Revision 312663 of "Mathematica Home Edition/Equation linéaire 3" on frwikiversity

{{Chapitre
  | idfaculté = informatique
  | précédent = [[../Equation linéaire 2/]]
  | suivant   = [[../Ordre 1 degré n 1/]]
  | niveau    = 15
  | numéro    = 20
}}

== Présentation ==

Les équations de la forme y' + P y = Q y^n.

Ce travail se base sur le chapitre 6 du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Équations différentielles " Serie Schaum'''.

== Étude ==

{| class="wikitable"
|-
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|-
|}

=== Ex : P[x_]=2*x; Q[x_]=   -x;n =     4; ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
 
                                    équation de Bernoulli :     y'+y P= Q  (y^n)  
Voici l'équation à étudier

P[x_]=2*x;
Q[x_]=   -x;
         n =     4;

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]

Mutiplions par  :  (1-n)y^-n

Expand[(1-n)*y[x]^(-n)*%[[1]]]==(1-n)*y[x]^(-n)*%[[2]]

Posons 

  v[x]==y[x]^(1-n)
(v^\[Prime])[x]==D[%[[2]],x]

Introduisons v et v'

(%5/.(%6[[2]])->v[x])/.(%7[[2]])->v'[x]

Soit \[Rho]=e^\[Integral](1-n)Pdx le facteur intégrant


\[Rho] = Exp[Integrate[(1-n)*P[x],x]]

L'équation peut s'écrire   v=1/\[Rho] (\[Integral] \[Rho]  (1-n)Q  dx + C)

v[x]==1/\[Rho] * (Integrate[\[Rho]*(1-n)*Q[x],x]+C[1])//Expand

Remplaçons v  par y 

%/.v[x]->y[x]^(1-n)
 
Vérifions

y[x_]=1/(%[[2]])^(1/(-%[[1,2]]));

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]//Simplify
 
</pre>
}}

=== Ex : P[x_]=-1; Q[x_]=   x;   n =   5; ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
 
                                          équation de Bernoulli :     y'+y P= Q  (y^n)  
Voici l'équation à étudier

P[x_]=-1;
Q[x_]=   x;
         n =   5;

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]

Mutiplions par  :  (1-n)y^-n

Expand[(1-n)*y[x]^(-n)*%[[1]]]==(1-n)*y[x]^(-n)*%[[2]]

Posons 

  v[x]==y[x]^(1-n)
(v^\[Prime])[x]==D[%[[2]],x]

Introduisons v et v'

(%5/.(%6[[2]])->v[x])/.(%7[[2]])->v'[x]

Soit \[Rho]=e^\[Integral](1-n)Pdx le facteur intégrant

\[Rho] = Exp[Integrate[(1-n)*P[x],x]]

L'équation peut s'écrire  v=1/\[Rho] (\[Integral] \[Rho]  (1-n)Q  dx + C)

v[x]==1/\[Rho] * (Integrate[\[Rho]*(1-n)*Q[x],x]+C[1])//Expand

Remplaçons v  par y 

%/.v[x]->y[x]^(1-n)
 
Vérifions

y[x_]=1/(%[[2]])^(1/(n-1));

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]//Simplify
 
</pre>
}}

=== Ex : P[x_]=1; Q[x_]= Cos[x]-Sin[x];  n =  2; ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
 
                                  équation de Bernoulli :     y'+y P= Q  (y^n)  
Voici l'équation à étudier

P[x_]=1;
Q[x_]= Cos[x]-Sin[x];
         n =  2;

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]

Mutiplions par  :  (1-n)y^-n

Expand[(1-n)*y[x]^(-n)*%[[1]]]==(1-n)*y[x]^(-n)*%[[2]]

Posons 

  v[x]==y[x]^(1-n)
(v^\[Prime])[x]==D[%[[2]],x]

Introduisons v et v'

(%5/.(%6[[2]])->v[x])/.(%7[[2]])->v'[x]

Soit \[Rho]=e^\[Integral](1-n)Pdx le facteur intégrant

\[Rho] = Exp[Integrate[(1-n)*P[x],x]]

L'équation peut s'écrire   v=1/\[Rho] (\[Integral] \[Rho]  (1-n)Q  dx + C)

v[x]==1/\[Rho] * (Integrate[\[Rho]*(1-n)*Q[x],x]+C[1])//Expand

Remplaçons v  par y 

%/.v[x]->y[x]^(1-n)
 
Vérifions

y[x_]=1/(%[[2]])^(1/(n-1));

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]//Simplify
 
</pre>
}}

=== Ex : P[x_]=Cos[x]; Q[x_]= Cos[x]; n =  2; ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
 
                                    équation de Bernoulli :     y'+y P= Q  (y^n)  
Voici l'équation à étudier

P[x_]=Cos[x];
Q[x_]= Cos[x];
         n =  2;

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]

Mutiplions par  :  (1-n)y^-n

Expand[(1-n)*y[x]^(-n)*%[[1]]]==(1-n)*y[x]^(-n)*%[[2]]

Posons 

  v[x]==y[x]^(1-n)
(v^\[Prime])[x]==D[%[[2]],x]

Introduisons v et v'

(%5/.(%6[[2]])->v[x])/.(%7[[2]])->v'[x]

Soit \[Rho]=e^\[Integral](1-n)Pdx le facteur intégrant

\[Rho] = Exp[Integrate[(1-n)*P[x],x]]

L'équation peut s'écrire   v=1/\[Rho] (\[Integral] \[Rho]  (1-n)Q  dx + C)

v[x]==1/\[Rho] * (Integrate[\[Rho]*(1-n)*Q[x],x]+C[1])//Expand

Remplaçons v  par y 

%/.v[x]->y[x]^(1-n)
 
Vérifions

y[x_]=1/(%[[2]])^(1/(n-1));

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]//Simplify
 
</pre>
}}

=== Ex : P[x_]=1/x; Q[x_]= Log[x];   n =  2; ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>
 
                                  équation de Bernoulli :     y'+y P= Q  (y^n)  
Voici l'équation à étudier

P[x_]=1/x;
Q[x_]= Log[x];
         n =  2;

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]

Mutiplions par  :  (1-n)y^-n

Expand[(1-n)*y[x]^(-n)*%[[1]]]==(1-n)*y[x]^(-n)*%[[2]]

Posons 

  v[x]==y[x]^(1-n)
(v^\[Prime])[x]==D[%[[2]],x]

Introduisons v et v'

(%5/.(%6[[2]])->v[x])/.(%7[[2]])->v'[x]

Soit \[Rho]=e^\[Integral](1-n)Pdx le facteur intégrant

\[Rho] = Exp[Integrate[(1-n)*P[x],x]]

L'équation peut s'écrire   v=1/\[Rho] (\[Integral] \[Rho]  (1-n)Q  dx + C)

v[x]==1/\[Rho] * (Integrate[\[Rho]*(1-n)*Q[x],x]+C[1])//Expand

Remplaçons v  par y 

%/.v[x]->y[x]^(1-n)
 
Vérifions

y[x_]=1/(%[[2]])^(1/(n-1));

y'[x]+y[x]*P[x]== y[x]^n*Q[x]//Simplify
 
</pre>
}}
== Conclusion ==