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Revision 314359 of "Mathematica Home Edition/Equation linéaire d'ordre n 5" on frwikiversity{{Chapitre
| idfaculté = informatique
| précédent = [[../Ordre 1 degré n 2/]]
| niveau = 15
| numéro = 23
}}
== Présentation ==
Les équation linéaire à coéfficients constants.Méthodes de variation des constantes
Ce travail se base sur le chapitre 15 du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Équations différentielles " Serie Schaum'''.
== Étude ==
Vidéo : [http://www.dailymotion.com/video/xrvxcj_mathematica-m15a1_school Tutorial m15a1]<br />
== Racines distinctes ==
=== Ex 1 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants.
Méthodes de variation des constantes
(Racines distinctes)
Résoudre :
a = 1; b = -3; c = 2;
Q[x_] = Exp[x];
(a Dx^2 + b Dx + c) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
y[x] == Sum[C[i] Exp[%[[i, 1, 2]] x], {i, Length[%]}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2]}:
Solve[{
Select[%6[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[%8[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%8[[1, 2, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%5[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %5[[2]] + %
% // Factor
Eliminons une des constantes :
y[x] == E^x (-x + C[1] + E^x C[2]) // Expand
</pre>
}}
=== Ex 2 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants.
Méthodes de variation des constantes
(Racines distinctes)
Résoudre :
a = 1; b = -2; c = 0;
Q[x_] = Exp[x] Sin[x];
(a Dx^2 + b Dx + c) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
y[x] == Sum[C[i] Exp[%[[i, 1, 2]] x], {i, Length[%]}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2]}:
Solve[{
Select[%6[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[%8[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%8[[1, 2, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%5[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %5[[2]] + %
% // Factor
Eliminons une des constantes :
y[x] == 1/2 (2 C[1] + 2 E^(2 x) C[2] - E^x Sin[x]) // Expand
</pre>
}}
=== Ex 3 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants.
Méthodes de variation des constantes
(Racines distinctes)
Résoudre :
a = 1; b = 5; c = 4;
Q[x_] = 3 - 2 x;
(a Dx^2 + b Dx + c) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
y[x] == Sum[C[i] Exp[%[[i, 1, 2]] x], {i, Length[%]}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2]}:
Solve[{
Select[%6[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[%8[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%8[[1, 2, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%5[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %5[[2]] + % // Simplify
</pre>
}}
== Racines distinctes (ordre 3) ==
=== Ex 1 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants. (ch16/15)
Méthodes de variation des constantes
(Racines distinctes)
Résoudre :
a = 1; b = -4; c = 3; d = 0;
Q[x_] = x^2;
(a Dx^3 + b Dx^2 + c Dx + d) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
y[x] == Sum[C[i] Exp[%[[i, 1, 2]] x], {i, Length[%]}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Calculons y''' :
D[(y^\[Prime]\[Prime])[x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &],
x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2];(L^\[Prime])[x][3];}:
Solve[{
Select[%6[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%8[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2], Derivative[1][L][x][3]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[%9[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%9[[1, 2, 2]], x]
L[x][3] = Integrate[%9[[1, 3, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%5[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %5[[2]] + % // Simplify
Eliminons une des constantes :
y[x] == (26 x)/27 + (4 x^2)/9 + x^3/9 + C[1] + E^x C[2] + E^(3 x) C[3]
</pre>
}}
=== Ex 2 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants. (ch16/3)
Méthodes de variation des constantes
(Racines distinctes)
Résoudre :
a = 1; b = -2; c = -5; d = 6;
Q[x_] = (Exp[2 x] + 3)^2;
(a Dx^3 + b Dx^2 + c Dx + d) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
y[x] == Sum[C[i] Exp[%[[i, 1, 2]] x], {i, Length[%]}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Calculons y''' :
D[(y^\[Prime]\[Prime])[x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &],x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2];(L^\[Prime])[x][3];}:
Solve[{
Select[%6[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%8[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2], Derivative[1][L][x][3]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[%9[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%9[[1, 2, 2]], x]
L[x][3] = Integrate[%9[[1, 3, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%5[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %5[[2]] + % // Simplify
</pre>
}}
=== Ex 3 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants. (ch16/4)
Méthodes de variation des constantes
(Racines distinctes)
Résoudre :
a = 1; b = -2; c = -5; d = 6;
Q[x_] = Exp[3 x];
(a Dx^3 + b Dx^2 + c Dx + d) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
y[x] == Sum[C[i] Exp[%[[i, 1, 2]] x], {i, Length[%]}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Calculons y''' :
D[(y^\[Prime]\[Prime])[x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &],x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2];(L^\[Prime])[x][3];}:
Solve[{
Select[%6[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%8[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2], Derivative[1][L][x][3]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[%9[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%9[[1, 2, 2]], x]
L[x][3] = Integrate[%9[[1, 3, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%5[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %5[[2]] + % // Simplify
Eliminons une des constantes :
y[x] == E^(-2 x) C[1] + E^x C[2] + E^(3 x) (x/10 + C[3]) // Expand
</pre>
}}
== Racines identiques ==
=== Ex 1 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants.
Méthodes de variation des constantes
(Racines identiques)
Résoudre :
a = 1; b = -2; c = 1;
Q[x_] = x^2;
(a Dx^2 + b Dx + c) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
y[x] == Sum[C[i] x^(i - 1) Exp[%[[i, 1, 2]] x], {i, Length[%]}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2]}:
Solve[{
Select[%6[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[%8[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%8[[1, 2, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%5[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %5[[2]] + % // Factor
</pre>
}}
=== Ex 2 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants.
Méthodes de variation des constantes
(Racines identiques)
Résoudre :
a = 1; b = -6; c = 9;
Q[x_] = Exp[3 x]/x^2;
(a Dx^2 + b Dx + c) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
y[x] == Sum[C[i] x^(i - 1) Exp[%[[i, 1, 2]] x], {i, Length[%]}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2]}:
Solve[{
Select[%6[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[%8[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%8[[1, 2, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%5[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %5[[2]] + %
% // Factor
Eliminons une des constantes :
y[x] == E^(3 x) (C[1] + x C[2] - Log[x]) // Expand
</pre>
}}
== Racines complexes ==
=== Ex 1 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants. (ch15/11)
Méthodes de variation des constantes
(Racines complexes)
Résoudre :
a = 1; b = 0; c = 4;
Q[x_] = 4 Sec[2 x]^2;
(a Dx^2 + b Dx + c) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
j = 1;
y[x] == Sum[
Exp[Re[%4[[2, 1, 2]]] x]
(C[ j++] Cos[Im[%4[[2, 1, 2]]] x] +
C[ j++] Sin[Im[%4[[2, 1, 2]]] x]),
{i, (Length[%4])/2}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2]}:
Solve[{
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%8[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[ %[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%%[[1, 2, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%6[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %6[[2]] + %
</pre>
}}
=== Ex 2 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants. (ch15/15)
Méthodes de variation des constantes
(Racines complexes)
Résoudre :
a = 1; b = 0; c = 2;
Q[x_] = Exp[x] + 2;
(a Dx^2 + b Dx + c) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
j = 1;
y[x] == Sum[
Exp[Re[%4[[2, 1, 2]]] x]
(C[ j++] Cos[Im[%4[[2, 1, 2]]] x] +
C[ j++] Sin[Im[%4[[2, 1, 2]]] x]),
{i, (Length[%4])/2}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2]}:
Solve[{
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%8[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[ %[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%%[[1, 2, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%6[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %6[[2]] + %
% // Simplify
</pre>
}}
=== Ex 3 ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica|contenu=
<pre>
Equation linéaire à coéfficients constants. (ch15//10)
Méthodes de variation des constantes
(Racines complexes)
Résoudre :
a = 1; b = 0; c = 1;
Q[x_] = Csc[x];
(a Dx^2 + b Dx + c) y == Q[x]
La fonction complémentaire est :
Solve[%[[1]] == 0, Dx]
j = 1;
y[x] == Sum[
Exp[Re[%4[[2, 1, 2]]] x]
(C[ j++] Cos[Im[%4[[2, 1, 2]]] x] +
C[ j++] Sin[Im[%4[[2, 1, 2]]] x]),
{i, (Length[%4])/2}]
Calculons y' avec l'introduction de L[X] :
D[% /. C -> L[x], x]
Calculons y'' :
D[Derivative[1][y][x] == Select[%[[2]], FreeQ[#, Derivative[1][L][x]] &], x]
Creer et résoudre le système en {(L^\[Prime])[x][1];(L^\[Prime])[x][2]}:
Solve[{
Select[%7[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == 0,
Select[%8[[2]], FreeQ[#, L[x]] &] == Q[x]},
{Derivative[1][L][x][1], Derivative[1][L][x][2]}]
Calculer {L[x][1];L[x][2]}:
L[x][1] = Integrate[ %[[1, 1, 2]], x]
L[x][2] = Integrate[%%[[1, 2, 2]], x]
Introduisons une fonction particulière dans la fonction complémentaire :
%6[[2]] /. C -> L[x];
y[x] == %6[[2]] + %
</pre>
}}
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