Revision 351707 of "Mathematica Home Edition/Equation Non Homogène 2" on frwikiversity

{{Chapitre
|clé=equation non homogene 2
  | idfaculté = informatique
  | précédent = [[../Equation Non Homogène 1/]]
  | suivant   = [[../Equation yfxy xgxy/]]
  | niveau    = 15
  | numéro    = 9
}}

== Présentation ==

Ce travail se base sur le quatrième chapitre du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Equations différentielles " Serie Schaum'''.

Dans ce chapitre nous allons voir les équations du premier ordre et du premier degré (Cas des équations linéaire non homogènes a1b2-a2b1 != 0).

== Etudes ==


=== Ex : (-1+x-y) dx+(-1+x+4 y) dy ===



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

Equations du premier ordre et du premier degre.

 (Equations lineaires mais non homogenes)
 
 a1 b2 - a2 b1 != 0 
 
Initialisation.
a1:=1;b1:=-1;c1:=-1; 
a2:=1;b2:=   4;c2:=-1;

m=a1*x+b1*y+c1;
n=a2*x+b2*y+c2;

m*dx +n*dy
Nous voyons que  l'equation est lineaire mais non homogene.

Et si : a1 b2 - a2 b1 != 0

a1* b2-a2* b1
Si le resultat de l'operation precedente n'est
pas nul, nous pouvons rendre l'equation etudie homogene.

Posons le systeme d'equation suivant :
sol=Solve[
a1* h+b1 *k==-c1&&
a2 *h+b2 *k==-c2,
{h,k}]

h=sol[[1]][[1]][[2]];
k=sol[[1]][[2]][[2]];
Alors par la transformation       x = xp + h       dx = dxp
et                                              y = yp + k      dy = dyp 
l'equation est ramene a la forme homogene :
m=(m/.x->(xp +h))/.y->(yp +k);
n=(n/.x->(xp +h))/.y->(yp +k);

m dx +n dy
Appliquons  la transformation :
y -> v x
dy -> v dx + x dv 
((m/.yp->v*xp)dxp +(n/.yp->v*xp) dyp)/.dyp->v*dxp+xp*dv
 Essayons de simplifier  le resultat :
Factor[%]
Simplifions par le facteur commun.
%/xp
Arrangeons l'equation :
Collect[%,dxp];
Collect[%,dv]
Voici la nouvelle equation a etudier.

Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
en utilisant eventuellement Copy/Paste
p=(1+4 v^2);
q=Factor[(xp+4 v *xp)];

p *dxp +q *dv
 
Les variables de l'equation sont dites separees, 
car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
En multipliant par le facteur integrant :
facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,xp]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])
L'equation s'ecrira : 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dxp +q dv
D'ou l'on tirera la primitive par integration.
 Integrate[p,xp] + Integrate[q,v]
Eliminons v :
sol=Expand[% /.v->yp/xp]
Refaisons apparaitre x :
sol=Expand[% /.xp->x-h]
Refaisons apparaitre y :
sol=Expand[% /.yp->y-k]
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :
Simplify[D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy]
Denominator[%]*%
Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

(-1+x-y) dx+(-1+x+4 y) dy
 
</pre>
}}

=== Ex : (3+2 x-5 y) dx+(6-2 x-4 y) dy ===



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

Equations du premier ordre et du premier degre.

 (Equations lineaires mais non homogenes)
 
 a1 b2 - a2 b1 != 0 
 
Initialisation.
a1:=   2;b1:=-5;c1:=3; 
a2:=-2;b2:= -4;c2:=6;

m=a1*x+b1*y+c1;
n=a2*x+b2*y+c2;

m*dx +n*dy
Nous voyons que  l'equation est lineaire mais non homogene.

Et si : a1 b2 - a2 b1 != 0

a1* b2-a2* b1
Si le resultat de l'operation precedente n'est
pas nul, nous pouvons rendre l'equation etudie homogene.

Posons le systeme d'equation suivant :
sol=Solve[
a1* h+b1 *k==-c1&&
a2 *h+b2 *k==-c2,
{h,k}]

h=sol[[1]][[1]][[2]];
k=sol[[1]][[2]][[2]];
Alors par la transformation       x = xp + h       dx = dxp
et                                              y = yp + k      dy = dyp 
l'equation est ramene a la forme homogene :
m=(m/.x->(xp +h))/.y->(yp +k);
n=(n/.x->(xp +h))/.y->(yp +k);

m dx +n dy
Appliquons  la transformation :
y -> v x
dy -> v dx + x dv 
((m/.yp->v*xp)dxp +(n/.yp->v*xp) dyp)/.dyp->v*dxp+xp*dv
 Essayons de simplifier  le resultat :
Factor[%]
Simplifions par le facteur commun.
%/-xp
Arrangeons l'equation :
Collect[%,dxp];
Collect[%,dv]
Voici la nouvelle equation a etudier.

Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
en utilisant eventuellement Copy/Paste
p=(-2+7 v+4 v^2);
q=Factor[(2 xp+4 v xp)];

p *dxp +q *dv
 
Les variables de l'equation sont dites separees, 
car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
En multipliant par le facteur integrant :
facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,xp]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])
L'equation s'ecrira : 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dxp +q dv
D'ou l'on tirera la primitive par integration.
 Integrate[p,xp] + Integrate[q,v]
Eliminons v :
sol=Expand[% /.v->yp/xp]
Refaisons apparaitre x :
sol=Expand[% /.xp->x-h]
Refaisons apparaitre y :
sol=Expand[% /.yp->y-k]
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :
Simplify[D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy]
Denominator[%]*%
Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

(3+2 x-5 y) dx+(6-2 x-4 y) dy

</pre>
}}

== Conclusion ==

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