Difference between revisions 348036 and 351741 on frwikiversity

{{Chapitre
|clé=ordre 1 degre n 2
  | idfaculté = informatique
  | précédent = [[../Ordre 1 degré n 1/]]
  | suivant   = [[../Equation linéaire d'ordre n 5/]]
  | niveau    = 15
  | numéro    = 22
}}

== Présentation ==

Les équations du premier ordre et de degré supérieur. (équations résolubles en y et en x)

Ce travail se base sur le chapitre 9 du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Équations différentielles " Serie Schaum'''.

== Étude ==

== Résoluble en y ==

{| class="wikitable"
|-
! [[Fichier:M09b1.ogv|thumb|Add caption here]] !! [[Fichier:M09b2.ogv|thumb|Add caption here]] !! [[Fichier:M09b3.ogv|thumb|Add caption here]]
|-
|}

=== Ex : y[x]==2p x + p^4*x^2  === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
Voici l'équation à étudier avec  p ==y'[x]:

y[x]==2p x + p^4*x^2

%/.p->p[x];

Dérivons par rapport a x pour éliminer y[x] :

D[%, x]

%/.y'[x]->p[x]

%[[1]]-(%[[2]])==0

Factorisons :

Factor[%]

Récupérons le facteur qui dépend de p' :

p[x]+2 x (p^\[Prime])[x]==0

Résolvons l'équation en p :

p =DSolve[%,p[x],x][[1,1,2]]

La solution    (Introduisons la valeur de p dans l'équation de départ) :

y[x]==%1[[2]]

Vérifions en introduisant la dérivé de y[x] dans l'équation de départ :

y[x]==2D[%[[2]],x] x + D[%[[2]],x]^4*x^2

</pre>
}}

=== Ex : y[x]== (x*p^2+4*x)/(2*p)   === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
Voici l'équation à étudier avec  p ==(y^\[Prime])[x]:

y[x]==Expand[(x*p^2+4*x)/(2*p)]

%/.p->p[x];

Dérivons par rapport a x pour éliminer y[x] :

D[%, x]

%/.(y^\[Prime])[x]->p[x]

%[[1]]-(%[[2]])==0

Factorisons :

Factor[%]

Récupérons le facteur qui dépend de p' :

p[x]-x (p^\[Prime])[x]==0

Résolvons l'équation en p :


p =DSolve[%,p[x],x][[1,1,2]]

La solution    (Introduisons la valeur de p dans l'équation de départ) :

y[x]==%1[[2]]

Vérifions en introduisant la dérivé de y[x] dans l'équation de départ :

y[x]==2x/D[%[[2]],x] +x D[%[[2]],x] /2
</pre>
}}

=== Ex : y[x]==p x/2-8x^2/p^2 === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
Voici l'équation à étudier avec  p ==y'[x]:

y[x]==p x/2-8x^2/p^2

%/.p->p[x];

Dérivons par rapport a x pour éliminer y[x] :

D[%, x]

%/.y'[x]->p[x]

%[[1]]-(%[[2]])==0

Factorisons :

Factor[%]

Récupérons le facteur qui dépend de p' :

-p[x]+x (p^\[Prime])[x]==0

Résolvons l'équation en p :

p =DSolve[%,p[x],x][[1,1,2]]

La solution    (Introduisons la valeur de p dans l'équation de départ) :

y[x]==%1[[2]]

Vérifions en introduisant la dérivé de y[x] dans l'équation de départ :

y[x]==D[%[[2]],x] x/2-8x^2/D[%[[2]],x]^2
</pre>
}}

=== Ex : y[x]==x p-p^2 === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
Voici l'équation à étudier avec  p ==y'[x]:

y[x]==x p-p^2

%/.p->p[x];

Dérivons par rapport a x pour éliminer y[x] :

D[%, x]

%/.y'[x]->p[x]

%[[1]]-(%[[2]])==0

Factorisons :

Factor[%]

Récupérons le facteur qui dépend de p' :

(p^\[Prime])[x]==0

Résolvons l'équation en p :

p =DSolve[%,p[x],x][[1,1,2]]

La solution    (Introduisons la valeur de p dans l'équation de départ) :


y[x]==%1[[2]]

Vérifions en introduisant la dérivé de y[x] dans l'équation de départ :

y[x]==x D[%[[2]],x]-D[%[[2]],x]^2
</pre>
}}


== Résoluble en x ==

{| class="wikitable"
|-
! [[Fichier:M09c1.ogv|thumb|Add caption here]] !! [[Fichier:M09c2.ogv|thumb|Add caption here]] !! [[Fichier:M09c3.ogv|thumb|Add caption here]]
|-
|}

=== Ex : 2x==y/p+y p  === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
Voici l'équation à étudier avec  p ==dy/dx    (1/p==dx/dy):

2x==y/p+y p

%/.x->x[y];
%/.p->p[y];

Dérivons par rapport à y pour éliminer x :

D[%, y]

%/.x'[y]->1/p[y]                                     
%[[1]]-(%[[2]])==0

Factorisons :

Factor[%]

Récupérons le facteur qui dépend de p' :

p[y]+y (p^\[Prime])[y]==0

Résolvons l'équation en p :

p =DSolve[%,p[y],y][[1,1,2]]

Introduisons la valeur de p dans l'équation de départ :

2x==%1[[2]]

Isolons y :

y^2==Solve[%/.y^2->Y,Y][[1,1,2]]

</pre>
}}

=== Ex : 2x==p^2/y+4y/p  === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
Voici l'équation à étudier avec  p ==dy/dx    (1/p==dx/dy):

2x==p^2/y+4y/p

%/.x->x[y];
%/.p->p[y];

Dérivons par rapport à y pour éliminer x :

D[%, y]

%/.x'[y]->1/p[y]

%[[1]]-(%[[2]])==0

Factorisons :

Factor[%]

Récupérons le facteur qui dépend de p' :

p[y]-2 y p'[y]==0

Résolvons l'équation en p :

p =DSolve[%,p[y],y][[1,1,2]]

Introduisons la valeur de p dans l'équation de départ :

2x==%1[[2]]

Isolons y :

Sqrt[y]==Solve[%/.Sqrt[y]->Y,Y][[1,1,2]]

y==%[[2]]^2

%/.C[1]^2->C[2]/.C[2]->2C[3]//Factor
</pre>
}}

=== Ex : x==y/p+p === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
Voici l'équation à étudier avec p ==dy/dx    (1/p==dx/dy):

x==y/p+p

%/.x->x[y];
%/.p->p[y];

Dérivons par rapport à y pour éliminer x :

D[%, y]

%/.x'[y]->1/p[y]

%[[1]]-(%[[2]])==0

Factorisons :

Factor[%]

Récupérons le facteur qui dépend de p' :

 p'[y]==0

Résolvons l'équation en p :

p =DSolve[%,p[y],y][[1,1,2]]

Introduisons la valeur de p dans l'équation de départ :

2x==%1[[2]]

Isolons y :

y==Solve[%,y][[1,1,2]]
</pre>
}}

=== Ex : 4x==y/p+16y^3p === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
Voici l'équation à étudier avec p ==dy/dx    (1/p==dx/dy):

4x==y/p+16y^3p

%/.x->x[y];
%/.p->p[y];

Dérivons par rapport à y pour éliminer x :

D[%, y]

%/.x'[y]->1/p[y]

%[[1]]-(%[[2]])==0

Factorisons :

Factor[%]

Récupérons le facteur qui dépend de p' :

 3 p[y]+y p'[y]==0

Résolvons l'équation en p :

p =DSolve[%,p[y],y][[1,1,2]]

Introduisons la valeur de p dans l'équation de départ :

4x==%1[[2]]

Isolons y :

y^4==Solve[%/.y^4->Y,Y][[1,1,2]]
</pre>
}}

== Conclusion ==

{{Bas de page|idfaculté = informatique
|précédent = [[../Ordre 1 degré n 1/]]
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