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Viene detta '''equazione con il valore assoluto''' un'[[equazione algebrica]] in cui la variabile appare anche all'interno di un'espressione della quale viene preso il [[valore assoluto]]. Un esempio:

<math>|x+5| = 0\;</math>

Tali equazioni sono generalmente considerate a valori [[numero intero|interi]], [[numero razionale|razionali]] o [[numero reale|reali]], anche se formalmente sarebbe possibile considerare il valore assoluto di un [[numero complesso]].

== Risoluzione ==
Anche se il grado di un'equazione con il valore assoluto rimane lo stesso dell'equazione che si otterrebbe sostituendo al valore assoluto una semplice parentesi, per queste equazioni non vale il [[teorema fondamentale dell'algebra]]: ad esempio, l'equazione

<math>|x+1| + |x-1| = 0\;</math>

non ha soluzioni (reali o anche complesse), come si può facilmente notare considerando che il valore assoluto di una funzione è sempre maggiore o uguale a zero, che |x+1| vale zero solo quando x=-1 e |x-1| vale zero solo quando x=1; queste due condizioni sono tra loro incompatibili. È anche possibile il caso opposto, vale a dire che un'equazione con il valore assoluto abbia più soluzioni di quante ne dovrebbe avere dato il suo grado. Ad esempio, 

<math>|x| = 1\;</math>

ha le due soluzioni <math>x=1\;</math> e <math>x=-1\;</math>.

In generale, la risoluzione di un'equazione con il valore assoluto si riconduce a quella di una serie di sistemi con equazioni e [[disequazione|disequazioni]]. Per ogni espressione nella quale la variabile appare all'interno di un valore assoluto, vengono creati due sistemi: nel primo si 
toglie il simbolo di valore assoluto e si assume che la sottoespressione sia positiva, nel secondo si toglie il simbolo di valore assoluto ''cambiando segno alla sottoespressione'', e la si assume negativa. Un esempio pratico: data l'equazione

:<math>|x^2-x-2| - |x+1| = 1\;</math>

lavorando sulla sottoespressione <math>|x+1|\;</math>, otteniamo i due sistemi

:(<math>a\;</math>) <math>\left\{\begin{matrix} x+1 \ge 0 \\ |x^2-x-2| - (x+1) = 1\end{matrix}\right.</math>

:(<math>b\;</math>) <math>\left\{\begin{matrix} x+1 \le 0 \\ |x^2-x-2| + (x+1) = 1\end{matrix}\right.</math>

che a loro volta portano ai quattro sistemi

:(<math>a_1\;</math>) <math>\left\{\begin{matrix} x+1 \ge 0 \\  x \le -1 \mbox{, oppure } x \ge 2 \\ (x^2-x-2) - (x+1) = 1\end{matrix}\right.</math>

:(<math>a_2\;</math>) <math>\left\{\begin{matrix} x+1 \ge 0 \\  -1 \le x \le 2 \\ (-x^2+x+2) - (x+1) = 1\end{matrix}\right.</math>

:(<math>b_1\;</math>) <math>\left\{\begin{matrix} x+1 \le 0 \\  x \le -1 \mbox{, oppure } x \ge 2 \\ (x^2-x-2) + (x+1) = 1\end{matrix}\right.</math>

:(<math>b_2\;</math>) <math>\left\{\begin{matrix} x+1 \le 0 \\  -1 \le x \le 2 \\ (-x^2+x+2) + (x+1) = 1\end{matrix}\right.</math>

Le equazioni corrispondenti ai quattro sistemi danno come risultato rispettivamente

:(<math>a_1\;</math>) <math>x = 1 \pm \sqrt{5}</math>
:(<math>a_2\;</math>) <math>x = 0 \,\! </math>
:(<math>b_1\;</math>) <math>x = \pm \sqrt{2}</math>
:(<math>b_2\;</math>) <math>x = 1 \pm \sqrt{3}</math>

Di tutti questi risultati, gli unici che soddisfano anche i vincoli delle disequazioni, e che pertanto sono le soluzioni dell'equazione originaria, sono <math>x = 1 + \sqrt{5}; x = 0; x = -\sqrt{2}</math>.


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