Revision 351717 of "Mathematica Home Edition/Equation exacte 2" on frwikiversity

{{Chapitre
  | idfaculté = informatique
  | précédent = [[../Equation exacte 1/]]
  | suivant   = [[../Equation exacte 3/]]
  | niveau    = 15
  | numéro    = 13
}}

== Présentation ==

Équations du premier ordre et du premier degré. '''(Cas des équations exactes)'''.

Ce travail se base sur le chapitre 5 du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Équations différentielles " Serie Schaum'''.

== Étude ==


=== Ex : 2*x^3+3*y dx + 3*x+y-1 dy = 0 === 

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{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

Equations du premier ordre et du premier degre.

 (Equation exactes)
 
 
Initialisation.

m[x_,y_]:=2*x^3+3*y;
n[x_,y_]:=3*x+y-1;

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]*dx"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 


D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0
D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Factor[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(y-y^2/2);

sol[x,y] = Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :

Expand[Simplify[D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m[x,y] dx +n[x,y] dy
 
</pre>
}}


=== Ex : 4*x^3*y^3+1/x dx + 3*x^4*y^2-1/y dy = 0   === 



{{Boîte déroulante|titre=Le code  Mathematica  |contenu=
<pre>

Equations du premier ordre et du premier degre.

 (Equation exactes)
 
 
Initialisation.

m[x_,y_]:=4*x^3*y^3+1/x;
n[x_,y_]:=3*x^4*y^2-1/y;

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]*dx"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 


D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0
D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(Log[y]);

sol[x,y] = Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :

Expand[Simplify[D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m[x,y] dx +n[x,y] dy
 
</pre>
}}


=== Ex : x+y*Cos[x] dx +  Sin[x] dy = 0  === 


{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


Equations du premier ordre et du premier degre.

 (Equation exactes)
 
 
Initialisation.

m[x_,y_]:=x+y*Cos[x];
n[x_,y_]:=Sin[x];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]*dx"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 


D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0
D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(0);

sol[x,y] = Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :

Expand[Simplify[D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m[x,y] dx +n[x,y] dy
 

</pre>
}}


=== Ex : Cos[y]+y*Cos[x] dx + Sin[x]-x*Sin[y] dy = 0  === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code  Mathematica |contenu=
<pre>

Equations du premier ordre et du premier degre.

 (Equation exactes)
 
 
Initialisation.

m[x_,y_]:=Cos[y]+y*Cos[x];
n[x_,y_]:=Sin[x]-x*Sin[y];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]*dx"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 


D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0
D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(0);

sol[x,y] = Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :

Expand[Simplify[D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m[x,y] dx +n[x,y] dy
 
</pre>
}}


=== Ex : 3*Exp[3*x]*y-2*x dx + Exp[3*x] dy ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


Equations du premier ordre et du premier degre.

 (Equation exactes)
 
 
Initialisation.

m[x_,y_]:=3*Exp[3*x]*y-2*x;
n[x_,y_]:=Exp[3*x];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]*dx"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 


D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0
D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Factor[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(0);

sol[x,y] = Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l' equation de depart :

Expand[Simplify[D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

m[x,y] dx +n[x,y] dy
 

</pre>
}}

== Conclusion ==

{{Bas de page|idfaculté = informatique
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