Revision 40965 of "مثال 2" on fawikibooks

{{طبقه‌بندی }}
مثال2: 

در شکل روبرو ضرایب تابع توزیع دما، ضرایب جابجایی و ناسلت را بیابید.
[[پرونده:mojtaba.jpg]]
<math>T(x,y)=p({y}/{{{\delta }_{T}}}\;)=a+b({y}/{{{\delta }_{T}}}\;)+c{{({y}/{{{\delta }_{T}}}\;)}^{2}}+d{{({y}/{{{\delta }_{T}}}\;)}^{3}}</math>

فرض های حل مسئله:

1)جریان دائمی است یعنی متغییری برحسب زمانی نداریم.

2)جریان توسعه یافته است یعنی تغیرات در راستای <math>x</math> نسبت به<math>y</math> قابل صرف نظر کردن است.

3)تراکم ناپذیر است یعنی <math>\nabla v=0</math>  یا به عبارتی چگالی مقداری ثابت است.
 
4)فرض شده است که ضخامت لایه مرزی نسبت به طول جسم خیلی کوچک است.

 
<math>T(x,y)=p({y}/{{{\delta }_{T}}}\;)=a+b({y}/{{{\delta }_{T}}}\;)+c{{({y}/{{{\delta }_{T}}}\;)}^{2}}+d{{({y}/{{{\delta }_{T}}}\;)}^{3}}</math>


در این معادله ما ابتدا باید تابع دما را بدست بیاوریم و برای این کار نیاز به پیدا کردن ضرایب ثابت داریم و برای کار باید باید چهار معادله را بیابیم.از طرفی با توجه به فرض چهار میتوان از تشابه استفاده کرد.

حال باید چهار معادله نوشت وباتوجه با آن ضریب <math>b</math> که برای یافتن <math>h</math> کافی است بدست آورد چون <math>h</math> برابر است با:

<math>h=\frac{-k{{\left. \frac{\partial T}{\partial y} \right|}_{y=0}}}{{{T}_{S}}-{{T}_{\infty }}}=\frac{-kb}{{{\delta }_{T}}({{T}_{S}}-{{T}_{\infty }})}</math>, 
<math>Nu=\frac{hx}{k}</math>
که در این معادله طول شاخص <math>x</math> است.
 

از طرفی در تشابه داشتیم:<math>{{y}^{*}}=\frac{{{\delta }_{T}}}{L},{{T}^{*}}=\frac{T-{{T}_{S}}}{{{T}_{\infty }}-{{T}_{S}}}</math>

معادله اول را با توجه به این شرط که باید دمای پایه ثابت است  بدست می آوریم:

<math>{{T}^{*}}({{y}^{*}}=0)=0\Rightarrow T(y=0)={{T}_{S}}\Rightarrow a={{T}_{S}}</math>

معادله دوم را از تغییر دما در مرز لایه مرزی بدست می آوریم:

<math>{{y}^{*}}=\frac{{{\delta }_{T}}}{L},{{T}^{*}}=\frac{T-{{T}_{S}}}{{{T}_{\infty }}-{{T}_{S}}}=.99\cong 1\Rightarrow T={{T}_{\infty }}=a+b+c+d(1)</math>

معادله سوم را با توجه به این نکته که شیب تابع دما در <math>{{\delta }_{T}}</math> ماکزیمم است بدست می آوریم:

<math>y={{\delta }_{T}},\frac{\partial T}{\partial y}=0\Rightarrow \frac{1}{{{\delta }_{T}}}(3d+2c+b)=0(2)</math>

معادله چهارم را از معادله پخش گرما که با اعمال فرضهای بالا به شکل زیر است بدست می آوریم:(توجه شود که کار نیروی لزجت صفراست)

<math>u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}=\alpha \frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}\Rightarrow {{\left. \frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}} \right|}_{y=0}}=0\Rightarrow c=0(3)</math>

حالا با حل این چهار معادله باهم <math>b</math> را بدست می آوریم و به کمک آن ضریب جابجایی و ناسلت را می یابیم.

<math>(1,2,3)\Rightarrow b=1.5({{T}_{S}}-{{T}_{\infty }})\Rightarrow h=1.5{(k}/{{{\delta }_{T}}}\;)\Rightarrow Nu=1.5({x}/{{{\delta }_{T}}}\;)</math>

حال میتوان به ارزیابی پاسخ پرداخت. که همچنان با توجه مفهوم عدد ناسلت که معیار اندازه گیری جابجای است و این جواب نشان می دهد که با توجه با افزایش طول انتقال حرارت با جابجایی می گیرد.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------