Revision 351702 of "Mathematica Home Edition/Equation Non Homogène 1" on frwikiversity

{{Chapitre
|clé=equation non homogene 1
  | idfaculté = informatique
  | précédent = [[../Equation Homogène/]]
  | suivant   = [[../Equation Non Homogène 2/]]
  | niveau    = 15
  | numéro    = 8
}}

== Présentation ==

Ce travail se base sur le quatrième chapitre du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Equations différentielles " Serie Schaum'''.

Dans ce chapitre nous allons voir les équations du premier ordre et du premier degré (Cas des équations linéaire non homogènes a1b2-a2b1 = 0).

== Etudes ==

=== (1 + x + y) dx + (1 + 2 x + 2 y) dy ===



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

Equations (1 + x + y) dx + (1 + 2 x + 2 y) dy

du premier ordre et du premier degre.

 (Equations lineaires mais non homogenes)
 
 a1 b2 - a2 b1 = 0 
 
Initialisation.
a1:=1;b1:=1;c1:=1; 
a2:=2;b2:=2;c2:=1;

m=a1*x+b1*y+c1;
n=a2*x+b2*y+c2;

m*dx +n*dy
Nous voyons que  l'equation est lineaire mais non homogene.

Et si : a1 b2 - a2 b1 = 0

a1* b2-a2* b1

On pose :         a1 x+ b1 y  = v           ou       y = (   v  -  a1   x)  /  b1
                         Et                 donc    dy  = (dv  -  a1 dx)  /  b1
                                      
alors on peut appliquer  la transformation :
(m/.y->((v-a1*x)/b1))*dx+
Simplify[n/.y->((v-a1*x)/b1) ]* dy/.dy->(dv-a1* dx)/b1
Arrangeons l'equation :
Collect[%,dx];
Collect[%,dv]
Voici la nouvelle equation a etudier.

Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
en utilisant eventuellement Copy/Paste
p=-v;
q=(1+2 v);

p dx +q dv
 
Les variables de l'equation sont dites separees, 
car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
En multipliant par le facteur integrant :
facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,x]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])
L'equation s'ecrira : 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dx +q dv
D'ou l'on tirera la primitive par integration.
 Integrate[p,x] + Integrate[q,v]
Refaisons apparaitre y:
sol=Expand[% /.v->a1*x+b1*y]
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :
Simplify[D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy]
Denominator[%]*(-%)
Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m dx +n dy
 
</pre>
}}


===  (x + y) dx + (4 + 3 x + 3 y) dy  (1) ===

[[Fichier:M04c2.ogv|thumb|Add caption here]]

{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

Equations du premier ordre et du premier degre.

 (Equations lineaires mais non homogenes)
 
 a1 b2 - a2 b1 = 0 
 
Initialisation.
a1:=1;b1:=1;c1:=0; 
a2:=3;b2:=3;c2:=4;

m=a1*x+b1*y+c1;
n=a2*x+b2*y+c2;

m*dx +n*dy
Nous voyons que  l'equation est lineaire mais non homogene.

Et si : a1 b2 - a2 b1 = 0

a1* b2-a2* b1

On pose :         a1 x+ b1 y  = v           ou       y = (   v  -  a1   x)  /  b1
                         Et                 donc    dy  = (dv  -  a1 dx)  /  b1
                                      
alors on peut appliquer  la transformation :
(m/.y->((v-a1*x)/b1))*dx+
Simplify[n/.y->((v-a1*x)/b1) ]* dy/.dy->(dv-a1* dx)/b1
Arrangeons l'equation :
Collect[%,dx];
Collect[%,dv]
Voici la nouvelle equation a etudier.

Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
en utilisant eventuellement Copy/Paste
p=(-4-2 v) ;
q=(4+3 v);

p dx +q dv
 
Les variables de l'equation sont dites separees, 
car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
En multipliant par le facteur integrant :
facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,x]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])
L'equation s'ecrira : 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dx +q dv
D'ou l'on tirera la primitive par integration.
 Integrate[p,x] + Integrate[q,v]
Refaisons apparaitre y:
sol=Expand[2*(% /.v->a1*x+b1*y)]
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :
Simplify[D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy]
Denominator[%]*(-%)
Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m dx +n dy

</pre>
}}


=== (x + y) dx + (4 + 3 x + 3 y) dy (2) ===

[[Fichier:M04c3.ogv|thumb|Add caption here]]


{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

Equations du premier ordre et du premier degre.

 (Equations lineaires mais non homogenes)
 
 a1 b2 - a2 b1 = 0 
 
Initialisation.
a1:=1;b1:=1;c1:=0; 
a2:=3;b2:=3;c2:=4;

m=a1*x+b1*y+c1;
n=a2*x+b2*y+c2;

m*dx +n*dy
Nous voyons que  l'equation est lineaire mais non homogene.

Et si : a1 b2 - a2 b1 = 0

a1* b2-a2* b1

On pose :         a2 x+ b2 y  = v           ou       x  = (  v - b2   y) / a2
                         Et                 donc    dx  = (dv - b2 dy) / a2  
                                      
alors on peut appliquer  la transformation :
Simplify[((m/.x->((v-b2*y)/a2))*dx+
(n/.x->((v-b2*y)/a2))* dy)/.dx->(dv-b2* dy)/a2];

% 9
Arrangeons l'equation :
Collect[%,dy];
Collect[%,dv]
Voici la nouvelle equation a etudier.

Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
en utilisant eventuellement Copy/Paste
p=(36+6 v) ;
q=v;

p dy +q dv
 
Les variables de l'equation sont dites separees, 
car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
En multipliant par le facteur integrant :
facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,y]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])
L'equation s'ecrira : 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dy +q dv
D'ou l'on tirera la primitive par integration.
 Integrate[p,y] + Integrate[q,v]
Refaisons apparaitre y:
sol=Expand[2*(% /.v->a2*x+b2*y)]
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :
Simplify[D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy]
Denominator[%]*(%)
Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m dx +n dy
 
</pre>
}}

== Conclusion ==

Dans les deux derniers exemples c'est l'algorithme qui change.

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