Revision 43513 of "解析概論/第7章/包絡線" on jawikisource

==== 88．包絡線 ====
<math>xy</math> 平面において媒介変数 <math>\alpha</math> を含む方程式 {{解析概論/equation|<math>f(x,y,\alpha)=0</math>|tag=(1)|label=eq:88.1}} によって曲線の一つの族（{{lang|en|family}}）が表わされる．<math>\alpha</math> の値を固定すれば，[[#eq:88.1|(1)]] は一つの曲線を表わすが，<math>\alpha</math> の値を連続的に変えるならば，その曲線は形および位置において連続的に変わるであろう．さて一つの曲線 <math>E</math> が [[#eq:88.1|(1)]] の各曲線に接して，しかもその接点の軌跡であるとき，<math>E</math> を[[#eq:88.1|曲線族 (1)]] の<strong>包絡線</strong>という．

例えば，一つの曲線 <math>C</math> のすべての法線の包絡線は <math>C</math> の縮閉線である（[[解析概論/第2章/接線および曲率|§27]]）．また曲線 <math>C</math> のすべての接線の包絡線はすなわち曲線 <math>C</math> 自身である．

[[#eq:88.1|曲線族 (1)]] が包絡線 <math>E</math> を有するとすれば，[[#eq:88.1|(1)]] と <math>E</math> との接点を <math>(x,y)</math> とするとき，<math>x,y</math> は <math>\alpha</math> の函数である．それを {{解析概論/equation|<math>x=\varphi(\alpha),\quad y=\psi(\alpha)</math>|tag=(2)|label=eq:88.2}} とすれば，これが <math>\alpha</math> を媒介変数としての <math>E</math> の方程式である．[[#eq:88.2|(2)]] は <math>(x,y)</math> において [[#eq:88.1|(1)]] に接するから {{解析概論/equation|<math>f_x\varphi'(\alpha)+f_y\psi'(\alpha)=0.</math>}}[[file:図|right]]然るに <math>\varphi(\alpha),\psi(\alpha)</math> は [[#eq:88.1|(1)]] の上の点だから {{解析概論/equation|<math>f(\varphi(\alpha),\psi(\alpha),\alpha)=0,</math>}} <math>\alpha</math> に関して微分して {{解析概論/equation|<math>f_x\varphi'(\alpha)+f_y\psi'(\alpha)+f_\alpha=0,</math>}} 従って {{解析概論/equation|<math>f_\alpha=0.</math>}} 故に包絡線の各点 [[#eq:88.2|(2)]] は，曲線 {{解析概論/equation|<math>f(x,y,\alpha)=0,\quad f_\alpha(x,y,\alpha)=0</math>|tag=(3)|label=eq:88.3}} の交わりである．

逆に，[[#eq:88.3|(3)]] の二つの方程式から，[[解析概論/第7章/陰伏函数(陰函数)#th:73|定理 73]] の条件の下において，{{解析概論/equation|<math>x=\mathit\Phi(\alpha),\quad y=\mathit\Psi(\alpha)</math>|tag=(4)|label=eq:88.4}} なる <math>\alpha</math> の函数が生ずる．或いは <math>\alpha</math> をおい出して {{解析概論/equation|<math>R(x,y)=0.</math>|tag=(5)|label=eq:88.5}} さて {{解析概論/equation|<math>
  f(\mathit\Phi(\alpha),\mathit\Psi(\alpha),\alpha)=0,\quad
  f_\alpha(\mathit\Phi(\alpha),\mathit\Psi(\alpha),\alpha)=0
</math>}} から {{解析概論/equation|<math>f_x\mathit\Phi'(\alpha)+f_y\mathit\Psi'(\alpha)+f_\alpha=0,</math>}} 従って {{解析概論/equation|<math>f_x\mathit\Phi'(\alpha)+f_y\mathit\Psi'(\alpha)=0.</math>}} 故に <math>f_x=f_y=0</math> でないならば，[[#eq:88.5|曲線 (5)]] は [[#eq:88.1|(1)]] に接する．すなわち <math>\mathit\Phi(\alpha),\mathit\Psi(\alpha)</math> は包絡線上の点である．故に [[#eq:88.5|(5)]] は[[#eq:88.1|曲線族 (1)]] の特異点の軌跡と [[#eq:88.1|(1)]] の包絡線とから成り立つものである．方程式の用語を転用して [[#eq:88.5|(5)]] を [[#eq:88.1|(1)]] の<strong>判別式</strong>という．

{{解析概論/note}}
{{解析概論/example|label=88.1|1}} <math>x^4-y^2+(x-\alpha)^2=0</math>．この場合には <math>f_\alpha=0</math> は <math>x-\alpha=0</math>．よって [[#eq:88.5|(5)]] は <math>y^4-x^2=0</math>．これは三つの直線 <math>y=0,y=\pm1</math> を表わす．<math>y=0</math> は特異点（<math>x=\alpha,y=0</math>）の軌跡で，<math>y=\pm1</math> が包絡線である．{{解析概論/example-end}}
{| style="margin:1ex auto 1ex auto; text-align: center;"
| [[file:図|x^4-y^2+(x-\alpha)^2=0とその三つの包絡線]] || [[file:図|定長lなる直線とその包絡線なるasteroid]]
|}
{{解析概論/example|label=88.2|2}} 定長 <math>l</math> なる直線の両端が直交軸上を動くとき，その方程式は{{解析概論/equation|<math>x\cos\alpha+y\sin\alpha=l\sin\alpha\cos\alpha.</math>}} <math>\alpha</math> に関して微分すれば {{解析概論/equation|<math>-x\sin\alpha+y\cos\alpha=l\cos2\alpha.</math>}} ここでは [[#eq:88.4|(4)]] は {{解析概論/equation|<math>x=l\sin^3\alpha,\quad y=l\cos^3\alpha.</math>}} 故に包絡線として {{解析概論/equation|<math>x^{\frac23}+y^{\frac23}=l^{\frac23}</math>}} を得る（アステロイド，{{lang|en|asteroid}}，[[解析概論/第2章/接線および曲率#ex:27.2|83 頁]]）．{{解析概論/example-end}}
{{解析概論/note-end}}

[[#eq:88.1|(1)]] の一つの曲線 <math>f(x,y,\alpha)=0</math> と，それに近接する <math>f(x,y,\alpha+\Delta\alpha)=0</math> とが交わって，<math>\Delta\alpha</math> が限りなく小さくなるとき，その交点が極限において <math>f(x,y,\alpha)</math> の上の点 <math>(x_1,y_1)</math> に近づくとすれば，<math>(x_1,y_1)</math> は判別式 <math>R(x,y)=0</math> 上の点である．実際 {{解析概論/equation|<math>
  f(x,y,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,y,\alpha)
  =\Delta\alpha\cdot f_\alpha(x,y,\alpha+\theta\Delta\alpha)
</math>}} から {{解析概論/equation|<math>f_\alpha(x,y,\alpha+\theta\Delta\alpha)=0,</math>}} 従って <math>\Delta\alpha\to 0</math> のとき，{{解析概論/equation|<math>f_\alpha(x,y,\alpha)=0.</math>}}

[[file:図|right]]
{{解析概論/note}} ただし，[[#eq:88.1|(1)]] における接近する曲線が交わらないでも，包絡線の生ずる場合はある．例えば三次放物線の族 {{解析概論/equation|<math>y=(x-\alpha)^3</math>}} は交点を有しないけれども，<math>y=0</math> が包絡線である．

同様にして，一つまたは二つの媒介変数を有する曲面族の包絡面を考察することができる．包絡は幾何学または微分方程式論において重要であるが，ここではその基本的概念を述べるに止める．<div style="clear:both"/>{{解析概論/note-end}}