Revision 369485 of "CMC/3ème/Racines carrées" on frwikibooks

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= Racines carrées =

== A quoi sert le calcul symbolique avec les racines carrées ? ==

Certains nombres ne peuvent se mettre exactement ni sous forme décimale, ni sous forme de fraction. On peut alors essayer de les écrire sous forme de racines carrées.

== Définition ==

En mathématiques, la racine carrée d’un nombre x est le nombre positif dont le carré (la multiplication du nombre par lui-même) vaut x

Si ''a'' est un nombre positif. 

La racine carrée de ''a'' est le seul nombre positif dont le carré est ''a''

Elle se note : <center><math>\sqrt{a}</math></center>

== Premières propriétés ==

<center><math>\sqrt{a}^2= a</math></center>

<center><math>\sqrt{a^2}=a</math></center>

Observer les différents placements du carré dans ces formules !

== Exemples ==

<math>\sqrt{9} = 3\ car \ \sqrt{9}^2 = 3^2= 9</math>

<math>\sqrt{3^2} = 3</math>

== Propriété ==
<math>\sqrt{x^2} = |x|</math>

= Racines carrées et multiplication =

La racine carrée "se comporte bien" avec les multiplications et les divisions.

== Propriété ==

Si ''a'' et ''b'' sont deux nombres positifs : 

<center><math>\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\,</math></center>

== Exemple ==

<math>\sqrt{9\times 4}=\sqrt{36}=6</math>

<math>\sqrt{9}\times \sqrt{4}=3\times2 = 6</math>

On obtient bien le même résultat !

Aimeriez-vous voir une démonstration de cette propriété ?
{{boîte déroulante|titre = Démonstration|contenu = 
Soit deux nombres : a et b. Leur carré respectif sont les nombres A et B :

<math>A = a \times a</math>

<math>B = b \times b</math>

Autrement dit :

<math>a = \sqrt{A}</math>

<math>b = \sqrt{B}</math>

<math>\sqrt{A \times B}=\sqrt{a \times a \times b \times b}</math>

<math>\sqrt{A \times B}=\sqrt{(a \times b) \times (a \times b)}</math>

<math>\sqrt{A \times B}=a \times b=\sqrt{A} \times \sqrt{B}</math>
}}

Cette propriété pourrait-elle marcher avec une addition ?

== Application à la simplification d'une racine carrée ==

Simplifier en utilisant la propriété de la multiplication : 

<center><math>\sqrt{28}</math></center>

{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = 

<math>\sqrt{28}=\sqrt{4\times 7}=\sqrt{4}\times\sqrt{7}=2\times\sqrt{7}\ ou\ encore\ 2\sqrt{7}</math>

}}

== Unicité de la simplification avec b entier le plus petit possible ==

Un même nombre a plusieurs écritures de la forme : <math>a\sqrt{b}</math>

Pour donner le résultat exact d’un calcul, on l’écrit avec l'entier ''b'' le plus petit possible.

Ainsi un résultat comportant une racine carrée a une unique écriture « irréductible », comme les fractions.

=== Exemple ===

<math>\sqrt{392}=\sqrt{49\times8}=\sqrt{49}\times\sqrt{8}=7\sqrt{8}</math>

Mais : 

<math>7\sqrt{8}=7\times\sqrt{4\times2}=7\times2\sqrt{2}=14\sqrt{2}</math>

donc : <math>\sqrt{392}=7\sqrt{8}=14\sqrt{2}</math>

mais la forme la plus simple est : <math>14\sqrt{2}</math> car ''b = 2'' est le plus petit possible.

=== [[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices]] ===
Faites des [[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices de simplifications]] dans la rubrique [[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices]]{{75}}

= Racines carrées et division =

La racine carrée "se comporte bien" avec les divisions.

== Propriété ==

Si ''a'' et ''b'' sont deux nombres positifs, et si ''b'' est différent de 0.

<center><math>\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\,</math></center>

== Exemple ==

<math>\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2,25}=1,5\ rappelez\ vous\ 15^2=225 \,</math>

<math>\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}=1,5\,</math>

On obtient bien le même résultat !

Aimeriez-vous voir une démonstration de cette propriété ?
{{Boîte déroulante|titre = Démonstration|contenu = 
Soit deux nombres : a et b. Leur carré respectif sont les nombres A et B :

<math>A = a \times a</math>

<math>B = b \times b</math>

Autrement dit :

<math>a = \sqrt{A}</math>

<math>b = \sqrt{B}</math>

<math>\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{a \times a}{b \times b}}</math>

<math>\sqrt{\frac{A}{B}}=\sqrt{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b}}</math>

<math>\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}</math>
}}

== Application à la simplification d'une racine carrée ==

Simplifier en utilisant la propriété de la division : 

<center><math>\sqrt{\frac{16}{9}}</math></center>

{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = 

<math>\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}</math>

}}

== [[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices]] ==
Faites des [[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices de simplifications]] dans la rubrique 
[[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices]]

= Des fractions sans racines carrées au dénominateur =

Pour avoir une écriture simplifiée unique; on a l'habitude d'écrire les fractions comportant de racines carrées sans racines au dénominateur (en bas). On utilise la propriété de la division.

== Exemple ==
Donner une écriture de : <math>\frac{5}{\sqrt{7}}</math> sans racines carrées au dénominateur.

{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = 

<math>\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7}=\frac{5}{7}\times\sqrt{7}</math>

}}
== [[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices]] ==
Faites des [[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices de simplifications]] dans la rubrique 
[[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices]]

Faites des [[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices de type "brevet"]] dans la rubrique [[CMC/3ème/Racines carrées/Exercices|Exercices]]

Exercices de brevet corrigés sur [http://www.sesamath.net/ebeps/index.php?page=exercice&serie=319 Ebeps].

= Liens externes =



{{Sur Wikipédia|Racine carrée|la notion de racine carrée}}

[[Catégorie:Cours de mathématiques niveau troisième (France)|Racines carrées]]