Revision 351721 of "Mathematica Home Edition/Equation exacte 4" on frwikiversity

{{Chapitre
  | idfaculté = informatique
  | précédent = [[../Equation exacte 3/]]
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  | niveau    = 15
  | numéro    = 14
}}

== Présentation ==

équations non exactes,  si  g(y) = (( m_y'- n_x')/m) ne depend que de y, alors  Exp[Integrate[-g(y),y]  est un facteur intégrant

Ce travail se base sur le chapitre 5 du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Équations différentielles " Serie Schaum'''.

== Étude ==

=== Ex : y dx + x*y+x-3*y dy  = 0  === 



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


équations du premier ordre et du premier degre.

 (équations non exactes)

si  g(y) = (( m_y'- n_x')/m) ne depend que de y, 

alors  Exp[Integrate[-g(y),y]  est un facteur intégrant.
 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=y;
nT[x_,y_]:=x*y+x-3*y;

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !
Si le résultat  ne dépend que de x

Simplify[ -  (D[mT[x,y],y]-D[nT[x,y],x])  /  mT[x,y] ]

facT, est un facteur intégrant.

facT =Exp[Integrate[%,y]]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=Expand[facT * mT[x,y]];
n[x_,y_]:=Expand[facT * nT[x,y]];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(3 E^y (-1+y));

sol[x,y] = Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 

</pre>
}}

=== Ex : y*(1+y^2) dx + -2*(1-2*x*y^2) dy = 0  === 



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


équations du premier ordre et du premier degre.

 (équations non exactes)

si  g(y) = (( m_y'- n_x')/m) ne depend que de y, 

alors  Exp[Integrate[-g(y),y]  est un facteur intégrant.
 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=y*(1+y^2);
nT[x_,y_]:=-2*(1-2*x*y^2);

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !
Si le résultat  ne dépend que de x


Simplify[ -  (D[mT[x,y],y]-D[nT[x,y],x])  /  mT[x,y] ]

facT, est un facteur intégrant.

facT =Exp[Integrate[%,y]]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=Expand[facT * mT[x,y]];
n[x_,y_]:=Expand[facT * nT[x,y]];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :
 
D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(y^2+2 Log[y]);

sol[x,y]=  Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 

</pre>
}}


=== Ex : 2*x*y^4*Exp[y]+2*x*y^3+y dx + x^2*y^4*Exp[y]-x^2*y^2-3*x dy =0 === 


{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>

équations du premier ordre et du premier degre.

 (équations non exactes)

si  g(y) = (( m_y'- n_x')/m) ne depend que de y, 

alors  Exp[Integrate[-g(y),y]  est un facteur intégrant.
 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=2*x*y^4*Exp[y]+2*x*y^3+y;
nT[x_,y_]:=x^2*y^4*Exp[y]-x^2*y^2-3*x;;

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !
Si le résultat  ne dépend que de x

Simplify[ -  (D[mT[x,y],y]-D[nT[x,y],x])  /  mT[x,y] ]

facT, est un facteur intégrant.

facT =Exp[Integrate[%,y]]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=Expand[facT * mT[x,y]];
n[x_,y_]:=Expand[facT * nT[x,y]];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

                                        D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(0);

sol[x,y]= Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 
</pre>
}}

=== Ex : 1+Sin[y] dx + 2*x*Cos[y] dy = 0 === 


{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


équations du premier ordre et du premier degre.

 (équations non exactes)

si  g(y) = (( m_y'- n_x')/m) ne depend que de y, 

alors  Exp[Integrate[-g(y),y]  est un facteur intégrant.
 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=1+Sin[y];
nT[x_,y_]:=2*x*Cos[y];

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !
Si le résultat  ne dépend que de x

Simplify[ -  (D[mT[x,y],y]-D[nT[x,y],x])  /  mT[x,y] ]

facT, est un facteur intégrant.

facT =Exp[Integrate[%,y]]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=Expand[facT * mT[x,y]];
n[x_,y_]:=Expand[facT * nT[x,y]];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

                                       D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(0);

sol[x,y] = Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 

</pre>
}}

== Conclusion ==

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