Revision 351722 of "Mathematica Home Edition/Equation exacte 5" on frwikiversity

{{Chapitre
  | idfaculté = informatique
  | précédent = [[../Equation exacte 4/]]
  | suivant   = [[../Equation exacte 6/]]
  | niveau    = 15
  | numéro    = 15
}}

== Présentation ==

Si (y f(xy)dx + x g(xy)dy = 0   avec    f(xy) !=  g(xy) ) alors  (1/(m x - n y))  est un facteur intégrant.

Ce travail se base sur le chapitre 5 du livre de '''"Frank Ayres Jr" "Équations différentielles " Serie Schaum'''.

== Étude ==

=== Ex : y*(x^2*y^2+2) dx + x*(2-2*x^2*y^2) dy =0  === 

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{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


Equations du premier ordre et du premier degre.

 (y f(xy)dx + x g(xy)dy = 0   avec    f(xy) !=  g(xy) )

alors  (1/(m x - n y))  est un facteur intégrant.

 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=y*(x^2*y^2+2);
nT[x_,y_]:=x*(2-2*x^2*y^2);

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !

facT =Simplify[ 1 /  (x*mT[x,y]-y* nT[x,y])]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=Expand[facT * mT[x,y]];
n[x_,y_]:=Expand[facT * nT[x,y]];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :
 
D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -((2 Log[y])/3);

sol[x,y]= Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 

</pre>
}}

=== Ex : y*(2*x*y+1) dx + x*(1+2*x*y-x^3*y^3) dy = 0 === 



{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


Equations du premier ordre et du premier degre.

 (y f(xy)dx + x g(xy)dy = 0   avec    f(xy) !=  g(xy) )

alors  (1/(m x - n y))  est un facteur intégrant.

 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=y*(2*x*y+1);
nT[x_,y_]:=x*(1+2*x*y-x^3*y^3);

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !

facT =Simplify[ 1 /  (x*mT[x,y]-y* nT[x,y])]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=Expand[facT * mT[x,y]];
n[x_,y_]:=Expand[facT * nT[x,y]];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :
 
D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(Log[y]);

sol[x,y]= Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 

</pre>
}}


=== Ex : y dx + x*(1-3*x^2*y^2) dy =0 === 


{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
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Equations du premier ordre et du premier degre.

 (y f(xy)dx + x g(xy)dy = 0   avec    f(xy) !=  g(xy) )

alors  (1/(m x - n y))  est un facteur intégrant.

 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=y;
nT[x_,y_]:=x*(1-3*x^2*y^2);

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !

facT =Simplify[ 1 /  (x*mT[x,y]-y* nT[x,y])]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=Expand[facT * mT[x,y]];
n[x_,y_]:=Expand[facT * nT[x,y]];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :
 
D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(Log[y]);

sol[x,y]= Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 
</pre>
}}

=== Ex : -y dx + x dy = 0 === 


{{Boîte déroulante|titre=Le code Mathematica |contenu=
<pre>


Equations du premier ordre et du premier degre.

 (y f(xy)dx + x g(xy)dy = 0   avec    f(xy) !=  g(xy) )

alors  (1/(m x - n y))  est un facteur intégrant.

 
Initialisation.

mT[x_,y_]:=-y;
nT[x_,y_]:= x;

mT[x,y]*dx +nT[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte :

D[mT[x,y],y]
D[nT[x,y],x]

 Il faut rechercher un facteur intégrant !

facT =Simplify[ 1 /  (x*mT[x,y]-y* nT[x,y])]

Voici la nouvelle équation :

m[x_,y_]:=Expand[facT * mT[x,y]];
n[x_,y_]:=Expand[facT * nT[x,y]];

m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

Vérifions si l'équation est exacte : 

D[m[x,y],y]
D[n[x,y],x]

Nous allons supposer que nous connaissons déjà une solution particulière.

Soit   sol[x,y]   cette  solution

"D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy" ==m[x,y]*dx +n[x,y]*dy

en isolant les termes dépendant de  dx

"D[sol[x,y],x]"==m[x,y]*dx

Puis en intégrant les deux membres de l'égalité, pour faire disparaitre les différentiel.
 et en ajoutant b[x,y], correspondand à la partie encore inconnue
  de la solution particulière rechercher.

sol[x,y]=Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]

or nous avons vue plus haut que :

D[sol[x,y],y] = n[x,y] 

                                 D[sol[x,y],y]-n[x,y] = 0

D[sol[x,y],y]*dy-n[x,y]*dy;
Simplify[%/dy]

Integrons le résultat pour trouver b[x,y]

Integrate[%,y]

La solution générale est

b[x,y] = -(Log[y]/2);

sol[x,y]= Integrate[m[x,y],x]+b[x,y]+C
 
Verifions, si nous retrouvons bien l'equation de depart :

Expand[Simplify[(D[sol[x,y],x]*dx+D[sol[x,y],y]*dy)/facT]];

Collect[%,dx];
Collect[%,dy]

mT[x,y] dx +nT[x,y] dy
 

</pre>
}}

== Conclusion ==

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