Revision 114561 of "ទ្រឹស្តីបទ​កូស៊ីនុស" on kmwiki

'''ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស''' (ឬច្បាប់កូស៊ីនុស ឬរូបមន្តកូស៊ីនុស, Law of cosines) គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុង និងកូស៊ីនុសមុំមួយនៃ[[ត្រីកោណ]]។ 
[[រូបភាព:Triangle with notations 2.svg|រូបតូច|right|230ភស|ទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនិងមុំក្នុងត្រីកោណ]]
== ទ្រឹស្តីបទ ==
ចំពោះ <math>\vartriangle ABC \,</math> ដែលមាន <math>a = BC, \, b = CA,\, c = AB,\, \alpha = \ang CAB,\, \beta = \ang ABC,\, \gamma = \ang BCA \,</math> នោះគេបាន
:* <math>\color{blue} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma  \,</math>
:* <math>\color{blue} b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos \beta  \,</math>
:* <math>\color{blue} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha  \,</math>

: <math>\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\  \,</math>
: <math>\cos \beta  = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ca}\  \,</math>
: <math>\cos \alpha  = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\  \,</math>
== សំរាយបញ្ជាក់ ==
===ដោយប្រើរូបមន្តចំងាយរវាងពីរចំនុច===
យើងមានត្រីកោណ ABC មានរង្វាស់ជ្រុង a, b, c និង <math>\theta \,</math> ជារង្វាស់មុំឈមនៃជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ។ យើងអាចដាក់ត្រីកោណក្នុងបប្រព័ន្ធកូអរដោនេ ដែល <math>A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\,\, </math>  និង <math>\,  \ C(0,0) \,</math>  ។ តាមរូបមន្តចំងាយរវាងចំនុច A និង B យើងបាន
: <math>
\begin{align}
c & {} = \sqrt{(b\cos \theta - a)^2+(b\sin \theta - 0)^2} \\
\Rightarrow c^2 & {} = (b\cos \theta - a)^2+(b\sin \theta - 0)^2 \\
& {} = b^2 \cos ^2 \theta - 2ab\cos \theta + a^2 + b^2\sin ^2 \theta \\
& {} = a^2 + b^2 (\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta ) - 2ab\cos \theta \\
& {} = a^2 + b^2  - 2ab\cos \theta 
\end{align}
</math>
===ដោយប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ===
[[រូបភាព:Triangle-with-cosines.svg|រូបតូច|ស្តាំ|300ភស|ត្រីកោណស្រួច(មុំទាំងបីជាមុំស្រួល)ជាមួយបន្ទាត់កែង]]
គូសបន្ទាត់មួយកែងនឹងជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន
:<math>c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,</math>
(ករណីនៅតែពិតដដែលទោះបីជា α ឬ β ជាមុំទាល (មុំដែលមានតំលែនៅចន្លោះ 90° និង ១៨០°) ដែលករណីនេះបន្ទាត់កែងស្ថិតនៅក្រៅត្រីកោណ។)  

ដោយគុណអង្គសងខាងនៃសមីការនឹង c យើងបាន
:<math>c^2 = ac\cos \beta + bc\cos \alpha \,\,\,(1) </math>

ដូចគ្នាដោយសន្មតថាមានបន្ទាត់កែងគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀត យើងបាន

:<math>a^2 = ac\cos \beta + ab\cos \gamma \,</math>

:<math>b^2 = bc\cos \alpha + ab\cos \gamma \,</math>

បូកសមីការទាំងពីរចុងក្រោយខាងលើចូលគ្នា យើងបាន

:<math>a^2 + b^2 = ac\cos \beta + bc\cos \alpha + 2ab\cos \gamma \,</math>

:<math> \Rightarrow ac\cos \beta + bc\cos \alpha = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,\,\,(2)</math>
ដោយជំនួសតំលៃនៃ <math>(2) \,</math> ទៅក្នុងសមីការ <math>(1) \,</math> ខាងលើ យើងបាន

:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma \,</math>

===ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាករ===
[[រូបភាព:Obtuse Triangle With Altitude ZP.svg‎|រូបតូច|230px|ត្រីកោណទាល(មានមុំ១ជាមុំទាល) មានកំពស់ BH]]
'''ករណីមុំទាល'''៖ [[អឺគ្លីត]]បានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះដោយអនុវត្ត[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]]ចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរ (ត្រីកោណកែង AHB និងCHB ) ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ។ តាង d ជាប្រវែងអង្កត់ CH  និង h ជាកពស់ BH នៃត្រីកោណ AHB យើងបាន

: <math>c^2 = (b+d)^2 + h^2 \,</math>

និងចំពោះត្រីកោណ CHB យើងបាន

: <math>d^2 + h^2 = a^2 \,</math>

ដោយពន្លាតកន្សោមនៃសមីការទី១ខាងលើ យើងបាន

: <math>c^2 = b^2 + 2bd + d^2 +h^2 \,</math>

ដោយជំនួសទៅក្នុងសមីការទី២ខាងលើ យើងបាន

: <math>c^2 = a^2 + b^2 + 2bd \,\,\,(3)</math>

ដោយបំលែងទំរង់នេះទៅជាទំរងទំនើបនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស គេបានកំនត់សំគាល់

:<math>d = a\cos(\pi-\gamma)= -a\cos \gamma \,</math>

ជំនួសតំលៃ d ទៅក្នុងសមីការ <math>(3)\,\,</math> យើងបានទ្រឹស្តីកូស៊ីនុស

: <math>\color{blue} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma  \,</math>

[[រូបភាព:Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.svg|thumb|319px|ស្តាំ|សំរាយបញ្ជាក់ខ្លីដោយប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ ចំពោះករណីមុំទាល]]
'''ករណីមុំទាល'''៖  អឺគ្លីដបានអនុវត្ត[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]]ចំពោះ[[ត្រីកោណកែងទាំង]]ពីរដែលបង្កើត​ដោយគូសទំលាក់បន្ទាត់មកជ្រុងដែលមានរង្វាស់ b ជាប់មុំ γ និងបានប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា ដើម្បីសំរាយអោយងាយ។

'''សំរាយបញ្ជាក់ម្យ៉ាងទៀតចំពោះករណីមុំទាល'''៖ ដោយអនុវត្ត[[ទ្រឹស្តីបទពីតាករ]]ចំពោះ[[ត្រីកោណកែង]]ផ្នែកខាងធ្វេង ក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន

: <math>
\begin{align}
c^2 & {} = (b-a\cos \gamma)^2 + (a\sin \gamma )^2 \\
& {} = b^2 - 2ab\cos \gamma + a^2(\cos^2 \gamma )+a^2(\sin^2 \gamma) \\
& {} = b^2 + a^2 - 2ab\cos \gamma
\end{align}
</math>
(ដែលតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ <math>\cos^2 \gamma +a^2 \sin^2 \gamma \, </math> )

===ដោយប្រើផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រ===
ដោយប្រើវិធីគណនារករង្វាស់វ៉ិចទ័រតាមរយៈ[[ផលគុណស្កាលែ]]នៃវ៉ិចទ័រ យើងបានបំណកស្រាយទ្រឹស្តីកូស៊ីនុសបង្ហាញដូចខាងក្រោម

:{| border=0
|<math>c^2\,</math>
|<math>=\lVert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\lVert^2</math>
|-
|
|<math>= \lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2</math>
|-
|
|<math>=\lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}\lVert^2-2\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\lVert\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2</math>
|-
|
|<math>=\mathrm{CB}^2-2\cdot\left|\mathrm{CB}\right|\cdot\left|\mathrm{CA}\right|\cos\widehat{\mathrm{ACB}}+\mathrm{CA}^2</math>
|-
|
|<math>=a^2+b^2-2ab \cos\gamma\, </math>
|}

== ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណសមបាទ==

ពេល ''a'' = ''b''  មានន័យថាត្រីកោណ ABC ជា[[ត្រីកោណសមបាត]] ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា។ នោះ <math>a^2 + b^2 = 2a^2 = 2ab \,</math>។ គេបាន

: <math> c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma  \,</math>
: <math> c^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \gamma  \,</math>
: <math> c^2 = 2a^2(1 -  \cos \gamma ) \,</math>

<math> \Rightarrow  1 -  \cos \gamma  = \frac {c^2} {2a^2} \,</math>

<math> \Rightarrow \cos \gamma = 1 - \frac{c^2}{2a^2} \;</math>

== អនុវត្ត ==

តាង a,b,c ជា​ប្រវែង​ជ្រុង និង A,B,C ជា​[[មុំ​]]នៃ​[[ត្រីកោណ]]​ ABC តាង S ជា​ក្រឡា​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ ABC។ ចូរ​ស្រាយ​បញ្ជាក់​ថា

<math>\cot A + \cot B + \cot C = \displaystyle \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{4S}}</math>

'''ដំណោះស្រាយ'''

តាម[[ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស]] ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

::<math>S =  \frac{1} {2} bc \sin A </math>

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន

:: <math>
\begin{align}
a^2 & {} =  b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\
& {} = b^2 + c^2 - 4(\frac{1} {2}) bc \sin A \cdot \frac{\cos A} {\sin A} \\
& {} = b^2 + c^2 - 4S \cot A \\
\end{align}
</math>

ដូចគ្នាដែរ

:: <math>b^2 = a^2 + c^2 - 4S \cot B \,</math>
:: <math>c^2 = a^2 + b^2 - 4S \cot C \,</math>

:: <math> 
\Rightarrow
\begin{cases}
  \cot A = \frac {b^2+c^2-a^2} {4S} \\
 \cot B = \frac {a^2+c^2-b^2} {4S} \\
 \cot C = \frac {a^2+b^2-c^2} {4S} \\
 \end{cases}
 </math>

ដូច្នេះយើងបាន
::<math>\cot A + \cot B + \cot C = \frac {b^2+c^2-a^2} {4S} + \frac {a^2+c^2-b^2} {4S} + \frac {a^2+b^2-c^2} {4S} =\displaystyle \frac{{a^2 + b^2 + c^2 }}{{4S}}</math>
== សូមមើលផងដែរ ==
* [[ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស]]
* [[អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ]]
* [[ទ្រឹស្តីបទតង់សង់]]

[[Category:ទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យា|កូស៊ូនុស]]
[[Category:ត្រីកោណមាត្រ]]
[[Category:មុំ]]

{{Link FA|fr}}

[[als:Kosinussatz]]
[[ar:قانون جيب التمام]]
[[bg:Косинусова теорема]]
[[bs:Kosinusni teorem]]
[[ca:Teorema del cosinus]]
[[cs:Kosinová věta]]
[[da:Cosinusrelation]]
[[de:Kosinussatz]]
[[en:Law of cosines]]
[[eo:Leĝo de kosinusoj]]
[[es:Teorema del coseno]]
[[et:Koosinusteoreem]]
[[eu:Kosinuaren teorema]]
[[fa:قانون کسینوس‌ها]]
[[fi:Kosinilause]]
[[fr:Théorème d'Al-Kashi]]
[[gl:Teorema do coseno]]
[[he:משפט הקוסינוסים]]
[[hi:कोज्या नियम]]
[[hr:Kosinusov poučak]]
[[hu:Koszinusztétel]]
[[hy:Կոսինուսների թեորեմ]]
[[id:Hukum cosinus]]
[[it:Teorema del coseno]]
[[ja:余弦定理]]
[[ka:კოსინუსების თეორემა]]
[[kk:Косинустар теоремасы]]
[[ko:코사인 법칙]]
[[ms:Hukum kosinus]]
[[nl:Cosinusregel]]
[[no:Cosinussetningen]]
[[pl:Twierdzenie cosinusów]]
[[pms:Teorema dël cosen]]
[[pt:Lei dos cossenos]]
[[ro:Teorema cosinusului]]
[[ru:Теорема косинусов]]
[[si:කෝසයින නියමය]]
[[sk:Kosínusová veta]]
[[sl:Kosinusni izrek]]
[[sq:Teorema e kosinusit]]
[[sr:Косинусна теорема]]
[[sv:Cosinussatsen]]
[[ta:கோசைன் விதி]]
[[th:กฎของโคไซน์]]
[[tr:Kosinüs teoremi]]
[[uk:Теорема косинусів]]
[[ur:قانون جیب التمام]]
[[vi:Định lý cos]]
[[zh:餘弦定理]]
[[zh-classical:餘弦定理]]