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Comment démontrer les propriétés du cours de collège, dans quel ordre et à partir de quels axiomes ? Voilà les questions auxquelles nous répondons ici.

= A partir des propriétés des symétries =

== Axiomes ==

==== Par deux points distincts, il passe une et une seule droite "sexy"====

==== Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée ====
Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

==== Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée ====

==== La symétrie axiale ne change pas les longueurs ====
Si A et B ont pour symétriques A' et B' par rapport à une droite D, alors AB = A'B'

==== La symétrie axiale ne change pas les angles ====
Si A,B et C ont pour symétriques A', B' et C' par rapport à une droite D, alors : <math>\widehat {ABC} = \widehat {A'B'C'}</math>

==== Définition : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu ====
Elle existe et est unique d'après l'axiome : "Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

== Parallèles et sécantes ==

==== Deux droites ont soit un point commun (sécantes) soit aucun (parallèles), soit tous (confondues) ====

Si elles en avaient deux sans être confondues, cela contredirait cet axiome : [[#Par deux points distincts, il passe une et une seule droite|"Par deux points distincts, il passe une et une seule droite"]].

==== Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre ====

Prenons D et D' parallèles. Si D'' est parallèle à D et sécante avec D'. Soit I le point d'intersection, alors D et D' sont parallèles à D'' passant par le même point. Ceci contredit cet axiome : [[#Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée|"Par un point, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée"]].

==== Si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre ====

Si elle ne l'était pas, elle lui serait soit : 
*parallèle : dans ce cas l'autre le serait aussi.
*confondue : mais alors ne pourrait pas être sécante à la première.

== Autres propriétés des symétries axiales ==
==== Une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie est invariante globalement par cette symétrie ====
Evident par définition de la symétrie axiale.
 
==== L'image par une symétrie axiale d'une droite parallèle à l'axe est parallèle à la droite d'origine ====

Supposons qu'elles se coupent en I, son symétrique I' serait aussi sur les deux droites, donc I=I'. 
Or les seuls points invariants par une symétrie axiale (par définition) sont ceux de l'axe. Mais si I appartient à l'axe, cela contredit le parallélisme de la droite d'origine avec l'axe.

== Droites parallèles et perpendiculaires ==


==== Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles ====
D et D' sont distinctes et perpendiculaires à (AB). D'après la propriété : [[#Une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie est invariante globalement par cette symétrie|"Une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie est invariante globalement par cette symétrie"]], D et D' sont invariantes par la symétrie d'axe (AB). Supposons-les sécantes en O. Alors O' le symétrique de O par rapport à (AB) appartient aussi à D et à D', qui ont alors deux points communs, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

==== Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est alors perpendiculaire à l'autre ====
Soit D et D' les deux parallèles. La perpendiculaire en A à l'une est sécante en B à l'autre d'après :[[#Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre|"Si deux droites sont parallèles, toute sécantes à l'une est sécante à l'autre"]]. 
Soit <math>\delta</math> la médiatrice de [AB], alors (AB) est perpendiculaire à D et <math>\delta</math> qui sont donc parallèles d'après la propriété : [[#Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles|"Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles"]]. 
Mais alors l'image de D par rapport à <math>\delta</math> est parallèle à D (d'après la propriété : [[#L'image par une symétrie axiale d'une droite parallèle à l'axe est parallèle à la droite d'origine|"L'image par une symétrie axiale d'une droite parallèle à l'axe est parallèle à la droite d'origine"]]), et passe par B. De plus par l'axiome : [[#La symétrie axiale ne change pas les angles|"La symétrie axiale ne change pas les angles"]] et l'axiome : [[#Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée|"Par un point, il passe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée"]] elle est égale à D'. Donc D' est parallèle à D.