Revision 690589 of "Prudüit cartesià" on lmowiki

{{varda che bél}}
{{portal|Matemàtega}}
{{KOMAT}}

In [[matemàtega]], ul '''prudüit cartesià '' da düü cungjuunt ''X'' e ''Y'' al è  ul cungjuunt da töcc i '''[[para (matemàtega)|para]]''', da che la prima cumposanta al partegn à ''X'' e la segunda à ''Y''. Sa la generaliza fàcilameent la nuzziú  da prudüit cartesià binari à chela da prudüit cartesià finii, ch’al è  alura un cungjuunt da  ''mültiplet'', sa al diis ''n-uplets'' paj elemeent d'un prudüit cartesià da n cungjuunt. Sa la pöö apó intrudüí la nuzziú  da '''suma dis&midot;gjunta''' (u '''cartesiana'''). Par generalizá  aj '''prudüit cartesià infinii''', di prudüit d'una famèja qual-sa-vöör (eventualameent infinida) da cungjuunt, sa gh'a büsögn da la nuzziú  da funziú .



== Prudüit cartesià da düü cungjuunt ==

=== Definizziú  ===

Par cada cungjuunt''A'' e cada cungjuunt''B'', al esiist un ünich cungjuunt da che i elemeent i è i para da che la prima cumposanta al partegn à ''A'' e la segunda à ''B'' :

: <center> <math> \forall\ A , \forall\ B , \exists\ P /\ \forall\ x , \forall\ ga , \, [\ ( x \in A ) \wedge ( y\in B ) \ ] \Rightarrow [\ ( x , y ) \in P \ ] \,</math> </center>

Si sa i cunsidera i para e i prudüit cartesià cuma una nuzziú  primitiva, sa arà cuma assioma chesta prupietaa d'esistenza e d'ünicitaa. Sa la demustra in teuría di cungjuunt, par la representazziú  di [[para (matemàtega)#I para in teuría di cungjuunt|para]] scernida. 

=== Esempi ===

Si ''A'' al è  ul cungjuunt { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } e  B ul cungjuunt { piche, cöör, quàdar, fiuur }, alura ul prudüit cartesià di chiist düü cungjuunt al è  ul cungjuunt à 52 elemeent sigütaant : 
:{ (A, piche), (R, piche), ... (2, piche), (A, cöör), ... (3, fiuur), (2, fiuur) }.

=== Prupietaa ===

* Par definizziú , ul prudüit cartesià d'un cungjuunt pal cungjuunt vöj al è  iguaal al cungjuunt vöj :
: <center> <math> \forall\ A ,\ \emptyset \times A = A \times \emptyset = \emptyset \,</math> </center>

* In régula generala, ''B'' x ''A'' ≠ ''A'' x ''B''. Plüü precisameent : 
<center> <math> \forall\ A , \forall\ B ,\ [\ A \times B \  B \times A \ ] \Leftrightarrow [\ ( A \  B ) \wedge ( A \  \emptyset ) \wedge ( B \  \emptyset ) \ ] \,</math> </center>

Remarca : ''A'' x ''A'' al è  nutaa ''A''<sup>2</sup> (lesí « A al quadraa ») e cjamaa '''quadraa cartesià '' da ''A'' :
: <center> <math> A^2 = \{ ( x,y ) | ( x \in A ) \wedge ( y\in A ) \} </math> </center>

''A''<sup>2</sup> al  gh’a da mia vess cunfundu cun Δ''A'' (lesí « delta A »), '''diagunala''' da ''A'' :
: <center> <math> \Delta A = \{ ( x, x ) |  x \in A  \} </math> </center>

Remarca : La diagunala d'un cungjuunt sa la cunfuunt cun ul sò quadraa cartesià si e noma si cheest cungjuunt al è  vöj u sa al  redüiss à un singletú.

* I sübcungjuunt d'un prudüit cartesià i è cjamaa ''[[graaf]]''.

=== Representazziú  in teuría di cungjuunt ===
L'esistenza da chiist cungjuunt la  sigüta da chela da <math>\ _\mathfrak P </math> [ <math>\ _\mathfrak P </math> ( ''A'' <math>\  _{ \cup } </math> ''B'' ) ]   ( indúe <math>\ _\mathfrak P </math> ( ''E'' ) al designa ul ''[[Sübcungjuunt#Cungjuunt da le parte|cungjuunt da le parte]]'' da ''E'' ).
L'ünicitaa da ''P''   par ''A'' e ''B'' daa a l’è garantida par l' ''[[Assioma d'estensiunalitaa]]''.
Cheest cungjuunt al è  nutaa « ''A'' x ''B'' » (lesí « A cruus B ») e al è  cjamaa '''prudüit cartesià'' da ''A'' par ''B'' :
: <center> <math> A \times B = \left \{ (a, b) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \right \} </math> </center>

== Generaalizazziú  à plüü da düü cungjuunt ==

=== Triplett ===

Cuma paj para, l'impurtaant, al è la suva ''prupietaa fundamentala'' : düü triplett i è iguaj si e noma si le suve prime cumpusante i è iguale intra da luur, pöj le suve segunde cumposante, e infí le suve terze :

: <center> <math> \forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,] </math> </center>

Da tüta manera, chesta prupietaa   la süfiss mia à definí la nuzziú  da triplet, plüü da definizziú incumpatíbil intra da luur i è pussíbile ''a priori''. Sa al ponn abitüalameent : 
: <center> <math> \forall a , \forall b ,  \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c ) </math> </center>

=== Prudüit cartesià da trii cungjuunt ===

Al è  definii par :
: <center> <math> A \times B \times C = \left \{ ( a, b, c ) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \wedge ( c \in C ) \right \} </math> </center>
Dapress vargot ch’al preceet, ''A'' x ''B'' x ''C'' = ( ''A'' x ''B'' ) x ''C''.
Là apò l'úrden di tèrmen al è  impurtaant.
Ul prudüit ''A'' x ''A'' x ''A'' al è  cjamaa '''cübi cartesià '' da ''A'' e al è  nutaa ''A''<sup>3</sup> (lesí « A al cübi ») :
: <center> <math> A^{3} = \{ ( x,y , z) | ( x \in A ) \wedge ( y\in A ) \wedge ( z \in A ) \} </math> </center>

I prudüit cartesià i è staa desvilüpaa par la prima völta par [[René Descarte]] íntal cunteest da la  [[geumetría analítica]].
Si <math>\ _\mathbb R </math> al designa ul cungjuunt da töcc i [[nümar reaal]], alura   <math>\ _\mathbb R </math><sup>2</sup>   =   <math>\ _\mathbb R </math>  x <math>\ _\mathbb R </math>   al representa ul [[Plà euclidià]] e   <math>\ _\mathbb R </math><sup>3</sup>   =   <math>\ _\mathbb R </math> x <math>\ _\mathbb R </math> x <math>\ _\mathbb R </math>   representa ul [[spazzi euclidià]] tri-dimensiunaal.

=== Mültiplett ===

Le definizziú precedenta sa la generaliza par recürenza :
*Prupietaa fundamentala d'un mültiplet d'úrden ''n'', u '''''n''-uplet''' :
:<math> \forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots , \forall a_{n} , \forall b_{1} , \forall b_{2} , \cdots , \forall b_{n} , </math>
: <center> <math> [\, ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n} ) = ( b_{1} , b_{2} , \cdots b_{n} ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_{1} = b_{1} ) \wedge ( a_{2} = b_{2} ) \wedge \cdots ( a_{n} = b_{n} ) \,] </math> </center>
*Definizziú  d'un '''''n''-uplet''' :
: <center> <math> \forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots \forall a_{n} , ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} , a_{n} ) = ( ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} ) , a_{n} ) </math> </center>
*'''prudüit cartesià '' da ''n'' cungjuunt :
: <center> <math> A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} \times A_{n} = ( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} ) \times A_{n} </math> </center>
*'''Pudenza cartesiana dij '''n''' d'un cungjuunt :
: <center> <math> A^{n} = A^{n-1} \times A = \prod_{i=1}^n A = \{ ( x_1 , x_2 , \cdots x_n ) | \,\forall i , x_i \in A \,\} </math> </center>

Nota : sa i pöö definí di prudüit cartesià infinii (vidé chí-da-sota), però pal fá, a gh'emm büsögn da la nuzziú  da funziú .

== Suma dis&midot;gjunta  ==

Int una [[Uperazziú cungjuntista#Reüniú|reüniú]] da cungjuunt <math>A\cup B            </math>, l'urígen di elemeent ga figüraant a l'è  perdüda. Un mezz d'évitá  chesta pèrdita d'infurmazziú a l’è da réuní mia esatameent i cungjuunt da partenza, però da le copie da chiist cungjuunt da la furma  { α } × ''A''  e  { β } × ''B'' , indúe « α » e « β » i è düü símbuj qual-sa-vöör distiint ch'i serviss à identificá  i cungjuunt ''A'' e ''B'', par esempi « Ø » e « { Ø } » , u « 0 » e « 1 ».
  
L' '''üniú dis&midot;gjunta''', apò cjamada '''suma dis&midot;gjunta''' u '''suma cartesiana''' da düü cungjuunt a l'è  inscí definida par :
: <center> <math> \forall A , \forall B , A + B = A \dot \cup B = \dot \cup ( A , B ) = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B ) </math> </center>

La [[nutazziú a prefiss]] « <math>\ _{ \dot \cup } </math> ( ''A'' , ''B'' ) » la met in evidenza che la suma dis&midot;gjunta da düü cungjuunt la  verifica la prupietaa fundamentala di para. Da plüü, cuntrariameent aj para, la nuzziú la  pöö s'aplicá  a le [[Classa (matemàtega)|classe propie]]. Al è par che le sume dis&midot;gjunte i è da le völte cjamade ''para generalizaa''. Plüü precisament, si sa al rencuntra un para da che l'öna da le cumpusante a l’è una classa propia, al sa trata da chesta representazziú: ul para al è  vidüü cuma una suma dis&midot;gjunta.

La suma dis&midot;gjunta la pöö sa generalizá  à plüü da düü cungjuunt. Par esempi, par trii cungjuunt qual-sa-vöör <math> A , B ,  C </math> :
: <center> <math> A\dot \cup  B \dot \cup  C  = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B ) \cup ( \{ 2 \} \times C ) </math> </center>
Sa  recjama che  l'intreegh la  2 pöö sa definí cuma {Ø,{ Ø }}, e plüü generalament, si l'intreegh  ''n'' al è  definii, l'intreegh  ''n+1'' al è  definii par <math> n+1=n \cup {n}</math>(intreegh da von Neumann).

Sa pöö dunca definí inscí la suma dis&midot;gjunta da n cungjuunt  <math> A_0, A_1, A_2 , \cdots A_{n-1}</math> qual-sa-vöör :

: <center> <math>  A_0 \dot\cup A_2 \dot\cup\cdots\dot\cup A_{n-1} = \bigcup_{i=0}^{n-1} \{i\}\times A_i</math> </center>
* 
Cheest chí al permett da generalizá  vargot ch’al preceet : si sa rencuntra un ''n''-uplet da che öna da le cumpusante a l’è una classa propia, sa al trata d'una reüniú da ''n'' ''[[Classa (matemàtega)|classe]]'' (cungjuunt u mia). D’otra banda chesta definizziú  da la suma dis&midot;gjunta la dröva i  intreegh da la teuría di cungjuunt, mia chij dal meta-lenguagg. Sa pöö dunca da l’istessa manera generalizá  chesta nuzziú  à di cungjuunt qual-sa-vöör (mia necessariameent finii) par l'indessameent , par esempi di reüniú dis&midot;gjunte cüntàbile .

== Prudüit infinii ==

Sa generaliza la nuzziú  da prudüit cartesià à chela da prudüit d'una famèja da cungjuunt indessada par una cungjuunt qual-sa-vöör, finii u infinii. Malgraa plüü generala, chesta nuzziú  la   pöö vess intrudüida   natüralameent in teuría di cungjuunt prima da chela da prudüit cartesià binari, par che la  dröva la nuzziú  da ''funziú '', che, in teuría di cungjuunt, al è  un cungjuunt da para igaant da le
bune prupietaa. Una funziú  da ''A'' in ''B'' al è  dunca un sübcungjuunt dal prudüit cartesià ''A'' × ''B''. 

=== Famèja da cungjuunt ===

Una '''famèja da cungjuunt indessada par <math>I_n</math> a l’è una funziú  definida sü ''I''. Al sa trata gjüüst d'una nutazziú  (adatada à un vargü üüs) par una custrüzziú  cugnussüda.

* Una famèja indexada par ''I'' al è  nutada (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub>. Al sentüü da la teuría di cungjuunt, la famèja (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> al è  dunca ul cungjuunt di para (i,A<sub>i</sub>), paj ∈ I.

* La reüniú d'una famèja <math>{A_i}_{i\in I}            </math>
nutada <math>\bigcup_{i\in I}A_i</math>, la  designa bé la reüniú di ''imàgen'' da la famèja, e mia chele di elemeent da la famèja, che, al sentüü strecc, i è di para.

=== Prudüit cartesià d'una famèja da cungjuunt ===

Sa al pöö adess definí ul prudüit cartesià d'una famèja da cungjuunt <math>{A_i}_{i\in I}            </math>; sa trata dal cungjuunt di funziú <math>f</math> da <math>I</math> in <math>\bigcup_{i\in I}A_i</math> tale che, par tütt <math>i\in I</math>, <math>f(i)\in A_i</math> :
:<math>\prod_{i \in I} A_i = \{ f : I \to\bigcup_{i \in I} A_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in A_i)\},</math>

Par druvá  chesta definizziú , al cuventa pudé  trá fö d'un elemeent dal prudüit la suva cumpusanta d'índes ''j'', elemeent da ''I''.
Sa la  definiss par tütt ''j'' in ''I'', la funziú , cjamada prujezziú d'úrden ''j'',
:<math>  \pi_{j} : \prod_{i \in I} A_i \to A_{j},</math>
par :
:<math>  \pi_{j}(f) = f(j)\,</math>.

Sa al  pöö enunziá  l'[[assioma da la scèrnida]] inscí : ''ul prudüit d'una famèja da cungjuunt mia vöja al è  mia vöj''.

== Vidée apó ==

*[[Matemàtega]] -- [[teuría di cungjuunt]]
*[[Cungjuunt|Nuzziú da cungjuunt]]
*[[Sübcungjuunt]]
*[[Uperazziú cuj cungjuunt]]
*[[Curespundenza e relazziú ]]

[[Category:Teuría di cungjuunt]]


[[ar:جداء ديكارتي]]
[[lmo:Cungjuunt prudüit]]