Difference between revisions 909012 and 909034 on hywiki

<!-- Ստացվե՛ց։ Կարող ես հիմա փորձեր անել ներքևում՝ բացի այս մեկ տողից :) -->{{Օգնություն:Դասընթաց/Բացատրություն}}

Ցանկ՝
*'''թավատառ'''
*''շեղատառ''
*'''''շեղատառ և թավատառ'''''

#կետ 1
#կետ 2
#*կետ 2ա
#*կետ 2բ
#կետ 3
##կետ 3ա


Նկար՝

[[Պատկեր:Varanasi Munshi Ghat3.jpg|200px]]Սեղմող արտապատկերումների սկզբունքի կիրառությունը որոշ ինտեգրալային հավասարումներում
Դիցուք ունենք  M ոչ դատարկ բազմությունը: M  բազմության յուրաքանչյուր  2  կետի համապատասխանության  մեջ  դնենք  ρ(x,y)  ոչ բացասական թիվը՝     (x,y) → ρ(x,y)  
	ρ(x,y)  = 0      ⟺  x = y
	ρ(x,y)  = ρ(y,x)  համաչափություն
	ρ(x,y)  ≤  ρ(x,z)   +    ρ(z,y),    ∀ x,y,z ∈ M  եռանկյան անհավասրություն:
ρ - ն անվանում են մետրիկա, իսկ (M,ρ) զույգը  մետրիկական տարածություն: ρ(x,y)  ոչ բացասական թիվը կոչվում է  x և y կետերի  հեռավորություն:
Դիտարկենք  օրինակներ:
Օրինակ 1. Իրական ուղղի վրա x և y կետերի  հեռավորությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝   ρ(x,y)  = |x-y|:
Իրոք՝
	ρ(x,y)  = 0 ⟹ x = y
     ρ(x,y)  = |x-y|,  |x-y| = 0  ⟹ x = y
	ρ(x,y)  = ρ(y,x)  
|x-y|  =  |y-x|
	ρ(x,y)  = |x-y| = |x-z+z-y| ≤ |x-z| + |z-y| = ρ(x,z)   +   ρ(z,y),
ρ(x,y)  ≤  ρ(x,z)   +    ρ(z,y):
Օրինակ 2.   Դիտարկենք   էվկլիդեսյան  n  չափանի  տարածությունը՝    E^n:                            E =  {(x_1,x_2,…,x_n ) } = {x}:  x = (x_1,x_2,…,x_n ):
Էվկլիդեսյան տարածության մեջ հեռավորությունը   հասկանանք հետևյալ կերպ՝  
ρ(x,y)  =√(∑_(i=1)^n▒(x_i-y_i )^2 )
y =  (y_1,y_2,…,y_n):
	ρ(x,y)  ≥ 0, ρ(x,y)  = 0 ⟹ x_i-y_i = 0, x_i=y_i:
	ρ(x,y)  = ρ(y,x)  
ρ(x,y)  =√(∑_(i=1)^n▒(x_i-y_i )^2 ),     ρ(y,x)  =√(∑_(i=1)^n▒(y_i-x_i )^2 ):
	Վերցնենք [a,b]  հատվածում որոշված բոլոր անընդհատ ֆունկցիաների բազմությունը՝  C_([a,b]): ρ(f,g)-ն կսահմանենք հետևյալ կերպ՝  քննարկենք  x(t) և  y(t) ֆունկցիաները.
ρ(x,y)  = max┬(t∈[a,b])⁡|x(t)-  y(t)|: Սահմանումը կոռեկտ է: Ցույց տանք, որ այն բավարարում է մետրիկայի աքսիոմներին.
	ρ(x,y)  ≥ 0, ρ(x,y)  = max┬(t∈[a,b])⁡|x(t)-  y(t)| ≥ 0,
	ρ(x,y)  = ρ(y,x),  max┬(t∈[a,b])⁡|x(t)-  y(t)|    =  max┬(t∈[a,b])⁡|y(t)-  x(t)|,
	Վերցնենք   z(t)  անընդհատ ֆունկցիան:
ρ(x,y)  = max┬(t∈[a,b])⁡|x(t)-  y(t)| ≤  {|x(t)-  z(t)|+|z(t)-  y(t)| }    ≤   ρ|x(t)-  z(t)|   +     ρ|z(t)-  y(t)| ≤ ρ(x,z)   +    ρ(z,y):
Օրինակ 4. Ցանկացած բազմության վրա մետրիկան կարելի է սահմանել հետևյալ կերպ.
ρ(x,y)  =  {█(1,   x=y@0,   x≠y)┤  ,  այս մետրիկան հայտնի է ֆիզիկայում և կոչվում է  Դիրակի մետրիկա:
	Կոշիի խնդիրը: Ենթադրենք տրված է     dy/dx = f(x,y)   (1)  y(x_0) = y_0  (2)  սկզբնական պայմանով, ընդ որում f  ֆունկցիան որոշված  և  անընդհատ է G որոշման տիրույթում, որը պարունակում է (x_0,y_0) և այդ տիրույթում ըստ Լիպիշիցի  պայմանի  բավարարում է  |f(x,y_1 )-f(x,y_2)|≤ M |y_1-y_2 |: Ցույց տանք, որ այդ դեպքում  |x-x_0 |≤ d  դեպքում ∃  y = φ(x)   հավասարում, ընդ որում միակը, բավարարելով (2)  սկզբնական պայմանին (թեորեմ Պիկար): (1) հավասարումը (2)  հավասարման հետ մեկտեղ համարժեք է հետևյալ ինտեգրալ հավասարմանը՝     φ(x)  = y_0 + ∫_(x_0)^x▒〖f(t,φ(t))〗dt  (3): f  ֆունկցիայի անընդհատությունից |f(x,y)| ≤ K, G^´⊂ G տիրույթում, որը պարունակում է (x_0,y_0) կետը: Ընդունենք d > 0, այնպես որ տեղի ունենան հետևյալ պայմանները՝
	(x,y)   ϵ G^´, եթե   |x-x_0 |≤ d, |y-y_0 |≤ Kd,
	Md <1:
 φ ֆունկցիայի անընդհատությունը նշանակենք  C^* տարածության միջոցով, որոշված |x-x_0 |≤ d և այնպիսին որ |φ(x)-y_0 |≤ Kd, ρ(φ_1,φ_2)  = max┬x⁡|φ_1 (x)-φ_2 (x)|  մետրիկայով: C^* տարածությունը լրիվ է,և հանդիսանում է փակ ենթատարածություն  բոլոր անընդհատ  ֆունկցիաների  համար  [x_0-d,x_0+d]-ում:  Դիտարկենք  ψ = Aφ  արտապատկերում, որոշված φ(x)  = y_0 + ∫_(x_0)^x▒〖f(t,φ(t))〗dt  բանաձևով, որտեղ |x-x_0 |≤ d: Այս արտապատկերումը C^* տարածությունում լրիվ է և հանդիսանում է սեղմող նրանում: Իրոք, ենթադրենք φ ϵ  C^*, |x-x_0 |≤ d, այդ դեպքում  |φ(x)-y_0 |  =  |∫_(x_0)^x▒〖f(t,φ(t))〗|≤ Kd  և  հետևաբար  A(C^*) ⊂ C^*: Բացի այդ |φ_1 (x)-φ_2 (2)| ≤ ∫_(x_0)^x▒|f(t,φ_1 (t) )-f(t,φ_2 (t))| dt ≤ Mdmax┬x⁡|φ_1 (x)-φ_2 (x)|:  Md <1 հետևաբար A-ն  սեղմող է: Այստեղից հետևում է, որ φ = Aφ  հավասարումը ունի միակ լուծում  C^* տարածությունում:
        2.    Ֆրեդհոլմի հավասարումը:   Այժմ կիրառենք սեղմող արտապատկերումների մեթոդը  Ֆրեդհոլմի հավասարումը ապացուցելու համար: Այսինքն 
                              f(x) =  λ ∫_a^b▒〖K(x,y)f(y)dy+φ(x)〗                   (7)  
հավասարումը ապացուցելու համար, որտեղ  K-ն և φ-ն տրված են: Այս մեթոդը կիրառում ենք λ-ի բավականին փոքր արժեքների դեպքում: Ենթադրենք, որ  K(x,y) և  φ(x)  անընդհատ են  a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ b –ում և հետևաբար  |K(x,y) | ≤  M:  Դիտարկենք  g= Af  արտապետկերումը   c[a,b]   լրիվ տարածությունում, տրված  է    g(x) =  λ ∫_a^b▒〖K(x,y)f(y)dy+φ(x)〗  բանաձևով: Ունենք ρ(g_1,g_2) = max|g_1 (x)-g_2 (x)|≤ |λ|M(b-a) max|f_1 (x)-f_2 (x)|:   Հետևաբար  λ < 1/(M(b-a))   դեպքում A  արտապատկերումը սեղմող է: |λ|  <   1/(M(b-a))    դեպքում Ֆրեդհոլմի հավասարումը ունի միակ լուծում կամայական f(x)-ի համար:
	 Վոլտերի հավասարում: Դիտարկենք՝
                                         f(x) =  λ ∫_a^x▒〖K(x,y)f(y)dy+φ(x)〗  (10):  
Աստեղ ի տարբերություն  Ֆրեդհոլմի հավասարման ինտեգրալի վերին սահմանը  x փոփոխականն է: Այդ հավասարումը կարելի է դիտարկել դիտարկել որպես Ֆրեդհոլմի հավասարման մասնավոր դեպք, սահմանելով K ֆունկցիայի հավասարությունը՝         K(x,y) = 0, y > x  դեպքում:  Ի տարբերություն Ֆրեդհոլմի ինտեգրալային հավասարման , այստեղ սեղմող արտապատկերումը կիրառում ենք բոլոր λ-ների  համար:
Դիցուք  A-ն  այնպիսի անընդհատ  արտապատկերում է  R  լրիվ մետրիկական տարածությունում, որ նրա որոշ աստիճան՝  B = An,  հանդիսանում է սեղմող, այդ դեպքում  Ax = x  հավասարումը ունի միակ լուծում:
 Իրոք, ենթադրենք x-ը  անշարժ կետ է՝  Bx = x:   Ունենք ՝   Ax = ABkx = BkAx = Bkx_0→ x (K→∞): B-ն սեղմող արտապատկերում է, հետևաբար   Bx_0, B^2 x_0, B^3 x_0,…  յուրաքանչյուրը համընկնում  է  B  արտապատկերման  x անշարժ կետին,  հետևաբար Ax = x: Այդ անշարժ կետը միակն է, քանի որ  յուրաքանչյուր կետ  անշարժ է համեմատաբար  A-ն, անշարժ է և  սեղմող արտապատկերում է  An, որի համար անշարժ կետը կարող է լինել միակը:
Այժմ ապացուցենք, որ ՝
Af(x) =  λ ∫_a^x▒〖K(x,y)f(y)dy+φ(x)〗  հանդիսանում է սեղմող:  Դիցուք   f_1  և  f_2 -ը  2 անընդհատ ֆունկցիաներ են  [a,b]   հատվածում: Այդ դեպքում՝
|〖Af〗_1 (x)-〖Af〗_2 (x)| = |λ||∫_a^x▒〖K(x,y)(f_1 (y)-f_2 (y))dy〗| ≤  |λ|M (x - a) max|f_1 (x)-f_2 (x)|:
Այստեղ  M = max |K(x,y) |: Այստեղից՝ 
|〖A^2 f〗_1 (x)-〖A^2 f〗_2 (x)|  ≤ |λ|^2 M^2  (x-a)^2/2 max|f_1 (x)-f_2 (x)|,   և ընդհանրապես՝

|〖A^n f〗_1 (x)-〖A^n f〗_2 (x)|  ≤ |λ|^n M^n  (x-a)^n/n! m ≤ |λ|^n M^n m (b-a)^n/n!, որտեղ  m = max|f_1 (x)-f_2 (x)|:
λ -ի յուրաքանչյուր արժեք կարելի է ընտրել այնքան մեծ, որ   (|λ|^n M^n (b-a)^n)/n! < 1:  Այդ դեպքում  An    արտապատկերումը կլինի սեղմող:  Այսպիսով Վոլտերի (10)  հավասարումը յուրաքանչյուր λ-ի   դեպքում ունի լուծում, ընդ որում միակ: