Revision 351711 of "Mathematica Home Edition/Equation divers" on frwikiversity

{{Chapitre
  | idfaculté = informatique
  | précédent = [[../Equation yfxy xgxy/]]
  | suivant   = [[../Equation exacte 1/]]
  | niveau    = 15
  | numéro    = 11
}}

== Présentation ==

Ce travail se base sur le quatrième chapitre du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Equations différentielles " Serie Schaum'''.

Dans ce chapitre nous allons voir les équations du premier ordre et du premier degré (Cas des équations divers).

== Etudes ==


=== Ex : (y-x)^2 dx + dx =0 ===



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

Equations du premier ordre et du premier degre.

 
Etudions cette equation
m=(y-x)^2;
n=1;

m dx +n dy
Appliquons  la transformation :
 x + y + c = v              y -> v - x -c
                                   dy -> dv -  dx
((m/.y->x+v)dx +(n/.y->x+v) dy)/.dy->dx+dv
 Essayons de simplifier  le resultat :
Factor[%]
Simplifions par le facteur commun.
% 1
Arrangeons l'equation :
Collect[%,dx];
Collect[%,dv]
Voici la nouvelle equation a etudier.

Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
en utilisant eventuellement Copy/Paste
p=(1+v^2);
q=1;

p dx +q dv
 
Les variables de l'equation sont dites separees, 
car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
En multipliant par le facteur integrant :
facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,x]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])
L'equation s'ecrira : 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dx +q dv
D'ou l'on tirera la primitive par integration.
 Integrate[p,x] + Integrate[q,v]
Refaisons apparaitre y:
sol=% /.v->y-x
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :
Simplify[D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy]
Denominator[%]*%
Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m dx +n dy
 
</pre>
}}


=== Ex : Tan[x+y]^2 dx - dy = 0===

[[Fichier:M04f2.ogv|thumb|Add caption here]]

{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


Equations du premier ordre et du premier degre.

 
Etudions cette equation
m=Tan[x+y]^2;
n=-1;

m *dx +n *dy
Appliquons  la transformation :
       x + y = v              y -> v - x
                             dy -> dv -  dx
((m/.y->v-x)dx +(n/.y->v-x) dy)/.dy->dv-dx
 Essayons de simplifier  le resultat :
Factor[%]
Simplifions par le facteur commun.
% 1
Arrangeons l'equation :
Collect[%,dx];
Collect[%,dv]
Voici la nouvelle equation a etudier.

Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
en utilisant eventuellement Copy/Paste
p=(1+Tan[v]^2);
q=-1;

p dx +q dv
 
Les variables de l'equation sont dites separees, 
car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
En multipliant par le facteur integrant :
facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,x]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])
L'equation s'ecrira : 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dx +q dv
D'ou l'on tirera la primitive par integration.
 Integrate[p,x] + Integrate[q,v]
Refaisons apparaitre y:
sol=% /.v->y+x
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :
Simplify[D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy]
Denominator[%]*%
Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m dx +n dy
 
</pre>
}}


=== Ex : (3*y-4*x)^2 dx + dy = 0 ===



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

Equations du premier ordre et du premier degre.

 
Etudions cette equation
m=(3*y-4*x)^2;
n=1;

m dx +n dy
Appliquons  la transformation :
 x + y + c = v              y -> v - x -c
                                   dy -> dv -  dx
((m/.y->4/3*x+1/3*v)dx +(n/.y->4/3*x+1/3*v) dy)/.dy->4/3*dx+1/3*dv
 Essayons de simplifier  le resultat :
Factor[%]
Simplifions par le facteur commun.
% 3
Arrangeons l'equation :
Collect[%,dx];
Collect[%,dv]
Voici la nouvelle equation a etudier.

Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
en utilisant eventuellement Copy/Paste
p=(4+3 v^2);
q=1;

p dx +q dv
 
Les variables de l'equation sont dites separees, 
car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
En multipliant par le facteur integrant :
facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,x]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])
L'equation s'ecrira : 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dx +q dv
D'ou l'on tirera la primitive par integration.
 Integrate[p,x] + Integrate[q,v]
Refaisons apparaitre y:
sol=% /.v->3*y-4*x
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :
Simplify[D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy]
(1/3)*(Denominator[%]*%)
Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m dx +n dy

</pre>
}}


=== Ex : (y-x+1)^2 dx + (y-x+1)+5 dy = 0 ===

{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

 Equations du premier ordre et du premier degre.

 
 Etudions cette equation

m=(y-x+1)^2;
n=(y-x+1)+5;

m dx +n dy

 Appliquons  la transformation :

 x + y + c = v              y -> v - x -c
                           dy -> dv -  dx

((m/.y->v+x-1)dx +(n/.y->v+x-1) dy)/.dy->dv+dx

 Essayons de simplifier  le resultat :

Factor[%]

 Simplifions par le facteur commun.

% 1

 Arrangeons l'equation :

Collect[%,dx];
Collect[%,dv]

 Voici la nouvelle equation a etudier.

 Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
 en utilisant eventuellement Copy/Paste

p=5+v+v^2;
q=5+v;

p dx +q dv
 
 Les variables de l'equation sont dites separees, 
 car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
 En multipliant par le facteur integrant :

facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,x]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])

 L'equation s'ecrira : 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dx +q dv

 D'ou l'on tirera la primitive par integration.

 Integrate[p,x] + Integrate[q,v]

 Refaisons apparaitre y:

sol=% /.v->y-x+1        
 
 Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :

Simplify[D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy]

Denominator[%]*%

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m dx +n dy
 
</pre>
}}

=== Ex : y^2 (x^2+2) dx+(x^3+y^3) (y dx-x dy)=0  ===



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


Equations du premier ordre et du premier degre.

y^2 (x^2+2) dx+(x^3+y^3) (y dx-x dy)=0
 
y^2*(x^2+2)*dx +(x^3+y^3)*(y*dx-x*dy);

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

 Cette équation ne semble pas homogène.

m=(2+x^2) *y^2+y *(x^3+y^3);
n=- x* (x^3+y^3) ;

m dx +n dy

 Appliquons malgré tous  la transformation :

                 y -> v x
                dy -> v dx + x dv 

((m/.y->v*x)dx +(n/.y->v*x) dy)/.dy->v*dx+x*dv

 Essayons de simplifier  le resultat :

Factor[%]

 Simplifions par le facteur commun.

%/(-x^2)

 Arrangeons l'equation :

Collect[%,dx];
Collect[%,dv]

 Voici la nouvelle equation a etudier.

 Entrez manuellement les valeurs de P et Q 
 en utilisant eventuellement Copy/Paste

p=Factor[-2 v^2-v^2 x^2];
q=Factor[x^3+v^3 x^3 ];

p dx +q dv
 
 Les variables de l'equation sont dites separees, 
 car l'equation peut s'ecrire sous la forme :

 f1(x) g2(y) + f2(x) g1(y) = 0
 
 En multipliant par le facteur integrant :

facteur =a^4/(Select[a^2*p,FreeQ[#,x]&] 
                          Select[a^2*q,FreeQ[#,v]&])

 L'equation s'ecrira :
 
p=facteur p;
q=facteur q;

p dx +q dv

 D'ou l'on tirera la primitive par integration.

Integrate[p,x] + Integrate[q,v]

 Refaisons apparaitre y:

sol=% /.v->y/x
 
 Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :

Simplify[x^3*y^2* (D[sol,x]*dx+D[sol,y]*dy)];

Collect[Expand[%],dx];
Collect[%,dy]

Expand[m] dx +Expand[n] dy

</pre>
}}

== Conclusion ==

{{Bas de page|idfaculté = informatique
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|suivant   = [[../Equation exacte 1/]]}}