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{{Esercizi di fisica con soluzioni}}

== Esercizi ==
=== Un elettrone in un campo magnetico ===
Un elettrone, accelerato da una differenza di potenziale V viene a trovarsi in un campo di
induzione magnetica <math>|B|\ </math>. La sua velocità forma un angolo <math>\vartheta\ </math> 
con la direzione di <math>\overrightarrow{B}\ </math>. Determinare:

a) Il periodo <math>T\ </math> di rotazione

b) Il passo <math>p\ </math> (la distanza percorsa nella direzione del campo dopo ogni
giro)

c) Il raggio <math>r\ </math> dell'elica cilindrica descritta.

(dati del problema <math>V=100 V\ </math>, <math>|B|=10^{-4}\ T</math>, <math>\vartheta = \pi /3</math>)


<span class="noprint">[[#Un elettrone in un campo magnetico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== Spira circolare ===
Determinare il rapporto tra il campo magnetico nel centro di
una bobina circolare di raggio <math>R\ </math> e quello in un punto sul suo asse a distanza <math>R/2\ </math>. 


<span class="noprint">[[#Spira circolare_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== Un dipolo ruotante ===
Un dipolo elettrico di momento <math>p\ </math> è formato da due cariche separate da
una distanza <math>d\ </math>. Se il dipolo è posto in rotazione attorno ad un asse
ortogonale alla congiungente che dista <math>d/4\ </math> dalla carica negativa compiendo 
<math>n\ </math> giri al secondo.

Determinare:
a) Il momento di dipolo magnetico equivalente del sistema.
b) Il campo di induzione magnetica a <math>100d\ </math> dal centro di
rotazione (anche solo approssimato)
sull'asse di rotazione.
c) Il campo di induzione magnetica nel centro di rotazione.

(dati del problema: <math>p=10^{-3}\ Cm</math>, <math>d=2\cdot 10^{-2}\ m</math>, <math>n=1000\ \ </math>)


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=== Una sbarretta metallica ===
[[Immagine:barinitialspeed.png|250px|right]]

Una sbarretta metallica, di massa, <math>m=1\ kg</math>, scivola senza attrito su due lunghe guide parallele e conduttrici, poste a distanza <math>l=1\ m</math> l'una dall'altra.
Esse sono collegate ad una delle estremità per mezzo di una resistenza <math>R=10\ \Omega</math> 
(La resistenza della sbarretta e delle guide è trascurabile rispetto a <math>R\ </math>)
Un campo uniforme di induzione magnetica <math>|B|=1\ T</math> è applicato perpendicolarmente al piano della figura. All'istante <math>t=0\ </math>, la sbarretta di massa <math>m\ </math> viene lanciata con una velocità di
<math>v_o=10\ m/s\ </math> verso destra.

Determinare:
a) L'andamento della velocità in funzione del tempo.
b)  L'andamento nel tempo della corrente che scorre nel circuito
c) Dimostrare come l'energia dissipata per effetto Joule sia in totale pari alla energia cinetica iniziale della sbarretta.


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=== Una spira quadrata ===
[[Immagine:squarecoil.png|250px|right]]

Dato un punto a distanza <math>\alpha l\ </math> sull'asse di una spira quadrata
di lato <math>l\ </math> percorsa da una corrente <math>I\ </math>. Determinare il rapporto
tra il campo magnetico generato dalla spira e quello del dipolo
magnetico equivalente. In particolare eseguire il calcolo per
<math>\alpha=2\ </math> .


<span class="noprint">[[#Una spira quadrata_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== Un disco ruotante ===
Un disco conduttore di raggio <math>R\ </math> ruota attorno al proprio asse con
velocità angolare <math>\omega\ </math>. La carica totale è <math>Q\ </math>, essendo il
disco sottile, la densità di carica superficiale sopra il disco
varia con la distanza dal centro <math>r\ </math> con la legge:
<math>\sigma= \frac A{\sqrt{R^2-r^2}}\ </math>.
Determinare:
a) Il valore di <math>A\ </math>.
b) Il campo di induzione magnetica generato nel centro
di un anello di pari carica e raggio, ruotante alla stessa velocità
angolare.
c) Il campo di induzione magnetica nel centro del disco.

(dati del problema <math>Q=3.14\ nC</math>, <math>\omega=10^3\ rad/s\ </math>, <math>R=2\ m</math>)


<span class="noprint">[[#Un disco ruotante_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== Mutua induzione tra spire quadrate ===
Determinare la mutua induzione in funzione delle distanza per due
spire quadrate rispettivamente
di <math>n_1=10\ </math> e <math>n_2=100\ </math> spire, 
di lato <math>l=1\ cm</math> a distanza <math>d\gg l</math>. Approssimare
le spire come dei dipoli magnetici.

a)     <math>d=10l\ </math> sullo stesso piano

b)     <math>d=10l\ </math> sullo stesso asse


<span class="noprint">[[#Mutua induzione tra spire quadrate_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== Spira filo ===
Una spira quadrata indeformabile soggetta alla forza peso con massa
<math>m=1\ g</math> e lato <math>a\ </math> ed un filo rettilineo infinito sono situati nel
medesimo piano verticale e percorsi dalla stessa corrente <math>i\ </math>. Il
filo è parallelo ad uno dei lati della spira. Quale deve essere il valore della corrente perché la spira si trovi in equilibrio ad una distanza <math>x=a\ </math> (dove <math>x\ </math> è la distanza dal lato più vicino alla spira al filo)


<span class="noprint">[[#Spira_filo_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
 
=== Induttanza con 2 resistenze ===
[[Immagine:Inductance_with_3_R.png|250px|right]]

All'istante iniziale viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato in figura. Determinare la corrente che a regime scorre nei tre rami e 
quella quando è trascorso un tempo <math>t_1\ </math> dalla chiusura dell'interruttore.

(dati del problema <math>f=9\ V</math>, <math>R=10\ \Omega</math>, <math>L=1\ H</math>, <math>t_1=50\ ms</math>)


<span class="noprint">[[#Induttanza con 2 resistenze_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

=== Induttanza con 3 resistenze ===
[[Immagine:Inductance_with_3_R_differente.png|250px|right]]


All'istante iniziale viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato in figura. Determinare la corrente che a regime scorre nei tre rami, la costante di tempo del circuito, e la massima corrente che scorre nel ramo di <math>\alpha R\ </math>.

(dati del problema <math>f=21\ V</math>, <math>R=10\ \Omega</math>, <math>L=19\ H</math>, <math>\alpha
=9\ </math>)


<span class="noprint">[[#Induttanza con 3 resistenze_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

=== Spira e solenoide ===
Una spira circolare di raggio <math>r_0\ </math>, resistenza <math>R_0\ </math>, si trova all'interno di un solenoide di lunghezza  <math>l\ </math> di <math>N\ </math>
spire e raggio <math>r_1\ </math>. Il piano della spira forma un angolo di <math>\theta\ </math> con l'asse del solenoide.

Nel solenoide scorre una corrente di <math>I_0\ </math> e al tempo <math>t=0\ </math> viene staccato l'alimentatore e fatta scaricare la corrente su una resistenza <math>R_1\ </math>.

a) Determinare la mutua induzione tra spira e solenoide.

b) Determinare la corrente indotta nella spira al tempo <math>t=t_1\ </math>, trascurando l'induttanza della spira stessa.

c) Determinare l'energia totale dissipata durante il periodo <math>0-t_1\ </math> nella spira.

(dati del problema <math>N=3000\ </math>, <math>r_1=10\ cm</math>, <math>r_0=5\ cm</math>, <math>R_0=0.1\ \Omega</math>,
<math>R_1=1\ \Omega</math>, <math>t_1=0.5\ s</math>, <math>I_0=10\ A</math>, <math>\theta=45^{\circ}\ </math>,
<math>l=50\ cm</math>).


<span class="noprint">[[#Spira e solenoide_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

=== Due spire ===
Due bobine circolari compatte rispettivamente di raggio <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math>, formate da <math>N_1\ </math> ed <math>N_2\ </math> spire, sono coassiali parallele ad una  distanza di <math>d\ </math>.

Determinare la loro mutua induzione.

b) La forza che si esercita tra di loro se sono percorse da correnti eguali <math>I_1\ </math>.

dati del problema <math>R_1=20\ cm</math>, <math>R_2=1\ cm</math>, <math>N_1=200\ </math>, <math>N_2=20\ </math>, <math>d=20\ cm</math>, <math>I_1=10\ A</math>, il campo generato dalla bobina più grande è praticamente costante lungo il piano della seconda).


<span class="noprint">[[#Due spire_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

=== Dipolo magnetico e spira ===
Determinare il rapporto tra i campo magnetico sull'asse di una spira circolare di raggio <math>R\ </math> a distanza <math>\alpha R\ </math> dal centro e quello approssimato calcolato con la formula del dipolo per <math>\alpha =0.5\ </math> ed <math>\alpha =2\ </math>.


<span class="noprint">[[#Dipolo magnetico e spira_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

=== Spira dentro solenoide ===
Un solenoide molto lungo ha un numero di spire  <math>N\ </math> ed è lungo <math>l\ </math>. La corrente al suo interno cresce linearmente nel tempo secondo la legge: <math>I(t)=mt\ </math>. 
Al suo interno è posto un anello conduttore di raggio <math>r\ </math> e resistenza <math>R\ </math>. Determinare la potenza dissipata nell'anello
ed il campo magnetico al suo interno trascorso un tempo <math>t_1\ </math>

(dati del problema: <math>N=1000\ </math>, <math>l=1\ m</math>, <math>m=10^4\ A/s</math>, 
<math>R=0.001\ \Omega</math>, <math>r=10\ cm</math>,
<math>t_1=1\ ms</math>)


<span class="noprint">[[#Spira dentro solenoide_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

=== Spira in un campo magnetico ruotante ===
Una bobina, chiusa, di resistenza <math>R\ </math>, costituita da <math>N\ </math> spire quadrate di lato <math>a\ </math>, è posta fra le espansioni
polari di un magnete che produce un campo magnetico <math>B\ </math> costante ed uniforme nella regione occupata dalla bobina. Il magnete viene fatta ruotare con velocità angolare costante <math>\omega\ </math>  in maniera tale che il campo magnetico ruota con velocità angolare <math>\omega\ </math>.
A regime la corrente massima che scorre nella babina vale <math>I_o\ </math>. Determinare l'intensità del campo magnetico, la potenza massima istantanea dissipata e la potenza media che deve fornire il motore per mantenere la velocità angolare costante.

(Dati del problema  <math>R=2.5\ \Omega</math>, <math>I_o=0.5\ A</math>, <math>N=200\ </math>, <math>a=1\ cm</math>, <math>\omega =200\ rad/s</math>, l'induttanza della bobina è trascurabile)


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=== Sbarretta ruotante ===
[[Immagine:Sbarretta_ruotante.jpg|300px|right]]
Una barretta di lunghezza <math>h\ </math> è solidale con un perno che ruota a velocità angolare costante <math>\omega\ </math> ed è collegata ad una spira circolare mediante un contatto strisciante. La spira è immersa in un campo di induzione magnetica di ampiezza <math>B\ </math>,
perpendicolare al piano in cui giace la spira ed uscente da esso. Il perno e la spira chiudono, tramite un interruttore, il circuito in figura composto da una resistenza e due condensatori scarichi.
Si calcoli: 1.  la differenza di potenziale su ciascun condensatore a regime (ossia molto tempo dopo la chiusura dell'interruttore), specificando quali sono le facce a potenziale più alto; 2. l'energia dissipata sulla resistenza per effetto Joule durante la carica dei condensatori. 

Dati: <math>h =20\ cm</math>; <math>\omega=200\ rad/s</math>; <math>B = 0.25\ T</math>; <math>R = 20 \ \Omega</math>; <math>C_1 =1\ \mu F</math>; <math>C_2 = 2\ \mu F</math>.


<span class="noprint">[[#Sbarretta ruotante_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

=== Spira in campo variabile ===
Una spira circolare di raggio  <math>a\ </math>  è immersa in un campo magnetico, normale al suo piano, che varia con la legge:

<math>B=B_o\left(1-e^{-t/\tau}\right)\ </math>

La spira ha una resistenza per unità di lunghezza pari a <math>\lambda\ </math>. Determinare 1) la corrente massima generata nella spira; 2) l'energia totale dissipata nella spira stessa.

(Dati del problema  <math>a=4\ cm\ </math>, <math>B_o=0.1\ T\ </math>, <math>\tau =1\ ms\ </math>, <math>\lambda =0.5\ \Omega /m\ </math>, si trascuri l'induttanza della spira)


<span class="noprint">[[#Spira in campo variabile_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

=== Campo magnetico terrestre ===
Il campo magnetico terrestre è simile a quello di un dipolo magnetico <math>m\ </math> disposto al centro della terra diretto da Sud a Nord. Determinare con questa ipotesi a) Il campo magnetico al polo Nord b) Il campo magnetico all'equatore c) Quale dovrebbe essere l'intensità di corrente in una spira che circondasse la terra all'equatore per annullare il campo magnetico terrestre a grande distanza.

(dati del problema: <math>m=8\cdot 10^{22}\ Am^2</math>,  il raggio terrestre medio vale <math>r_T=6367\;Km</math>)

Si ricorda che  il campo di induzione magnetica di un dipolo magnetico vale:

<math>\overrightarrow{B}=\frac{\mu _{\circ }}{4\pi r^5}\left[ 3(\overrightarrow{m}
\cdot \overrightarrow{r}) \overrightarrow{r}-r^2\overrightarrow{m}
\right] 
</math>


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=== Nastro percorso da corrente ===
[[Immagine:Nastro percorso da corrente.png|300px|right]]

Un nastro conduttore rettilineo, di spessore trascurabile e molto lungo, ha larghezza <math>w\ </math>
ed è percorso da una corrente <math>I\ </math> uniformemente distribuita sulla sezione del nastro.
Considerare un punto P sul piano del nastro distante <math>d=1.5\ w</math> dal centro del nastro, determinare il valore  del campo magnetico generato dal nastro.

(Dati del problema  <math>w=3\ cm</math>, <math>I=15\ A</math>)

<span class="noprint">[[#Nastro percorso da corrente_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>


=== Forza tra spire ===

Due spire circolari di raggio <math>R=50\ cm</math>, ciascuna di 10 spire, aventi lo stesso asse sono poste in piani paralleli orizzontali distanti <math>d=3\ mm</math>.
La spira superiore è appesa al piatto di una bilancia. Se non vi è corrente circolante la bilancia è in equilibrio. Se circola sulle sue spire una corrente di <math>I=1\ A</math> concorde per ristabilire l'equilibrio occorre aggiungere sull'altro piatto della bilancia una massa <math>m\ </math> da determinare.

<span class="noprint">[[#Forza tra spire_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>

== Soluzioni ==
=== Un elettrone in un campo magnetico ===
<span class="noprint">[[#Un elettrone in un campo magnetico|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Essendo:

<math>\frac 12mv^2=eV\ </math>



<math>|v|=\sqrt{\frac{2eV}m}=5.93\cdot 10^6\ m/s</math>


quindi la componente di v nella direzione del campo vale:

<math>v_{pa }=|v|\cos \vartheta =2.96\cdot 10^6\ m/s</math>

mentre in quella perpendicolare vale:

<math>v_{\perp }=|v|\sin \vartheta =5.13\cdot 10^6\ m/s</math>

a) quindi: 

<math>T=\frac{2\pi m}{e|B|}=358\ ns</math>

b)

<math>p=v_{pa}T=1.06\ m</math>


c)

<math>R=\frac{v_{\perp }}\omega =\frac{v_{\perp }}{2\pi }T=0.292\ m
</math>

 
=== Spira circolare ===
<span class="noprint">[[#Spira circolare|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Non si può usare l'approssimazione del dipolo magnetico in quanto entrambi i punti sono troppo vicini alla spira per <math>z=0\ </math>:
<math>
|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2 R}\ </math>

mentre per <math>z=R/2\ </math>:

<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}IR^2}{2(R^2+R^2/4)^{3/2}}
=\frac {\mu_{\circ}I}{2 R(5/4)^{3/2}}\ </math>

Quindi il rapporto vale:

<math>(5/4)^{3/2}=1.40\ </math>

 
=== Un dipolo ruotante ===
<span class="noprint">[[#Un dipolo ruotante|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

a) Il periodo vale:

<math>T=\frac 1n=1\ ms</math>

Quindi la carica positiva 

<math>q=\frac pd=0.05\ C</math>

equivale ad una spira di raggio <math>3d/4\ </math> percorsa da una corrente 

<math>I=\frac qT=\frac{np}d=50\ A</math>

Quindi ha un momento magnetico:

<math>m^{+}=\pi \left( \frac{3d}4\right) ^2I=3.53\times 10^{-2}\ Am^2</math>

mentre, la carica negativa equivale ad una spira di raggio <math>d/4\ </math> percorsa da
una corrente di segno opposto a prima pari a:

<math>I=\frac{np}d\ </math>

Quindi ha un momento magnetico:

<math>m^{-}=-\pi \left( \frac d4\right) ^2I=-3.93\times 10^{-3}\ Am^2</math>

Il momento magnetico totale quindi vale:

<math>m=m^{+}+m^{-}=3.14\times 10^{-2}\ Am^2</math>


b) Quindi a grande distanza genera un campo di induzione magnetica pari a:

<math>B_a=\frac{\mu _om}{2\pi \left( 100d\right) ^3}=7.85\times 10^{-10}\ T</math>

Eguale, nei limiti della precisione del calcolo, al valore esatto:

<math>B=\frac{\mu _oI\left( \frac{3d}4\right) ^2}{2\left[ \left( \frac{3d}4\right)
^2+\left( 100d\right) ^2\right] ^{3/2}}-\frac{\mu _oI\left( \frac d4\right)
^2}{2\left[ \left( \frac d4\right) ^2+\left( 100d\right) ^2\right] ^{3/2}}
=7.85\times 10^{-10}\ T</math>

c) Al centro non posso usare l'approssimazione del dipolo, ma debbo
calcolare la sovrapposizione dei campi delle due spire:

<math>B=\frac{\mu _oI}2\cdot \left[ \frac 1{\left( \frac{3d}4\right) }-\frac
1{\left( \frac d4\right) }\right] =-4.19\times 10^{-3}\ T
</math>

 
=== Una sbarretta metallica ===
<span class="noprint">[[#Una sbarretta metallica|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Il movimento della sbarretta della sbarretta nel campo magnetico determina una variazione del flusso concatenato al circuiti. Quindi si genera una forza elettromotrice pari a, (non occupandosi ancora dei segni)
:

<math>|f.e.m.|=\frac {d\phi }{dt}=|B|\frac {dS}{dt}\ </math>

dove <math>S\ </math> è la superficie istantanea del circuito, quindi <math>S=lx\ </math> (scelta come origine di <math>x\ </math> 
la posizione al tempo <math>t=0\ </math> della sbarretta). Per cui:

<math>f.e.m.=Bl\frac {dx}{dt}=Blv_x\ </math>

Tale <math>f.e.m.\ </math> provoca una corrente <math>I\ </math> il cui verso è tale da opporsi alla causa che la genera, cioè opporrà una forza resistente la cui direzione è determinata proprio da tale condizione. La forza risultante sulla sbarretta è:

<math>F_x=-IBl\ </math>

Il verso della corrente è quindi nel disegno antiroario.
Il problema dinamico è unidimensionale a questo punto e la II equazione della dinamica è:

<math>m\frac {dv_x}{dt}=-IBl\ </math>

Mentre per la maglia:

<math>f.e.m=RI\ </math>

<math>Blv_x=RI\ </math>

<math>I=\frac {Blv_x}R\ </math>

Sostituita nell'equazione della dinamica:

<math>m\frac {dv_x}{dt}=-\frac {B^2l^2v_x}R\ </math>

Cioè un moto viscoso,  che corrisponde ad una velocità che diminuisce esponenzialmente nel tempo:

<math>v_x=v_oe^{-B^2l^2t/mR}\ </math>

Quindi con una costante di tempo pari a:

<math>\tau= \frac {mR}{B^2l^2}=10\ s</math>
( i freni dei treni sono ottenuti avvicinando dei grossi magneti alle ruote conduttrici e le correnti indotte   provocano un frenamento dolce proporzionale in tale caso alla velocità angolare istantanea delle ruote, ma con un meccanismo simile a quello descritto qui).

b)

La corrente ovviamente ha lo stesso andamento esponenziale nel tempo:

<math>I=\frac {Blv_o}Re^{-B^2l^2t/mR}\ </math>

c)

L'energia cinetica iniziale vale:

<math>\frac 12 mv_o^2=50\ J</math>

L'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza vale:

<math>E_d=\int_0^{\infty}I^2Rdt=\int_0^{\infty}\frac {B^2l^2v_o^2}Re^{-2B^2l^2t/mR}=
\frac 12 mv_o^2=50\ J</math>

=== Una spira quadrata ===
<span class="noprint">[[#Una spira quadrata|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Scelto un sistema di coordinate cartesiane con centro coincidente
con l'asse della spira ed assi <math>x\ </math> ed <math>y\ </math>
paralleli alle spire stesse. 
Un elemento  del lato di destra parallelo all'asse <math>y\ </math>
ha coordinate <math>\vec {dl_1}=(0,dy,0)\ </math> è a distanza 
<math>\vec {r}=(-l/2,y,\alpha l)\ </math> dal punto sull'asse per cui:

<math>\vec {dl_1}\times \vec r=\alpha ldy\vec i+\frac l2dy\vec k\ </math>

Quindi la componente parallela all'asse,
l'unica esistente per ragioni di simmetria, generata da tutto il lato
vale:

<math>B_z^1=\frac {\mu_o}{4\pi}\frac l2 I\int_{-\frac l2}^{\frac l2}
\frac {dy}{ \left[ (\frac l2)^2+y^2+ (\alpha l)^2 \right]^{3/2}}\ </math>
<math>
B_z^1=\frac {\mu_o}{4\pi}\frac l2 I \left[ \frac y{
(\frac l2)^2+ (\alpha l)^2}\frac 1{\sqrt{(\frac l2)^2+y^2+ (\alpha l)^2}
} \right]_{-\frac l2}^{\frac l2}\ </math>

Quindi per i 4 lati:
<math>
B_z=4B_z^1=
\frac {\mu_o}{2\pi l} I \frac {4\sqrt{2}}{(1+4\alpha^2)
\sqrt {1+2\alpha^2}}\ </math>

Mentre il campo generato sull'asse del dipolo equivalente
vale:
<math>
B_{dz}=\frac {\mu_o}{2\pi}\frac {Il^2}{\alpha^3 l^3}=
\frac {\mu_o}{2\pi}\frac {I}{\alpha^3 l}\ </math>

Quind il loro rapporto vale:

<math>
R=\frac {B_z}{B_{dz}}=
\frac {4\alpha^3 \sqrt{2}}{(1+4\alpha^2)
\sqrt {1+2\alpha^2}}\ </math>

In particolare per <math>\alpha=2\ </math>  vale;

<math>R=0.89\ </math>

 
=== Un disco ruotante ===
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a)


<math>Q=\int_0^R\frac{A2\pi rdr}{\sqrt{R^2-r^2}}=2\pi AR\ </math>

<math>A=\frac Q{2\pi R}=2.5\times 10^{-10}\ C/m</math>

b) Nel caso dell'anello

<math>I=\frac QT=\frac Q{2\pi }\omega\ </math> 


<math>B_z=\mu _o\frac I{2R}=\mu _o\frac{Q\omega }{4\pi R}=1.57\times 10^{-13}\ T\ </math>

c) Nel caso del disco, consideriamo una generica corona circolare di spessore
infinitesimo <math>dr\ </math>:


<math>dQ=\sigma 2\pi rdr\ </math>

<math>dI=\frac{dQ}{2\pi }\omega =\frac{\sigma 2\pi rdr\omega }{2\pi }=\frac A{
\sqrt{R^2-r^2}}rdr\omega\ </math> 

<math>dB_z=\mu _o\frac{dI}{2r}=\mu _o\frac{Adr\omega }{2\sqrt{R^2-r^2}}=\mu _o
\frac{Q\omega dr}{4\pi R\sqrt{R^2-r^2}}\ </math>

quindi:

<math>B_z=\mu _o\int_0^R\frac{Q\omega dr}{4\pi R\sqrt{R^2-r^2}}=\frac{\mu
_oQ\omega }{4\pi R}\left[ \arcsin \frac rR \right]_0^R=\frac{
\mu _oQ\omega }{8 R}=2.5\times 10^{-13}\ T
</math>

 ⏎
 ⏎
=== Mutua induzione tra spire quadrate ===
<span class="noprint">[[#Mutua induzione tra spire quadrate|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Approssimando e le due spire come due dipoli magnetici
di modulo:

<math>m_1= n_1I_1l^2\ </math>

<math>m_2=n_2I_2l^2\ </math>

A causa della reciprocità della mutua induzione possiamo
calcolare il campo generato dalla prima sulla seconda.

a) Sul piano l'unica componente dell'induzione magnetica
generata da un dipolo magnetico è la componente entrante normale
al piano delle spire:

<math>B_{1z}=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {m_1}{d^3}=
\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {n_1I_1l^2}{d^3}\ </math>

Quindi il flusso concatenato con la seconda spira vale:

<math>\phi_2=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {n_1I_1l^2}{d^3}n_2l^2\ </math>

<math>M=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {n_1n_2l^4}{d^3}=
\frac {\mu_o}{4\pi} l=1\ nH</math>


b) Sull'asse l'unica componente dell'induzione magnetica
generata da un dipolo magnetico è la componente uscente normale
al piano delle spire:

<math>B_{1z}=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {2m_1}{d^3}=
\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {2n_1I_1l^2}{d^3}\ </math>

Quindi il flusso concatenato con la seconda spira vale:

<math>\phi_2=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {2n_1I_1l^2}{d^3}n_2l^2\ </math> 

<math>M=\frac {\mu_o}{4\pi} \frac {2n_1n_2l^4}{d^3}=
\frac {\mu_o}{2\pi} l=2\ nH\ </math>

 
=== Spira filo ===
<span class="noprint">[[#Spira_filo|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Il campo generato dal filo vale, nel lato superiore in modulo:

<math>B_1=\frac {\mu_o}{2\pi} \frac 1x</math>

in quello inferiore sempre in modulo:

<math>B_2=\frac {\mu_o}{2\pi} \frac 1{x+a}\ </math>

La corrente sulla spira deve essere tale da essere concorde sul lato superiore a quella del filo.
Le forze agenti sui lati verticali della spira sono opposte e contrarie, per
cui la risultante è nulla, mentre sul lato superiore agisce
una forza diretta come la verticale in modulo eguale a:

<math>F_1=\frac {\mu_oi^2a}{2\pi x}\ </math> 

sul lato inferiore in senso opposto e in modulo:

<math>F_2=\frac {\mu_oi^2a}{2\pi (x+a)}\ </math>

imponendo quindi che:

<math>F_1-F_2=mg\ </math>

<math>\frac {\mu_oi^2}{4\pi }=mg\ </math>

<math>i=\sqrt{\frac {4\pi mg}{\mu_o}}=313\ A</math>

 
=== Induttanza con 2 resistenze ===
<span class="noprint">[[#Induttanza con 2 resistenze|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Applicando il teorema di Thevenin alla parte di circuito ai capi dell'induttanza:

<math>f_{th}=f-\frac {f}{R+R}R=\frac f2\ </math>

<math>R_{th}=R+\frac R2=\frac {3R}2\ </math>

A regime la corrente nel ramo dell'induttanza come in quello centrale vale quindi:

<math>I_{20}=I_{30}=\frac {f_{th}}{R_{th}}=\frac f{3R}=0.3\ A</math>

Mentre ovviamente il ramo del generatore fornirà una corrente doppia:

<math>I_{10}=0.6\ A</math>

Scrivendo l'equazione della maglia equivalente nel ramo dell'induttanza la corrente che scorre sarà:

<math>I_3=I_{30}\left(1-e^{-t/\tau}\right)=0.16\ A</math>

con <math>\tau=L/R_{th}=0.066\ s</math>. Scrivendo la legge di Kirkkoff per il nodo e la prima maglia:

<math>I_1=I_2+I_3\ </math>

<math>f=RI_1+RI_2\ </math>

Da cui eliminando <math>I_1\ </math>:

<math>I_2=\frac f{2R}-\frac {I_3}2=0.37\ A</math>

<math>I_1=I_2+I_3=0.53\ A</math>


=== Induttanza con 3 resistenze ===
<span class="noprint">[[#Induttanza con 3 resistenze|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Applicando il teorema di Thevenin alla parte di circuito ai capi
dell'induttanza:

<math>f_{th}=f-\frac {f}{R+\alpha R}R=f\frac {\alpha }{\alpha +1}=18\ V</math>

<math>R_{th}=R+\frac {\alpha }{\alpha +1}R=\frac {2\alpha +1}{\alpha +1}R=19\ \Omega</math>

A regime la corrente nel ramo dell'induttanza  vale quindi:

<math>I_{3f}=\frac {f_{th}}{R_{th}}=\frac {f\alpha }{R(1+2\alpha)}=1\ A</math>

Dovendo essere eguali:

<math>I_{2f}\alpha R= I_{3f}R\ </math>

Si ha che:

<math>I_{2f}=\frac {f}{R(1+\alpha)}=0.11\ A</math>

Quindi nel ramo del generatore a regime:

<math>I_{1f}=I_{2f}+I_{3f}=1.11\ A</math>

La costante di tempo vale:

<math>\tau =\frac L{R_{th}}=\frac LR \frac {1+\alpha}{1+2\alpha}=1 \ s</math>

Ovviamente all'istante iniziale comportandosi l'induttanza come un circuito aperto  la corrente fornita dal generatore scorre nel solo
ramo di <math>\alpha R</math> e quindi la corrente vale:

<math>I_{20}=\frac f{R(1+\alpha)}=0.17\ A</math>


=== Spira e solenoide ===
<span class="noprint">[[#Spira e solenoide|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

a) 
Il campo prodotto al centro del solenoide vale:

<math>B=\frac {\mu_o N I}l\ </math>

e quindi il flusso concatenato con la spira vale:

<math>\phi=B\pi r_0^2 \cos \theta=\frac {\mu_o N I}l \pi r_0^2 \cos \theta\ </math>

Quindi la mutua induzione vale:

<math>M=\frac {\phi}I= \frac {\mu_o N}l \pi r_0^2 \cos \theta=
42 \mu H</math>

b)  L'induttanza del solenoide vale

<math>L_1=\frac {\mu_o N^2\pi  r_1^2}l=0.71\ H</math>

Il solenoide si scarica secondo la legge:

<math>I=I_0e^{-t/\tau}\ </math>

dove <math>\tau=L_1/R_1=0.71\ s</math>. La corrente indotta, trascurando l'induttanza della spira, vale:

<math>I_{in}= \frac 1{R_0}\frac {\partial \phi}{\partial t}=
\frac M{R_0}\frac {\partial I}{\partial t}=
\frac {MR_1}{L_1 R_0}I_0e^{-t/\tau}\ </math>

che per <math>t=t_1\ </math> quindi:

<math>I_{in}=2.92\  mA</math>

c) L'energia totale dissipata nella  spira tra <math>t=0\ </math> e <math>t=t_1\ </math>:

<math>E=\int_0^{t_1} I_{in}^2 R_0 dt= \int_0^{t_1}
\frac {M^2R_1^2}{L_1^2 R_0}I_0^2e^{-2t/\tau}dt=
\frac {M^2R_1}{2L_1R_0 }I_0^2(1-e^{-2t_1/\tau})=0.94\ \mu J</math>


=== Due spire ===
<span class="noprint">[[#Due spire|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

a) Il campo generato dalla prima bobina sul suo asse, nel punto
in cui si trova al prima bobina vale, in modulo:

<math>|\vec B_1|=\frac {\mu_o}2\frac { R_1^2I_1N_1}{\left(
R_1^2 +d_1^2 \right)^{3/2} }\ </math>

Quindi il flusso concatenato sulla seconda vale:

<math>\Phi_c=N_2|\vec B_1|\pi R_2^2\ </math>

quindi la mutua induzione vale:

<math>M=\frac {\mu_o}2\frac {\pi R_1^2R_2^2N_1N_2}{\left(
R_1^2 +d_1^2 \right)^{3/2} }=14.5\ \mu H</math>

b) La seconda spira ha un momento di dipolo magnetico di:

<math>|m_2|=\pi R_2^2N_2I_1\ </math>

quindi la forza vale:

<math>\vec {F}=grad(\vec {m_2}\cdot \vec {B_1})\ </math>

quindi la forza è diretta secondo l'asse, attrattiva se le bobine sono equiverse, e di valore:

<math>|F|=\frac {\mu_o}2 \pi R_1^2R_2^2N_1N_2I_1^2
\left|\frac {\partial}{\partial z}\left[ \left( R_1^2 +z^2 
\right)^{-3/2}
\right] \right|_{z=d}=3\mu_o \pi R_1^2R_2^2N_1NI_1^2
\frac {d}{\left(R_1^2 +d^2 \right)^{5/2}}=8.4\ N</math>

=== Dipolo magnetico e spira ===
<span class="noprint">[[#Dipolo magnetico e spira|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Il campo di una spia sul suo asse vale:

<math>|B|_{esatto}=\frac {\mu_o I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}=\frac {\mu_o I R^2}{2(R^2+\alpha^2R^2)^{3/2}}=
\frac {\mu_o I }{2R(1+\alpha^2)^{3/2}}</math>

La spira è un dipolo di momento:

<math>|m|=I\pi R^2</math>

Mentre la formula del dipolo:

<math>\vec B=\frac {\mu_o}{4\pi r^5}\left[3(\vec m\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec m\right]</math>

che lungo l'asse diventa:

<math>\vec B=\frac {\mu_o}{2\pi r^3}\vec m=\frac {\mu_o}{2\pi \alpha^3 R^3}\vec m</math>

<math>|B|_{appross}=\frac {\mu_o}{2 \alpha^3 R}I</math>

Il loro rapporto vale:

<math>Rapp=|B|_{esatto}/|B|_{appross}=\frac {\alpha^3}{(1+\alpha^2)^{3/2}}</math>

<math>Rapp(\alpha=0.5)=0.089</math>

<math>Rapp(\alpha=2)=0.72</math>

=== Spira dentro solenoide ===
<span class="noprint">[[#Spira dentro solenoide|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Il numero di spire per unità di lunghezza vale:

<math>n=\frac Nl=1000\ m^{-1}</math>

Il campo magnetico generato dal solenoide, in assenza dell'anello,   vale:

<math>B_s=\mu_o nI=\mu_o nmt\ </math>

Quindi il flusso concatenato all'anello vale:

<math>\phi_c =\mu_o nm\pi r^2t\ </math>

Quindi la f.e.m. indotta vale:

<math>f.e.m=-\mu_o nm\pi r^2=0.39\ V</math>

quindi la corrente circolante è costante e vale:

<math>I_c=\frac {f.e.m.}R=-\frac {\mu_o nm\pi r^2}R=395\ A</math>

Quindi la potenza dissipata istantaneamente per effetto Joule vale:

<math>P=I_c^2R=156\ W</math>

La corrente circolante genera al centro dell'anello un campo pari a:

<math>B_a=\frac {\mu_o I_c}{2r}=-\frac {\mu_o^2 nm\pi r}{2R}\ </math>

Quindi  il campo totale <math>B_t\ </math> vale:

<math>B_t=B_s+B_a=\mu_o nm \left(t-\frac {\mu_o \pi r}{2R}\right)\ </math>

quindi dopo <math>t_1\ </math>:

<math>B_t=0.01\ T\ </math>

(notare come per <math>t\rightarrow 0\ </math> il campo, avendo trascurato l'induttanza, diventa negativo, tale risultato non fisico dipende dall'avere trascurato l'induttanza dell'anello, che non può essere trascurata nel momento iniziale)


=== Spira in un campo magnetico ruotante ===
<span class="noprint">[[#Spira in un campo magnetico ruotante|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

La f.e.m: massima vale:

<math>V_o=NBa^2\omega\ </math> 

La corrente massima che scorre è:

<math>I_o=\frac {V_o}R=\frac {NBa^2\omega}R\ </math>

<math>B=\frac {RI_o}{Na^2\omega }=0.31\ T</math>

Mentre il valore della massima potenza istantanea vale:

<math>P_m=V_oI_o=0.62\ W</math>

Mentre quella media:

<math>P_e=\frac {P_m}2=0.31\ W</math>


=== Sbarretta ruotante ===
<span class="noprint">[[#Sbarretta ruotante|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Detta <math>\theta\ </math> l'angolo al tempo generico tra la sbarretta ed il filo che va dal perno al circuito. L'area attreversata dal campo magnetico <math>B\ </math> vale:

<math>A=\frac 12 h^2\theta\ </math>

Ma ruotando la sbarretta a velocità angolare costante:

<math>A=\frac 12 h^2\omega t+\theta_o\ </math>

(dove <math>\theta_o\ </math> è l'angolo al tempo <math>t=0\ </math>.
Quindi il flusso concatenato al circuito istante per istante vale:

<math>\Phi_c=B(\frac 12h^2\omega t+\theta_o)\ </math>

La forza elettromotrice (f.e.m.) indotta sulla barretta
è data da:

<math>f=\frac{d\Phi_c}{dt}=(1/2)\omega h^2B=1\ V</math>

'''1'''. A regime, nel circuito non scorre corrente, pertanto la tensione del generatore si ripartisce tra i condensatori 1 e 2 nelle proporzioni di <math>C_{1,2}/ C_1\ </math> e <math>C_{1,2}/ C_2\ </math> rispettivamente, essendo <math>C_{1,2} = C_1C_2/( C_1+C_2)\ </math> la capacità
equivalente della serie. Dunque:

<math>V_{C_1}=\frac{C_2}{C_1+C_2}f=(2/3)f=0.67 V e V_{C_2}=\frac{C_1}{C_1+C_2}f=(1/3)f=0.33\ V </math>

'''2'''. L'energia dissipata per effetto Joule si può calcolare come differenza tra il lavoro svolto dal generatore di f.e.m., pari a
<math>L_{gen} = fQ\ </math>, ove <math>Q=C_{1,2}f\ </math> è la carica accumulata su ciascun
condensatore, e l'energia accumulata nei due condensatori:

<math>E=fQ-(1/2)C_{1,2}f^2=(1/2)C_{1,2}f^2 = 0.33\ \mu J \ </math>


=== Spira in campo variabile ===
<span class="noprint">[[#Spira in campo variabile|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Il flusso concatenato con la spira vale:

<math>\phi_c=B_o\pi a^2\left(1-e^{-t/\tau}\right)\ </math>

Quindi la f.e.m. indotta nella spira vale:

<math>f(t)=\frac {d \phi_c}{d t}=\frac {B_o\pi a^2}{\tau }e^{-t/\tau}\ </math>

Mentre la corrente vale:

<math>I(t)=\frac {B_o\pi a^2}{2\pi a \lambda \tau }e^{-t/\tau}=\frac {B_o a}{2 \lambda \tau }e^{-t/\tau}\ </math>

Che è massima all'istante iniziale e vale:

<math>\frac {B_o a}{2 \lambda \tau }=4\ A\ </math>

La potenza dissipata vale:

<math>P(t)=f(t)I(t)=\frac {B_o^2 \pi a^3}{2 \lambda \tau^2 }e^{-2t/\tau}\ </math>

Quindi l'energia totale dissipata vale:

<math>E_d=\frac {B_o^2 \pi a^3}{2 \lambda \tau^2 }\int_0^{\infty}e^{-2t/\tau}dt=
\frac { B_o^2 \pi a^3}{4 \lambda \tau }=1\ mJ\ </math>


=== Campo magnetico terrestre ===
<span class="noprint">[[#Campo magnetico terrestre|&rarr; Vai alla traccia]]</span>


a)
In questo al polo Nord:

<math>B_z=\frac{\mu _{\circ }|m|}{2\pi r_T^3}=62\mu T</math>

b) Mentre all'equatore:

<math>B_z=-\frac{\mu _{\circ }|m|}{4\pi r_T^3}=-31\mu T</math>

c) 
Nella spira dovrà circolare una corrente oraria e imponendo che il
momento di dipolo magnetico sia eguale a quello della terra:

<math>I\pi r_T^2=m</math>


da cui segue che:

<math>I=\frac m{\pi r^2}=0.62\cdot 10^9\ A</math>

=== Nastro percorso da corrente ===
<span class="noprint">[[#Nastro percorso da corrente|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Se dividiamo il nastro in striscie sottili di larghezza <math>dx\ </math> percorse da una corrente:

<math>dI=I\frac {dx}w\ </math>

Il campo di induzione magnetica, entrante nel piano della figura, generato nel punto $P$ sarà pari a:

<math>|dB|=\frac {\mu_o}{2\pi x}dI=\frac {\mu_o}{2\pi x}I\frac {dx}w\ </math>

per cui il campo globalmente generato vale:

<math>|B|=\int_{d-w/2}^{d+w/2}|dB|=\frac {\mu_oI}{2\pi w}\int_{d-w/2}^{d+w/2}\frac {dx}x=
\frac {\mu_oI}{2\pi w}\ln \frac{d+w/2}{d-w/2}=\frac {\mu_oI}{2\pi w}\ln 2=6.9\cdot 10^{-5}\ T</math>

non molto differente da quello approssimato:

<math>B_a=\frac {\mu_o}{2\pi d}I=\frac {\mu_o}{2\pi 1.5w}I=6.7\cdot 10^{-5}\ T\ </math>

=== Forza tra spire ===
<span class="noprint">[[#Forza tra spire|&rarr; Vai alla traccia]]</span>

Essendo <math>d\ll R\ </math> posso considerarli come due fili paralleli indefiniti
Tra di essi agisce una forza attrattiva di:

<math>|F|=\frac {N^2\mu_o}{2\pi d}I^22\pi R=\frac {N^2\mu_oRI^2}{ d}\ </math>

L'equilibrio viene ristabilito se:

<math>mg=\frac {\mu_oRN^2I^2}{d}\ </math>

<math>m=\frac {\mu_oRN^2I^2}{g d}=2.14\ g</math>

[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Magnetismo]]
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