_g</math>
|-
|style="text-align:left" | Wassertiefe in m
|d
| -
|-
|style="text-align:left" | Erdbeschleunigung in m/s²
|<math>g</math>
| -
|-
|}

[[Datei:Dispersion_c(f).jpg|thumb|100px|right|c(f,d)]]

Die ''klassische Dispersionsrelation'' nach [[George Biddell Airy|Airy]]-Laplace (1840) ist auch für Wellen nach der nichtlinearen Wellentheorie [[George Gabriel Stokes|Stokes]]' 2. Ordnung gültig.

:<math>c=L\cdot f=\sqrt{{gL\over{2\pi}}\cdot \tanh\left(\frac{2 \pi d}{ L} \right)}=\frac{g}{2\pi f}\cdot \tanh\left( \frac{2 \pi d}{L}\right)</math>
[[Datei:Disp_c(L).svg|thumb|100px|right|c(L,d)]]

Sie beschreibt die unterschiedliche Ausprägung der Dispersion in Abhängigkeit von der Wassertiefe ''d''. Hierfür ist

:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL }\ge 0</math>&nbsp;bzw.&nbsp;<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} \le 0</math> 

=== Begrenzte Wassertiefe ===
Es gilt die obige vollständige Dispersionsrelation.

Insbesondere in Bereichen, in denen die Wassertiefe geringer als die halbe Wellenlänge ist (''d'' ≤ 0,5 L), können sich in der Natur erhebliche Abweichungen ergeben. Als Ursachen kommen u.&nbsp;a. in Betracht: 
*morphologische Besonderheiten wie [[Riff (Geographie)|Riffe]] im [[Küstenvorfeld]],
*konstante Strömungen, [[beschleunigte Strömungen]], siehe [[Wellentransformation]]
*Windwirkungen und
*[[Stehende Welle|partiell stehende Wellen]] in Seegebieten mit Inseln, die der Küste vorgelagert sind (auch über Tiefwasser).
Bei [[Wellenresonanz]] tritt anomale Dispersion auf.

=== Tiefwasser ===
Bei der Ausbreitung über großer Wassertiefe (''d'' ≥ 0,5 L) liegt ''maximale normale Dispersion'' vor und die Phasengeschwindigkeit ist von der Wassertiefe ''unabhängig''. 
:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} =\sqrt{g\over{8\pi\cdot L}} </math>&nbsp;bzw.&nbsp;<math> \frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{-g}{2\pi f^2}</math>
:<math>c=L\cdot f=\sqrt{gL\over{2\pi}}=\frac{g}{2\pi f}</math>
:<math>c_g=0{,}5 \, c</math>

=== Flachwasser ===
Im flachen Wasser (''d'' ≤ 0,04 L) ist die Wellenbewegung praktisch ''dispersionslos'' und nur von der Wassertiefe abhängig.
:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = 0</math>&nbsp;bzw.&nbsp;<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = 0</math>
:<math>c=L\cdot f=\sqrt{g\cdot d}</math>
:<math>c_g=c\,</math>

''Siehe auch:'' [[Wellenresonanz]], [[Dopplereffekt]]

== Kapillarwellen ==
Für die Fortbewegung von [[Kapillarwelle]]n gilt
:<math>c=L\cdot f=\sqrt{2\pi\sigma\over{\rho L}}=\left(\frac{2\pi\sigma f}{\rho}\right)^{1/3}</math>

Darin bedeuten <math>\sigma</math> [[Oberflächenspannung]] und <math>\rho</math> Flüssigkeits[[dichte]].

Die Dispersion ist ''anomal''
:<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm dL} = \frac{-\left(2\pi\sigma L\right)^{-1/2}}{2L} </math>&nbsp;bzw.&nbsp;<math>\frac{\mathrm dc}{\mathrm df} = \frac{2\pi\sigma}{3\rho}\cdot \left(\frac{2\pi\sigma f}{\rho}\right)^{-2/3}</math>

[[Kategorie:Welle]]
[[Kategorie:Küsteningenieurwesen]]