Revision 29785 of "معادلات حاکم بر مسائل جابجایی" on fawikibooks

'''معادلات حاکم بر مسائل جابه جایی'''


پایستگی جرم:




<math>\begin{align}
  & \frac{\partial {{m}_{cv}}}{\partial t}=\overset{.}{\mathop{{{m}_{in}}}}\,-\overset{.}{\mathop{{{m}_{out}}}}\, \\ 
 & \overset{.}{\mathop{{{m}_{in}}}}\,-\overset{.}{\mathop{{{m}_{out}}}}\,=\left[ (\rho {{\left. u \right|}_{x}}\times (dy\times 1))+(\rho {{\left. \upsilon  \right|}_{y}}\times (dx\times 1)) \right]-\left[ (\rho {{\left. u \right|}_{x+dx}}\times (dy\times 1))+(\rho {{\left. \upsilon  \right|}_{y+dy}}\times (dx\times 1)) \right] \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial \rho }{\partial t}=(\frac{\partial \rho u}{\partial x}+\frac{\partial \rho \upsilon }{\partial y}) \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial \rho }{\partial t}+\overset{\to }{\mathop{\nabla }}\,.(\rho \overset{\to }{\mathop{V}}\,)=0 \\ 
\end{align}</math>





در حالت تراکم ناپذیر داریم:

<math>\overset{\to }{\mathop{\nabla }}\,.\overset{\to }{\mathop{V}}\,=0</math>

این معادلاه را با نام معادله پیوستگی می شناسند.


پایستگی تکانه خطی:





<math>\begin{align}
  & \frac{\partial {{(mu)}_{cv}}}{\partial t}=\overset{.}{\mathop{(m}}\,u{{)}_{in}}-(\overset{.}{\mathop{m}}\,u){}_{out}+\sum\limits_{{}}^{{}}{{{F}_{x}}} \\ 
 & \frac{\partial (\rho udxdy)}{\partial t}=(\rho {{\left. {{u}^{2}} \right|}_{x}}dy+\rho u{{\left. \upsilon  \right|}_{y}}dx)-(\rho {{\left. {{u}^{2}} \right|}_{x+dx}}dy+\rho u{{\left. \upsilon  \right|}_{y+dy}}dx)+({{\left. P \right|}_{x}}-{{\left. P \right|}_{x+dx}})dy+({{\left. {{\tau }_{xx}} \right|}_{x+dx}}\_{{\left. {{\tau }_{xx}} \right|}_{x}})dy+{{\left. ({{\tau }_{xy}} \right|}_{y+dy}}-{{\left. {{\tau }_{xy}} \right|}_{y}})dx+\rho {{V}_{cv}}{{g}_{\begin{smallmatrix} 
 x \\ 
  
\end{smallmatrix}}} \\ 
 & \frac{\partial (\rho u)}{\partial t}=-\frac{\partial (\rho uu)}{\partial x}-\frac{\partial (\rho u\upsilon )}{\partial y}-\frac{\partial (P)}{\partial x}+\frac{\partial ({{\tau }_{xx}})}{\partial x}+\frac{\partial ({{\tau }_{xy}})}{\partial y}+\rho {{g}_{x}} \\ 
 & \frac{\partial (\rho u)}{\partial t}+\overset{\to }{\mathop{\nabla }}\,.(\rho u\overset{\to }{\mathop{V}}\,)=-\frac{\partial (P)}{\partial x}+\frac{\partial ({{\tau }_{xx}})}{\partial x}+\frac{\partial ({{\tau }_{xy}})}{\partial y}+\rho {{g}_{x}}=\rho \left[ \frac{\partial (u)}{\partial t}+u\frac{\partial (u)}{\partial x}+\upsilon \frac{\partial (u)}{\partial y} \right] \\ 
 &  \\ 
\end{align}</math>


در حالت تراکم ناپذیر و نیوتونی:


<math>\rho \left[ \frac{\partial \overset{\to }{\mathop{V}}\,}{dt}+\overset{\to }{\mathop{V}}\,\overset{{}}{\mathop{.\overset{\to }{\mathop{\nabla V}}\,}}\, \right]=-\overset{\to }{\mathop{\nabla }}\,P+\rho \overset{\to }{\mathop{g}}\,+\mu {{\nabla }^{2}}\overset{\to }{\mathop{V}}\,</math>


لایه های مرزی جا به جایی 
وقتی ذرات سیال با سطح تماس می گیرند سرعت آن ها به صفر می رسد سپس این ذرات در جهت کاهش سرعت ذرات لایه مجاور عمل می کنند و ذرات جدید نیز حر]][[پرونده:مثال.jpg]]کت ذرات لایه بعدی را کند می سازند تا اینکه این اثر در فاصله y = δ از سطح ناچیز می شود. این شتاب منفی ناشی از تنش های برشی است که در صفحات موازی با سرعت سیال اثر می کند.روی سطح جسم سرعت صفر است در فاصله بالاتر از سطح جسم سرعت سیال برابر با سرعت جریان آزاد می باشد این تغییرات سرعت از صفر به سرعت بی نهایت به ناگهان انجام نمی گیرد و دارای یک توزیع می باشد این ناحیه که سرعت از مقدار صفر روی صفحه به مقدار سرعت بی نهایت می رسد را لایه مرزی سرعت می گویند. هر قدر در امتداد صفحه حرکت نماییم ضخامت لایه مرزی افزایش می یابد در نتیجه شیب توزیع سرعت در امتداد صفحه کاهش می یابد .چون لایه مرزی به سرعت سیال مربوط می شود هر جا که جریان سیال روی سطح وجود دارد این لایه تشکیل می شود و در مسایل جا به جایی بسیار اهمیت اساسی دارد .این لایه برای مهندسان از این نظر اهمیت دارد که با تنش برشی در سطح و لذا با اثر اصطکاکی در سطح ارتباط دارد .در جریان های خارجی این لایه مبنای تعیین ضریب اصطکاک محلی است .
ضریب اصطکاک پارامتر بی بعد مهمی است که از آن می توان دراگ اصطکاکی در سطح را به دست آورد. با فرض اینکه سیال نیوتنی است تنش های برشی در سطح را از شیب سرعت در سطح می توان یافت.
لایه مرزی گرمایی
لایه مرزی گرمایی وقتی تشکیل می شود که جریان آزاد سیال و سطح با هم اختلاف دما داشته باشند .   لایه مرزی گرمایی عینا شبیه لایه مرزی سرعت است روی سطح  جسم دمای سیال  برابردمای سطح  میباشد در فاصله دوردست از سطح جسم در فاصله دوردست ازسطح جسم دمای سیال برابر ودمای جریان ازاد میباشد این تغییرات دما( توزیع دما درراستای قایم ) دریک بازه مکانی اتفاق میافتد که به ان لایه مرزی دما میگوییم .
هرقدر در امتداد  صفحه حرکت نماییم ضخامت لایه مرزی دماافزایش می یابد درنتیجه شیب توزیع دما کم شده وضریب جابه جایی نیزکاهش می یابد  رابطه بین شرایط درلایه مرزی وضریب انتقال گرمایی جابه جایی رابه سهولت می توان به دست اورد  در هرفاصله ایکس ازلبه ابتدایی شارگرمای محلی راباکاربرد قانون فوریه برای سیال میتوان به دست آورد.

<math>q=-kA{{(\frac{\partial T}{\partial y})}_{y=0}}</math>


این عبارت درستی است زیرا سیال در سطح حرکتی ندارد و انتقال انرژی فقط بارسانش روی میدهد ترکیب معادله قبل با معادله سرمایش نیوتون معادله زیر میدهد

<math>h=\frac{-k{{\left. \frac{\partial T}{\partial y} \right)}_{y=0}}}{{{T}_{s}}-{{T}_{\infty }}}</math>


برای جریان روی سطح روی هرسطح همیشه یک لایه مرزی سرعت وبه موجب ان اصطکاک درسطح به وجود دارد .ولی لایه مرزی گرمایی وازاین رو انتقال گرمای جابجایی فقط وقتی وجود دارد که سطح وجریان ازاد اختلاف دما داشته باشند 
 [[پرونده:asd;.png]]
جریان لایه ای وجریان متلاطم 
دربررسی  مسایل جابجایی  ابتدا باید تعیین کنیم  که لایه مرزی لایه ای ای است یامتلاطم . اصطکاک در سطح واهنگ انتقال جابجایی شدیدا بستگی دارند به اینکه کدام یک ازاین دوحالت وجود دارد  تفاوت های بارزی  که بین    لایه مرزی جریان لایه ای ومتلاطم وجود دارد درلایه مرزی لایه ای حرکت سیال خیلی منظم است ومیتوان خطوط جریان راکه ذرات در امتداد انها حرکت میکنند مشخص کرد حرکت سیال در امتداد یک خط جریان بامولفه های سرعت مشخص میگردد چون مولفه ای ازسرعت کهدرامتداد عمود برسطح است میتواند در انتقال تکانه یاانتقال انرژی  ازطریق لایه مرزی سهم قابل توجهی داشته باشدحرکت سیال درامتدادعمود برسطح ازرشدلایه مرزی ذرامتداد محور افقی ناشی میشود .
درمقابل حرکت سیال در لایه مرژی متلاطم خیلی نامنظم است وبا افت وخیزهای سرعت مشخص میشود به علت امیختگی ناشی ازافت وخیزها ضخامت لایه مرزی بزرگتر است ونمایه های سرعت ودما درلایه مرزی متلاطم ازنمایه هادر لایه مرزی لایه ای  صاف ترند   
در محاسبه  رفتارلایه مرزی اغلب میتوان فرض کرد که گذار درمکانی مانند  Xc شروع میشود این مکان باگروه بی بعدی ازمتغیرها به نام عدد رینولدز تعیین میشود که در ان برای یک صفحه تخت طول مشخصه ایکس از لبه ابتدایی است عدد رینولدزبحرانی مقداری است که به ازای ان گذار شروع میشود مقدار ان برای یک صفحه تخت برحسب زبری سطح ومیزان تلاطم جریان ازاد از105تا 106*3تغییر میکند 
 معادلات لایه مرزی 
جریان پایای دوبعدی سیال ویسکوز وتراکم ناپذیری  رادر دستگاه کارتزین  در نظر میگیریم  ومعادله های دیفرانسیل میدان سرعت ودما در سیال رامی یابیم این معادلات باکاربرد قانون پایستاری وقانون دوم نیوتون برای یک حجم کنترل دیفرانسیلی در سیال تعیین میشوند باواردکردن تقریبهای مربوط به شرایط لایه مرزی ساده میکنیم  که تقریبهای لایه مرزی عبارتند از تقریب لایه مرزی سرعت یعنی مولفه سرعت ذر امتداد سطح بزرگتر ازمولفه سرعت در امتداد عمود برسطح است  وشیب های عمود برسطح خیلی بیشتر ازشیبها ذر امتداد سطح است   همچنین اهنگ رسانش در جهت عمودی بزرگتر ازاهنگ ان در جهت افقی است  تقریب لایه مرزی گرمایی وهمچنین اینکه فشار در جهت عمود برسطح تغییر نمی کند وفشار در لایه مرزی فقط به مولفه ایکس بستگی دارد وبافشار در جریان ازاد خارج لایه مرزی برابراست   به این ترتیب معادلات پیوستگی وانرژی ساده میشود حتی درمعادله انرژی ازترم ویسکوز میتوان صرف نظر کرد وفقط برای جریان های صوتی وروغن های روانکار باسرعت زیاد نمیتوان از ترم ویسکوز صرف نظر کرد  ازبه دست اوردن معادلات لایه مرزی دوهدف ذتبال میشود اول درک فرایند های فیزیکی  که درلایه مرزی رخ میدهد دوم پارامترهای تشابه درلایه مرزی  وهمچنین قیاس مهم بین انتقال گرما وتکانه ازاین معادلات استفاده میشود



<math>\begin{align}
  & u\frac{\partial u}{\partial x}+\upsilon \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+\upsilon (\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}) \\ 
 & u\frac{\partial \upsilon }{\partial x}+\upsilon \frac{\partial \upsilon }{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}+\upsilon (\frac{{{\partial }^{2}}\upsilon }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\upsilon }{\partial {{y}^{2}}}) \\ 
\end{align}</math>


فرض  در مورد صفحه تخت فرض درستی است


<math>\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}\cong \frac{{{V}^{2}}}{{{\delta }^{2}}}>>\frac{{{V}^{2}}}{L{}^{2}}\cong \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}\Rightarrow \frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial {{x}^{2}}}=0</math>



معادله لایه مرزی هیدرودینامیکی


<math>u\frac{{{\partial }^{{}}}u}{\partial {{x}^{{}}}}+\upsilon \frac{{{\partial }^{{}}}u}{\partial {{y}^{{}}}}=\upsilon \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}</math>



معادله لایه مرزی حرارتی





<math>u\frac{{{\partial }^{{}}}T}{\partial {{x}^{{}}}}+\upsilon \frac{{{\partial }^{{}}}T}{\partial {{y}^{{}}}}-\frac{k}{\rho {{c}_{p}}}\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}</math>