Revision 688386 of "Teurema fundamentaal dal càlcül" on lmowiki

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Ul '''teurema fundamentaal dal càlcül''' integraal al cunsistiss, fisc infurmalament, in l'afirmazziú che la derivada e l’integrala d'una funziú matemàtica i è da le uperazziú inverse. Vargott al significa che cada funziú cuntínua integràbila la verifica che la derivada da la suva [[integrala indefinida]] al è sí istessa. Cheest [[teurema]]-chí al è centraal in la branca da la matemàtica cjamada càlcül.

Una cunseguenza direta da cheest teurema, denuminada ucasiunalameent ''seguunt teurema fundamentaal dal càlcül'', la permett da calcülá  l'integrala d'una funziú duvraant  l'antiderivada da la funziú da integrá.

Apó si i andeegh matemàtich greech cuma [[Archimedes]] gja i dispusava da métude aprussimade pal càlcül da vulüm, àree e lunghezze da cürve, al è staa grazzia a una idea uriginaalameent desvilüpada pal matemàtich anglées [[Isaac Barrow]] e le apurtazziú da [[Isaac Newton]] e [[Gottfried Leibniz]] che cheest teurema al a pudüü vess enunziaa e demustraa.

== I teureem fundamentaj dal càlcül integraal ==

=== Primm teurema fundamentaal ===

==== Declarazziú ====

Dada una [[funziú (matemàtica)|funziú]] '''<math>f</math>''' integràbila sura l'[[interval]] <math>[a,b]</math>, definissemm '''<math>F</math>'''  sura <math>[a,b]</math> par  <math>F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt}</math> cun <math>\alpha \in [a,b]</math> fissaa. Ul teurema al diis che si '''<math>f</math>''' al è [[cuntinüitaa (matemàtica)|cuntínua]] a <math>c \in [a,b]</math>, alura '''<math>F</math>''' al è [[derivada|derivàbila]] a '''c''' e '''F'(c) = f(c)'''.

==== Demustrazziú ====

Lema impurtaant:

Süpusemm che '''<math>f</math>''' al è integràbila sura <math>[a,b]</math> e che:

:::<math>m \leq f(x) \leq M \forall x \in [a,b]</math>

Alura

:::<math>m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)</math>

'''Scumenza la demustrazziú'''

Ipòtesi:
:Al síes <math>c \in (a,b)</math>.
:Al síes '''<math>f</math>''' una funziú integràbila sura l'interval <math>[a,b]</math> e cuntínua a '''c'''.
:Al síes '''<math>F</math>''' una funziú sura <math>[a,b]</math> definida inscí: <math>F(x)= \int_{\alpha}^x f(t)dt</math> cun <math>\alpha \in [a,b]</math>


Tesi:
:F'(c)=f(c)

Par  definizziú a gh’emm: <math>F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }</math>.

Süpusemm che h>0, alura <math>F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}</math>.

Definissemm <math>m_h</math> y <math>M_h</math> cuma:

::<math>m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}</math>,
::<math>M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}</math>

Aplicaant  ul 'lema', a videmm che:
::<math>m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h</math>.

Par taant,

::<math>m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h</math>

Adess süpusemm che <math>h < 0</math>, i síes:
::<math>{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq ch \}</math>,
::<math>{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq ch \}</math>.

Aplicaant  ul 'lema' videmm che:
:: <math>{m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^ch f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h) </math>.

Cuma:
::<math>F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}</math>,

Alura:
::<math>{m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h</math>.

Pusaa che <math>h < 0</math>, alura a gh’emm che:
:: <math>{m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h</math>.


E cuma '''<math>f</math>''' al è cuntínua a '''c''' a gh’emm che:
:: <math>\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)</math>,

e vargott al porta a:

:::<math>F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)</math>. 

==== Esempi ====

:<math>F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2</math>
:<math>H(x) = \int_{10}^{\exp{3x}} sen(t) dt \Rightarrow H'(x) = sen(e^{3x}) e^{3x} 3 </math>
:<math>G(x) = \int_{0}^{x^2} arcsen(t) dt \Rightarrow G'(x) = arcsen(x^2) 2x  </math>

=== Seguunt teurema fundamentaal ===

==== Declarazziú ====
Apó sa l nòmina '''Régula da Barrow''', in honuur a [[Isaac Barrow]].

Dada una funziú '''<math>f</math>''' cuntínua a l'interval <math>[a,b]</math> e al síes <math>g(x)</math> qual-sa-vöör funziú primitiva da <math>f</math>, al è a dí '''g'(x)=f(x)''', alura:
:<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)</math>

Cheest teurema sa l dövra frequentameent par valüá da le integrale definides.

==== Demustrazziú ====
Ipòtesi: 
:Al síes <math>f</math> una funziú cuntínua a l'interval <math>[a, b]</math>
:Al síes g una funziú diferenziàbila in l'interval <math>[a,b] </math> taal che <math>g'(x)=f(x) {\  }\forall x \in [a,b] </math>

Tesi: 
:<math>\int_a^b f(x)dx = g(b)-g(a)</math>

Demustrazziú:

Al síes
::: <math>F(x)= \int_a^x f(t)dt </math>.

A gh’emm pal primm teurema fundamentaal dal càlcül che:
::: <math>F'(x)=f(x)=g'(x) {\   } \forall x \in [a,b]</math>.

Par taant:
::: <math>\exists ch \in \mathbb{R} {\  }</math> taal che <math>\forall x \in [a,b], F(x)=g(x) + c</math>.

Usservemm che:
::: <math>0=F(a)=g(a)+c</math>

E da chí al seguiss che <math>c=-g(a)</math>; par taant:
::: <math>F(x) = g(x) - g(a)</math>.

E in particülaar si <math>x=b</math> a gh’emm che:
::: <math>\int_a^b f(t)dt = F(b) = g(b) - g(a) </math>

==== Esempi ====

:<math>\int_0^{\pi} \cos(x)dx = \sin(\pi)-\sin(0)=0</math>
:<math>\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln(e)-\ln(1)=1</math>

== Vidée apó ==

* [[Régula da Barrow]]
* [[Integrazziú]]
* [[Métude d'integrazziú]]
* [[Régula da Leibniz]]
* [[Integrala da Rieman]]

[[Categuria:Càlcül]]
[[Categuria:Anàlisi matemàtega]]

[[am:የካልኩለስ መሰረታዊ እርግጥ]]
[[ar:المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل]]
[[bg:Фундаментална теорема на анализа]]
[[bn:ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য]]
[[ca:Teorema fonamental del càlcul]]
[[cs:Základní věta integrálního počtu]]
[[da:Infinitesimalregningens hovedsætning]]
[[de:Fundamentalsatz der Analysis]]
[[en:Fundamental theorem of calculus]]
[[eo:Fundamenta teoremo de kalkulo]]
[[es:Teorema fundamental del cálculo]]
[[eu:Kalkuluaren oinarrizko teorema]]
[[fa:قضیه اساسی حسابان]]
[[fi:Analyysin peruslause]]
[[fr:Théorème fondamental de l'analyse]]
[[he:המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]]
[[hi:कलन का मूलभूत प्रमेय]]
[[hu:Newton–Leibniz-tétel]]
[[id:Teorema dasar kalkulus]]
[[it:Teorema di Barrow]]
[[ja:微分積分学の基本定理]]
[[ka:კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემები]]
[[kk:Лейбниц-Ньютон теоремасы]]
[[ko:미적분학의 기본정리]]
[[mk:Основна теорема на анализата]]
[[ms:Teorem asas kalkulus]]
[[nl:Hoofdstelling van de integraalrekening]]
[[no:Analysens fundamentalteorem]]
[[pl:Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego]]
[[pt:Teorema fundamental do cálculo]]
[[ro:Teorema fundamentală a calculului integral]]
[[ru:Теорема Ньютона — Лейбница]]
[[simple:Fundamental theorem of calculus]]
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