Revision 351719 of "Mathematica Home Edition/Equation exacte 3" on frwikiversity

{{Chapitre
  | idfaculté = informatique
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  | niveau    = 15
  | numéro    = 14
}}

== Présentation ==

équations du premier ordre et du premier degré. '''(Cas des équations non exactes)'''.

Si f(x) = (m'-n')/n ne depend que de x, alors  Exp[Integrate[f(x),x]] est un facteur intégrant.

Ce travail se base sur le chapitre 5 du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Équations différentielles " Serie Schaum'''.

== Étude ==

=== Ex : x^2+y^2+x dx + x*y dy  = 0   === 



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


équations du premier ordre et du premier degre.

 (équations non exactes)

si f(x) = (m'-n')/n ne depend que de x, 

alors  facT = Exp[Integrate[f(x),x]] est un facteur intégrant.
 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=x^2+y^2+x;
nT[x_,y_]:=x*y;

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !
Si le résultat  ne dépend que de x

(D[mT[x,y],y]-D[nT[x,y],x])/nT[x,y]

facT, est un facteur intégrant.

facT =Exp[Integrate[%,x]]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=facT * mT[x,y];
n[x_,y_]:=facT * nT[x,y];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :
 
D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.


Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(0);

sol[x,y] = Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 
</pre>
}}


=== Ex : 2*y-3*x dx + x dx  =0    === 

[[Fichier:M05c2.ogv|thumb|Add caption here]]

{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


équations du premier ordre et du premier degre.

 (équations non exactes)

si f(x) = (m'-n')/n ne depend que de x, 

alors  facT = Exp[Integrate[f(x),x]] est un facteur intégrant.
 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=2*y-3*x;
nT[x_,y_]:=x;

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !

Si le résultat  ne dépend que de x

(D[mT[x,y],y]-D[nT[x,y],x])/nT[x,y]

facT, est un facteur intégrant.

facT =Exp[Integrate[%,x]]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=facT * mT[x,y];
n[x_,y_]:=facT * nT[x,y];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :
 
D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0


D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;

Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(0);

sol[x,y] =  Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 

</pre>
}}


=== Ex : y+Log[x] dx -x dy = 0   === 
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


équations du premier ordre et du premier degre.

 (équations non exactes)

si f(x) = (m'-n')/n ne depend que de x, 

alors  facT = Exp[Integrate[f(x),x]] est un facteur intégrant.
 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=y+Log[x];
nT[x_,y_]:=-x;

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !
Si le résultat  ne dépend que de x

(D[mT[x,y],y]-D[nT[x,y],x])/nT[x,y]

facT, est un facteur intégrant.

facT =Exp[Integrate[%,x]]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=facT * mT[x,y];
n[x_,y_]:=facT * nT[x,y];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.


Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(0);

sol[x,y] =  Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 

</pre>
}}


=== Ex : y-2-2*x dx + 1 dy ===
{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


équations du premier ordre et du premier degre.

 (équations non exactes)

si f(x) = (m'-n')/n ne depend que de x, 

alors  facT = Exp[Integrate[f(x),x]] est un facteur intégrant.
 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=y-2-2*x;
nT[x_,y_]:=1;

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !
Si le résultat  ne dépend que de x

(D[mT[x,y],y]-D[nT[x,y],x])/nT[x,y]

facT, est un facteur intégrant.

facT =Exp[Integrate[%,x]]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=Expand[facT * mT[x,y]];
n[x_,y_]:=Expand[facT * nT[x,y]];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :
 
D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.


Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(0);

sol[x,y] =  Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 

</pre>
}}

== Conclusion ==

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