Difference between revisions 29792 and 40964 on fawikibooks

{{طبقه‌بندی }}
مثال1)در شکل مقابل دو صفحه به صورت افقی با فاصلهHازهم قرار گرفته اند اگر صفحه بالایی باسرعتVحرکت کند مقدار انتقال حرارت در صفحه بالایی وپایینی رابیابید؟
الف:دمای صفحه پایینی 
<math>{{T}_{1}}</math>
ودمای صفحه بالایی
<math>{{T}_{2}}</math>

ب)اگر دمای دو صفحه برابر باشد


[[پرونده:mrd.png]]
</div>

<div style="text-align: right;">
حل:

جریان کوئت،غیرقابل تراکم ونیوتنی است ومعادلات حاکم بر ان

1.معادلات پیوستگی  2.معادله ناویر استوکس است

فرضیات حاکم برمسئله:

1.جریان دائمی
<math>\frac{\partial }{\partial t}=0</math>
 
2.تراکم ناپذیر
<math>\rho =cte</math>

3.جریان توسعه یافته
<math>\frac{\partial }{\partial x}=0</math>

4.جریان در یک بعد
<math>u=cte\text{   }\!\!\And\!\!\text{    v=w=0}</math>


5.(جابجایی آزاد)
<math>\frac{\partial p}{\partial x}=0</math>

معادله کلی پیوستگی:

<div style="text-align: LEFT;">


<math>\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla .(\rho V)=0\text{   (1)}</math>



<div style="text-align: right;">

باتوجه به فرض1
<math>\frac{\partial P}{\partial t}=0</math>  وفرض2
<math>\begin{align}
  & \rho =cte \\ 
\end{align}</math>:

<div style="text-align: LEFT;">
<math>\text{(1)}\to \text{    }\nabla .V=0\text{      (2)}</math>


<math>\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\text{     (3)}</math>
<div style="text-align: right;">
باتوجه به فرض3:  
<math>\frac{\partial u}{\partial x}=0</math> وباتوجه به فرض4:   <math>\frac{\partial v}{\partial y}=0</math>


<div style="text-align: right;">

معادله ناویراستوکس در جهتx
<div style="text-align: LEFT;">


<math>\rho \text{(}\frac{\partial u}{\partial t}\text{+u}\frac{\partial u}{\partial x}\text{+v}\frac{\partial u}{\partial y}\text{)= - }\frac{\partial p}{\partial x}+\mu (\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}})\text{   (4)}</math>

<div style="text-align: right;">

باتوجه به فرض1:
<math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>   وفرض 3: 
<math>\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}=0</math>
<math>\frac{\partial u}{\partial x}=0</math>  وفرض4:v=0  وفرض5

<div style="text-align: LEFT;">


<math>\frac{{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}=0\text{     (5)}</math>
<div style="text-align: right;">
شرایط مرزی:
<div style="text-align: LEFT;">

<math>\text{u(y=o)=0      }\!\!\And\!\!\text{     u(y=H)=v}</math>


<math>u(y)=V\frac{y}{H}\text{    (6)}</math>

<div style="text-align: right;">

از پاستگی انرژی برای حجم کنترل داریم (معادله کلی پخش گرما):

<div style="text-align: LEFT;">
<math>\rho c(\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y})=\text{k(}\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}\text{+}\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}\text{)-p(}\nabla \text{.}\overset{\to }{\mathop V}\,\text{)+}\mu \text{ }\Phi </math>                 
   
<math>\Phi =2{{\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)}^{2}}+2{{\left( \frac{\partial v}{\partial y} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \right)}^{2}}</math>  &            
<math>\Phi =thermal\text{ }dissipation\text{ }</math>

<div style="text-align: right;">
باتوجه به فرض1 و فرض2  ورابطه2و3همه مقادیرصفر به جز:
 <div style="text-align: LEFT;">

<math>\text{  }K\frac{{{d}^{2}}T}{d{{y}^{2}}}={{(\frac{\partial u}{\partial y})}^{2}}\text{                  (7)}</math>
<div style="text-align: right;">
با مشتق گرفتن از رابطه6 داریم:
<div style="text-align: LEFT;">


<math>\text{(6)}\to {{\left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)}^{2}}={{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}\text{   (8)}</math>


<math>(8)\And (7)\to \text{       }K\frac{{{d}^{2}}T}{d{{y}^{2}}}={{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}\text{   (9)}</math>



<math>\text{(9)  }\to T=-\frac{\mu }{2K}{{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}({{y}^{2}}+by+c)\text{   (10)}</math>



<math>\text{ }y=0\text{ }\to \text{ T=}{{\text{T}}_{1}}\text{       }\!\!\And\!\!\text{  y=H }\to \text{  T=}{{\text{T}}_{0}}\text{     (11}\text{.a,b)}</math>


<math>\text{(11) }\!\!\And\!\!\text{ (10)}\to \text{  }T(y)={{T}_{1}}+\frac{\mu }{2K}{{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}y(H-y)+({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\frac{y}{H}\text{  (12)}</math>


<math>q_{{{w}_{1}}}^{,,}=-k\frac{\partial T}{\partial y}(y=o)=-\left[ \frac{\mu }{2}{{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}H+k\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{H} \right]</math>

<math>\begin{align}
  
 & q_{_{{{w}_{2}}}}^{,,}=-k\frac{\partial T}{\partial y}(y=H)=-\left[ \frac{\mu }{2}{{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}H-\mu \frac{{{v}^{2}}}{H}+k\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{H} \right] \\ 
\end{align}</math>
<div style="text-align: right;">

جواب قسمت ب)
<div style="text-align: LEFT;">

<math>if\text{ }{{\text{T}}_{1}}={{T}_{2}}\text{       }q_{{{w}_{1}}}^{,,}=-\frac{\mu }{2}\frac{{{v}^{2}}}{H}\text{      }\!\!\And\!\!\text{    }q_{_{{{w}_{2}}}}^{,,}=\frac{\mu }{2}\frac{{{v}^{2}}}{H}</math>

<math>\left| q_{{{w}_{1}}}^{,,} \right|+\left| q_{_{{{w}_{2}}}}^{,,} \right|=\mu \frac{{{v}^{2}}}{H}</math>


{{پایان چپ‌چین}}

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------