Revision 29792 of "مثال 1" on fawikibooks

مثال1)در شکل مقابل دو صفحه به صورت افقی با فاصلهHازهم قرار گرفته اند اگر صفحه بالایی باسرعتVحرکت کند مقدار انتقال حرارت در صفحه بالایی وپایینی رابیابید؟
الف:دمای صفحه پایینی 
<math>{{T}_{1}}</math>
ودمای صفحه بالایی
<math>{{T}_{2}}</math>

ب)اگر دمای دو صفحه برابر باشد


[[پرونده:mrd.png]]
</div>

<div style="text-align: right;">
حل:

جریان کوئت،غیرقابل تراکم ونیوتنی است ومعادلات حاکم بر ان

1.معادلات پیوستگی  2.معادله ناویر استوکس است

فرضیات حاکم برمسئله:

1.جریان دائمی
<math>\frac{\partial }{\partial t}=0</math>
 
2.تراکم ناپذیر
<math>\rho =cte</math>

3.جریان توسعه یافته
<math>\frac{\partial }{\partial x}=0</math>

4.جریان در یک بعد
<math>u=cte\text{   }\!\!\And\!\!\text{    v=w=0}</math>


5.(جابجایی آزاد)
<math>\frac{\partial p}{\partial x}=0</math>

معادله کلی پیوستگی:

<div style="text-align: LEFT;">


<math>\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla .(\rho V)=0\text{   (1)}</math>



<div style="text-align: right;">

باتوجه به فرض1
<math>\frac{\partial P}{\partial t}=0</math>  وفرض2
<math>\begin{align}
  & \rho =cte \\ 
\end{align}</math>:

<div style="text-align: LEFT;">
<math>\text{(1)}\to \text{    }\nabla .V=0\text{      (2)}</math>


<math>\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\text{     (3)}</math>
<div style="text-align: right;">
باتوجه به فرض3:  
<math>\frac{\partial u}{\partial x}=0</math> وباتوجه به فرض4:   <math>\frac{\partial v}{\partial y}=0</math>


<div style="text-align: right;">

معادله ناویراستوکس در جهتx
<div style="text-align: LEFT;">


<math>\rho \text{(}\frac{\partial u}{\partial t}\text{+u}\frac{\partial u}{\partial x}\text{+v}\frac{\partial u}{\partial y}\text{)= - }\frac{\partial p}{\partial x}+\mu (\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}})\text{   (4)}</math>

<div style="text-align: right;">

باتوجه به فرض1:
<math>\frac{\partial u}{\partial t}=0</math>   وفرض 3: 
<math>\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}=0</math>
<math>\frac{\partial u}{\partial x}=0</math>  وفرض4:v=0  وفرض5

<div style="text-align: LEFT;">


<math>\frac{{{d}^{2}}u}{d{{y}^{2}}}=0\text{     (5)}</math>
<div style="text-align: right;">
شرایط مرزی:
<div style="text-align: LEFT;">

<math>\text{u(y=o)=0      }\!\!\And\!\!\text{     u(y=H)=v}</math>


<math>u(y)=V\frac{y}{H}\text{    (6)}</math>

<div style="text-align: right;">

از پاستگی انرژی برای حجم کنترل داریم (معادله کلی پخش گرما):

<div style="text-align: LEFT;">
<math>\rho c(\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y})=\text{k(}\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}\text{+}\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}\text{)-p(}\nabla \text{.}\overset{\to }{\mathop V}\,\text{)+}\mu \text{ }\Phi </math>                 
   
<math>\Phi =2{{\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)}^{2}}+2{{\left( \frac{\partial v}{\partial y} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \right)}^{2}}</math>  &            
<math>\Phi =thermal\text{ }dissipation\text{ }</math>

<div style="text-align: right;">
باتوجه به فرض1 و فرض2  ورابطه2و3همه مقادیرصفر به جز:
 <div style="text-align: LEFT;">

<math>\text{  }K\frac{{{d}^{2}}T}{d{{y}^{2}}}={{(\frac{\partial u}{\partial y})}^{2}}\text{                  (7)}</math>
<div style="text-align: right;">
با مشتق گرفتن از رابطه6 داریم:
<div style="text-align: LEFT;">


<math>\text{(6)}\to {{\left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)}^{2}}={{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}\text{   (8)}</math>


<math>(8)\And (7)\to \text{       }K\frac{{{d}^{2}}T}{d{{y}^{2}}}={{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}\text{   (9)}</math>



<math>\text{(9)  }\to T=-\frac{\mu }{2K}{{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}({{y}^{2}}+by+c)\text{   (10)}</math>



<math>\text{ }y=0\text{ }\to \text{ T=}{{\text{T}}_{1}}\text{       }\!\!\And\!\!\text{  y=H }\to \text{  T=}{{\text{T}}_{0}}\text{     (11}\text{.a,b)}</math>


<math>\text{(11) }\!\!\And\!\!\text{ (10)}\to \text{  }T(y)={{T}_{1}}+\frac{\mu }{2K}{{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}y(H-y)+({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\frac{y}{H}\text{  (12)}</math>


<math>q_{{{w}_{1}}}^{,,}=-k\frac{\partial T}{\partial y}(y=o)=-\left[ \frac{\mu }{2}{{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}H+k\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{H} \right]</math>

<math>\begin{align}
  
 & q_{_{{{w}_{2}}}}^{,,}=-k\frac{\partial T}{\partial y}(y=H)=-\left[ \frac{\mu }{2}{{\left( \frac{v}{H} \right)}^{2}}H-\mu \frac{{{v}^{2}}}{H}+k\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{H} \right] \\ 
\end{align}</math>
<div style="text-align: right;">

جواب قسمت ب)
<div style="text-align: LEFT;">

<math>if\text{ }{{\text{T}}_{1}}={{T}_{2}}\text{       }q_{{{w}_{1}}}^{,,}=-\frac{\mu }{2}\frac{{{v}^{2}}}{H}\text{      }\!\!\And\!\!\text{    }q_{_{{{w}_{2}}}}^{,,}=\frac{\mu }{2}\frac{{{v}^{2}}}{H}</math>

<math>\left| q_{{{w}_{1}}}^{,,} \right|+\left| q_{_{{{w}_{2}}}}^{,,} \right|=\mu \frac{{{v}^{2}}}{H}</math>


{{پایان چپ‌چین}}

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------