Revision 740510 of "Nümar cumpless" on lmowiki

{{matemàtiques}}
{{KOMAT}}

In [[matemàtica]], i '''nümar cumpless''' i è una estensiú natürala di [[nümar reaal|nümar reaj]], parüü al [[XVI sécul]] cuma intermediari da càlcül par resòolf di equazziú dal teerz degrée da che sa i cugnesseva di sulüzziú, però par le quale l’applicazziú da le [[fórmüle da Cardan]] la faseva appel a da le ariis a quadraa negatiif.

Una cunseguenza imediadameent visíbila al è:
* cura ca sa i pöö definí, íntal còorp di ''reaj'', da le [[relazziú d'úrden|relazziú d’úrden]] cumpatíbil cun l’addizziú e la mültiplicazziú , vargott al è mia pussíbil íntal còorp di cumpless.

Geumetricameent, cada nümar cumpless al pöö vess representaa cuma un puunt int un plà, cjamaa ul [[plà cumpless]]. Ul cungjuunt di nümar reaj al pöö vess representaa par una reta dal plà cumpless. 

I nümar cumpless i gh’a da ricch prupietaa algebraiche e analítiche. Ul [[teurema fundamentaal da l'àlgebra]] al stabiliss che cada [[pulinomi]] mia custant al amett tante ariis cumplesse che ul sò degrée. Ul stüdi da le funziú derivàbile in sentüü cumpless, i funziú [[funziun ulumorfa|ulumorfe]], al è una branca da la matemàtica cjamada [[anàlisi cumplessa]].

I nümar cumpless i è staa « inventaa » al [[XVI sécul]] par i matemàtich [[Jérôme Cardan]], [[Rafaël Bombelli]] e [[Tartaglia]] cuma intermediari da càlcül par truvá da le sulüzziú a le equazziú pulinomiale dal teerz degrée. Al sembraress ch'al síes staa [[Erun d'Alexandria]] a inventá ul nümar ''impussíbil''. L'aspett geumétrich di nümar cumpless ne se desvilüpa che a partí dal [[XIXe sécul]], pal abaa Buée e [[Jean-Robert Argand]] (plà d'Argand), pöö in ségüit par [[Gauss]] e [[Cauchy]].

== Aprocc vülgarisaa di nümar cumpless ==

I nümar cumpless, cuma cada cuncett matemàtich, i custitüiss cuntempuraniameent una teuría e un utiil putenziaal. Par i físich, par esempi, i nümar cumpless i custitüiss suratütt un medi fisc còmud da simplifiá i nutazziú : sa manípüla düü valuur distiint cun noma un, una rutazziú s’espressa par una sémplis mültiplicazziú , evi. Al fisc difícil da stüdiá la relativitaa generala u la mecànica quàntega senza recurí aj nümar e espressiú cumpless.

Al è da tüta manera ütil da i vidé otrameent che cuma una bueta negra (íntal sentüü da [[Norbert Wiener]]) còmuda.
In efett, i presenta un aspett dobi :
* da par la suva nutazziú e la facilitaa da manipülazziú , i i è semblàbil aj nümar « clàssich » (intreegh, reaj…) ;
* da par la suva generazziú , i representa nagott da cucrett, e i è una püra astrazziú .

In chesta paart sa l pruponn un aprocc maanch riguruus, però se liaant a di cuncettt mej tratàbil, parcureent ul camí indicaa par [[Albert Jacquard]] [1].

=== x e i ===

Cura che sa manípüla i ''x'' d’una equazziú , d'una inequazziú u d'un sistema d’(in)equazziú, sa manípüla una lètera cha la representa un nümar reaal incògnit.
Da le völte, sa riva a la cunclüsiú che un nümar satisfaseent le equazziú cunsiderade al esiist mia.Cjapemm un esempi sémplis, ch’al na servirà da fiil condutuur :
<math>x^2+1=0</math> ; sa a dunca manipülaa un ugett mia esisteent, « imaginari ».
Sa l’a sumaa, mültiplicaa… malgraa al esístes mia ''int i nümar reaj''. Sa a dunca parlaa d'un ''nümar imaginari''.

Cheest nümar imaginari al era censii, íntal nòost esempi, vess l’una da le dò sulüzziú (sa al verífega che, si a gh’è n è vüna, apó la suva uposta a l’è una sulüzziú) d’una equazziú priva sa ariis reale:
:''x''<sup>2</sup> + 1 = 0 (1)
Demm un nomm a una sulüzziú , pal mumeent imaginari : sa la cjama ''i'' par « imaginari ».(Storicameent, i al è l’inizziala da la parola « impussíbil » e mia «imaginari»)

Adess, int i càlcüj di algébriist sü la resulüzziú da l’equazziú dal teerz degrée ( Teurema da Cardan ), cheest nümar s’elímina da le völte a la fí: al parisseva mia íntal resültaa finaal ; al era noma staa un intermediari da càlcül, un « [[catalisaduur]] », un ''x'' manipülaa cuma d’òolt. Da tüta manera, in d'òolt cas, al ’’’resta’’’: : sa i utegn alura da le espressiú custrüide a partí da ''i'' par da le addizziú, da le mültiplicazziú cun di nümar reaj, inscí che da le ariis, quadrade u cübiche. Vargott fá da cheste espressiú, mia di nümar reaj, però d’otra manera sémpar da le sulüzziú, de le equazziú cunsiderade ?
Forsi i cunsiderá cuma di nuvej nümar, mia reaj, imaginari, però d'un ceert puunt da vista apó vàlit che i nümar reaj. 

Cheest chí al sembra sügerí da renunziá a una relazziú sémplis cun la realtaa :
* un [[nümar intreegh]] al pöö representá di ugett distiint (di [[gnífar]], di [[tumatt]]),
* un [[nümar reaal]] al pöö representá i dimensiú d’un ugett (par esempi la diagunala d’un quadraa),
* ul nümar ''i'' al representa mia vargüna quantitaa física «&nbsp;sémplis&nbsp;» (Sa l pöö vidé cha’l representa una rutazziú da ¼ da giir in sentüü antiurari).

Però ul prubleem sa l presentava gjanmò cuj nümar intreegh negatiiif u frazziúnari : sa pöö mia « mangjá -2 [[gnífar]] » ni « scavá un demi-büüs ». In d’otre parole, difereent tiip da nümar sa i aplica bé u maa al muunt di difereent tiip da prubleem ch’a desiremm tratá. A Cheest nomm, ''i'' al è da fatt ni plüü ni maanch ''imaginari'' (al sentüü cureent dal tèrmen, chesta völta-chí) che -2, 1/2 u ariis da 2.

Ul fatt che sa pöda mia sucjá aj nümar cumpless da le intuizziú cuncrete inscí evidente cuma paj intreegh naturaj u paj reaj al è mia destürbaant par la teuría matematica, malgraa vargott àbies pusaa, fa un bell puu da sécul, di prubleem cuncetüaal aj matemàtich.
In efett, al al è tütt-a-fatt pussíbil da definí rigurusameent le uperazziú cuj nümar cumpless in funziú da le uperazziú cuj nümar reaj, senza fá referenza a vargüna intuizziú .

Nutemm da tüta manera che i nümar cumpless i gh’a una ütilizazziú in geumetría plana: inscí sa pöö ga sucjá di cuncettt geumétrich cuma chel da [[puunt (geumetría)|puunt]] u da [[vetuur]] dal plà, u amò i similitüde direte (le transfurmazziú geumétriche cunservaant i ànguj, però ch’i pöö mudificá le distanze d’un ceert fatuur, e conservaant l’urientazziú da le figüre)..

=== Nümar e vetuur ===

In taant che nümar imaginari, ''i'' al parteen mia a <math>\mathbb{R}</math>. Sa saa sumá, e mültiplicá di nümar reaj, però al gh’è ''a priori'' mia da sentüü a efetüá di càlcüj faseent intervegní la ''i''. Da tüta manera, int i prucess da resulüzziú da le equazziú dal teerz degrée, da taj càlcüj i pariss. Al cuventa dunca pruvá da ga dá un sentüü a da le uperazziú tale che <math>a \cdot i</math> e <math>a + i \; (a \in \mathbb{R})</math>.
Al esiist gjanmò un dumini in che sa i efètüa da tale uperazziú « eterugénie» : i [[vetuur]].
Al sembra dunca resunàbil , par cumpreent le manipülazziú algebraiche (i càlcüj) faseent intervení ''i'', da pruvá da al representá cuma un vetuur.
Sa plazzemm int un plà [[geumetría veturiala|geumétrich]] münii d’un repère, l’ass urizuntaal al è <math>\mathbb{R}</math> münii d'un vetuur che sa nòmina <math>\vec {1}</math>, l’ass verticaal al è münii d'un vetuur che sa nòmina <math>\vec {i}</math>. Sa al cjama cheest plà ul ''plà cumpless''. I càlcüj clàssich sü cheest vetuur <math>\vec {1}</math> e <math>\vec {i}</math> i curespuunt aj càlcüj faseent intervegní i nümar reaj e ul nümar imaginari ''i''. Ul plà cumpless al sarà dunca un '''mudell geumétrich''' par representá i nümar reaj e imaginari, '''e''' i uperazziú intra da luur.

Afí da simplifiá la comprensiú, da bé separá i cuncett, nous druvemm chesta nutazziú mia standard, ch’a la permett da distinguí i nümar (reaj u imaginaris) da la suva representazziú geumétrica cun l'aída dal vetuur :
* ul vetuur <math> \vec 1</math> al serviss da representazziú geumétrica pal nümar reaal 1
* ul vetuur <math> \vec i</math> al serviss da representazziú geumétrica pal nümar imaginari ''i''
gja che un reaal qual-sa-vöör ''a'' al è iguaal a ''a'' · 1, a representaremm la mültiplicazziú intra nümar reaj par la mültiplicazziú d’un vetuur par un scalaar ; inscí, ul nümar reaal ''a'' al sarà representaa pal vetuur <math>a \cdot \vec {1}</math>.

Inscí, l’espressiú ''a''&nbsp;+&nbsp;''b · i'' la sarà representada pal vetuur <math>a \cdot \vec {1} + b \cdot \vec {i}</math>, ch’al pöö d’otra manera sa scriif cuma una matriis culona
:<math>a \cdot \vec {1} + b \cdot \vec {i} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>

[[Archivi:plan complexe vectoriel.png|Représentation du plan complexe avec les notations non standard introduites]]<br />
<small>''Représentation du plan complexe avec les notations non standard introduites''</small>

A pudemm dunca cunsiderá un vetuur qual-sa-vöör <math>\vec {u} = a \cdot \vec {1} + b \cdot \vec {i}</math> da cheest plà, e stüdiá le söve prupietaa, saveent che al gh’a da ubedí a certe règule gja che al representa una espressiú int una equazziú .

Par semplificá la scritüra, si ''a'' al è un reaal, sa permetaremm da al scriif <math>\vec {a}</math> plütòost che <math>a \cdot \vec {1}</math> (sa pöö inscí scriif <math>\vec {5}</math>).

=== Mültiplicazziú imaginària ===

L’addizziú di reaj la curespuunt parfetameent a l’addizziú veturiala

Par la mültiplicazziú, al cuntrari, a semm cunfruntaa a una ambigüitaa par rapòort aj vetuur geumétrich clàssich : ul scalaar al è sí istess un vetuur.
Inscí, l’espressiú classica ''a'' · ''b'' (''a'' e ''b'' reaj) pöö se tradüí cuntempuraniameent par <math>a \cdot (b \cdot \vec {1})</math>, par <math>b \cdot (a \cdot \vec {1})</math>, par <math>(a \cdot b) \cdot \vec {1}</math>,
dunca par <math>a \cdot \vec {b}</math> e par <math>b \cdot \vec {a}</math>…
Sa veet che ''a'' e ''b'' i gh’a un röö simétrich, e che sa la gh’a da fatt… una uperazziú intra düü vetuur, un « prodüit » da vetuur che però:
* al è mia un prodüit scalaar gja che ul resültaa al è un vetuur;
* al è mia un prodüit veturiaal gja che ul resültaa al è íntal plà.

A emm dunca inventá una nuvela uperazziú , ul « prodüit imaginari », nutaa ×.
Cuma tüte le uperazziú süj vetuur, sa trata da fatt d’una custrüzziú geumétrica: a scumenzemm par stüdiá la trasfurmazziú di vetuur da la basa par pudé l’esteent a tütt ul plà.

Sa a dunca :
* <math>\vec {1} \times \vec {1} = \vec {1}</math>
* <math>\vec {1} \times \vec {i} = \vec {i}</math>
* <math>\vec {i} \times \vec {i} = -1 \cdot \vec {1}</math> dapress l’igualtaa (1) vidüda al paràgraf (x²+1=0)
Sa veet che íntal plà, mültipliá par <math>\vec {1}</math> al vöör dí a nagott cambiá, e mültipliá par <math>\vec {i}</math> al vöör dí a fá una rutazziú d’un quaart da girada íntal sentüü pusitiif.
Chesta mültiplicazziú al è dunca, intra otre, una rutazziú .

[[Archivi:complexes multiplication imaginaire base.png|Multiplication imaginaire des vecteurs de la base]]<br />
<small>''Multiplication imaginaire des vecteurs de la base''</small>


Si adess sa cunsidera <math>\vec {a} \times \vec {b}</math>, ch’al è iguaal a <math>\overrightarrow{a \cdot b}</math> gja che (''a'' · ''b'') al è sí istess un reaal, sa veet ch’a l’è una [[umutetía]], una dilatazziú ; <math>\vec {b}</math> al è dilataa d’una quantitaa <math>||\vec {a}||</math>.

In fatt, sa veet che si sa l töö un vetuur <math>\vec {u}</math> qual-sa-vöör dal plà, si á al è l’àngul che al fa cun l’ass di reaj, alura la mültiplicazziú imaginària d’un òolt vetuur <math>\vec {v}</math> par <math>\vec {u}</math>
al vöör dí a fá
* una rutazziú d’àngul á ;
* una dilatazziú da <math>||\vec {u}||,</math>
c’al è -a-dí una ''similitüde dide'' (una transformazziú geumétrich ch’al conserve i ànguj e l’onagotttazziú ).

[[Archivi:multiplication complexes.png|construction graphique de la multiplication imaginaire]]<br />
<small>''Construction graphique de la multiplication imaginaire''</small>


Sa da inscí un sentüü a una scritüra da tiip
:<math>(a_1 \cdot \vec {1} + a_2 \cdot \vec {i}) \times (b_1 \cdot \vec {1} + b_2 \cdot \vec {i})</math>
ch’a l’è la traduzziú da l’espressiú
:(''a''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub> · ''i'')·(''b''<sub>1</sub> + ''b''<sub>2</sub> · ''i'').

== Axiomatisazziú ==

=== Par di para ===

Sa definiss un nümar cumpless cuma un para da nümar reaj (''a'',''b''), i legg da cumpusizziú interne i è i seguente :
* L’addizziú : <math>(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) \,</math>
* La mültiplicazziú : <math>(a,b)(c,d) = (ac - bd,ad + bc) \,</math>
Sa demustra che ul cungjuunt <math>\mathbb{C}</math> münii da cheste düü legg al è un còorp cumütatiif e un <math>\mathbb{R}</math>-spazzi veturiaal. Da plüü, ul sübcungjuunt di (''a'',0) al è isumòrfich a <math>\mathbb{R}</math>. Sa pöö inscí scriif (''a'',''b'')= ''a'' + ''b'' × ''i''.

=== Par i pulinomi ===

Ul còorp di nümar cumpless al è isumòrfich al quozzieent da ul cungjuunt di [[pulinomi]] da <math>\mathbb{R}</math>, nutaa <math>\mathbb{R}[X]</math>, par la [[relazziú d'equivalenza]] <math>\Re</math> definida cuma al sigüta :
* par düü pulinomi ''P'' e ''Q'', ''P'' al è in relazziú <math>\Re</math> cun ''Q'' si ul resídü da la [[divisiú euclidéa]] da ''P'' e da ''Q'' par ''X''² + 1 al è l’istess;
* töcc i pulinomi ch’i è in la relazziú <math>\Re</math> cun ''P'' i è di apartegní a la [[classa d'equivalenza]] da ''P''.

Sa l nota cheest quozzieent inscí :
: <math>\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)</math>.
Al è da fatt un quozzieent d’un tiip plüü generaal, d’un [[anell (matemàtica)|anell]] [[anell euclidien|euclidien]] [[anell principal|principal]] (<math>\mathbb{R}[X]</math>) par ü di söö [[ideaal|ideaj]] (l’ideaal generaa par ''X''² + 1). Al sa trata d’una custruzziú clàssica par definí da le estensiú algebraiche&nbsp;: chí sa a cjapaa <math>\mathbb{R}</math>, sa a cunsideraa ul pulinomi ''X''² + 1 e sa a custrüii l’estensiú da cheest còorp par i ariis dal pulinomi.

Ul nümar ''i'' al è la classa d'equivalenza da ''X''.


=== Par i matriiss 2*2 ===

Si sa cunsidera ul cungjuunt da le matriis da la furma 

<math>
\left(
  \begin{matrix}
    a  & b \\
    -b & a \\
   \end{matrix}
\right)
</math>

indúe a e b i è di nümar reaj , sa pöö vérifiá fàcilmeent che cheest cungjuunt s'identífega a <math>\mathbb{C}</math> pal murfiism ch’al a una tala matriis al socja <math>a+ib</math>

== Furma cartesiana ==
Sa pöö vidé i nümar '''cumpless''' cuma i ugett da la furma <math>a + bi</math>, cun <math>a</math> e <math>b</math> düü [[nümar reaal|nümar reaj]], e le régule da càlcül seguente :
:* <math>(a + bi) + (a' + b'i) = (a + a') + (b + b')i \,</math>
:* <math>(a + bi)  (a' + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i \,</math>
Infí, si <math>a</math> u <math>b</math> al è mia nüll, sa veet che <math>\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i \,</math> al è l’inveers da <math>a + bi \,</math>.

La fórmüla da l’inveers la fa parí düü nümar interessaant :
:* <math>a - bi \,</math> al è cjamaa ul '''[[cungjügaa]]''' da <math>a + bi \,</math> ;
:* <math>\sqrt{a^2 + b^2} \,</math> al è cjamaa ul '''[[mòdül d'un nümar cumpless|mòdül]]''' da <math>a + bi \,</math> : al è la distanza dal puunt (a,b) a l’urígen (0,0) ;
e chesta fórmüla da l’inveers (ch’a la dumanda di ipòtesi sül nümar cumpless) la ven dunca da la fórmüla plüü generala :
:<math>(a + bi)  (a - bi) = a^2 + b^2 \,</math>

In particülaar, cheest símbul <math>i \,</math> al verífega l’igualtaa a prima vista pròpe strana:
<math>i^2 = -1 \,</math>.

In l’espressiú <math>a + bi \,</math>, sa cjama <math>a</math> la '''partida reala''', nutada Re(z), e <math>b</math> la '''partida imaginària''', nutada Im(z). Un nümar cumpless al è dii '''[[Nümar reaal|reaal]]''' si e noma si la suva partida imaginària al è nüla, e '''[[Nümar imaginari|imaginari püür]]''' si e noma si la suva partida reala al è nüla.

Sa cjama ''cumpless cungjügaa da z'', ul nümar <math>z'</math> taal che par <math>z = (a, b) \,</math>, <math>z' = (a, -b) \,</math>. Sa l nota generalameent par la lètera ''z'' surmontada d’un tirett urizuntaal (scrivüü <math>\bar z</math> e lesüü « z bara »).


=== Furma algebràica ===
Cura che i nümar cumpless i è scrivüü sota la furma <math>z = (a, b) = a + ib \,</math>, sa parla da furma ''algebràica''. I nümar ''a'' e ''b'' i è di reaj, e ul símbul ''i'' al è taal che <math>i = (0, 1) \,</math>, u <math>i^2 = -1 \,</math>.

Ul cungjügaa da <math>z = a + ib\,\!</math> al è <math>\bar z = a - ib</math>.

In física, in particülaar in eletricitaa, sa nota da le völte ''j'' in lööch da ''i''.

=== Furme trigunumétrica e espunenziala ===

Par un nümar cumpless mia nüll ''z'' da partida reala ''a'' e da partida imaginària ''b'', al esiist un reaal stregjameent pusitiif ''r'' e di reaj <math>\theta \,</math> taj che <math>a = r\cos\theta \,</math> e <math>b = r\sin\theta \,</math>. I reaj <math>\theta \,</math> difereent i ügn di òolt d’un mültipel intreegh da <math>2\pi \,</math>, i è cjamaa [[Argümeent d'un nümar cumpless|arügmeent]] da ''z''. Sa a <math>z = a + ib = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} \,</math>. La nutazziú <math>z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \,</math> al è cjamada ''furma trigunumétrica'' dal nümar ''z'', e la nutazziú <math>z = re^{i\theta} \,</math> al è cjamada ''furma espunenziala’’ dal nümar ''z''.

L'àngul <math>\theta \,</math> al è taal che <math>\tan\theta=\Im(z)/\Re(z)</math>, e cheest qual sa síes l'espressiú da z . Chesta nozziú al è impurtanta íntal trazzaa dal Diagrama da Fresnel in eletrònica gja che , a partí da <math>\tan\theta</math> sa la pöö calcülá la fasa in funziú da la frequenza , in vista dal Diagrama da Bode ( Fasa ) .

Quant a |Z|, u vadaagn in funziú da la frequenza, , sa trazza dunca ul Diagrama da Bode ( Vadaagn ) . Sa càlcüla apó ul vadaagn in décibel taal che G ( db ) = -20 log(|z|) e sa trazza G ( db ) in funziú da la frequenza . 

In cheste düü furme, <math>r</math> al è ul [[mòdül d'un nümar cumpless|mòdül]] da ''z'', <math>\theta</math> al è un [[Argümeent d'un nümar cumpless|argümeent]] da ''z''.
Sa pöö alura notá ul [[cungjügaa]] dal nümar ''z'' sota cheste düü furme: <math>\bar z = re^{-i\theta} \,</math> (furma espunenziala) e <math>\bar z = r(\cos\theta - i\sin\theta) \,</math>. Da tüta manera, chesta darera nutazziú a l’è ''mia'' una nutazziú sota furma trigunumétrica : la furma trigunumétrica dal cungjügaa al è <math>\bar z = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) \,</math>.

'''Remarche''' : vidé apó i [[Fórmüla d'Euler|fórmüle d’Euler]] e da [[Fórmüla da Moivre|Moivre]]

== Röö in matemàtica ==

=== Ariis da pulinomi, clôture algebràica ===
Cada [[pulinomi]] a cueficeent cumpless (dunca, in particülaar, cada pulinomi a cueficeent [[nümar intreegh|intreegh]] u [[nümar razziunaal|razziunaj]]), mia custant, al amett almaanch una ariis (d’indúe sa l dedüiss che al en amett tante che ul sò degrée, cüntaant le mültiplicitaa). Sa diis che ul còorp di cumpless al è '''algebraicameent saraa'''.

In fatt, ul còorp di cumpless al è la [[clôture algebràica]] dal còorp di reaj, i.e. ul plüü petit còorp ch’al cuntegna ul còorp di reaj e ch’al síes algebraicameent saraa.

Cheest resültaa al è cugnussüü in [[Francja]] sota ul nomm da teurema da d’Alembert-Goss, in d’òolt paees sota ul nomm da teurema fundamentaal da l’àlgebra.
 
=== Anàlisi cumplessa ===
:''Artícul principaal&nbsp;: [[Anàlisi cumplessa]].''
I nümar cumpless i è staa inizzialameent cucepii par respuunt a un prublema algebràich. Da tüta manera, i gh’a da riche prupietaa analítiche.
Al è pussíbil da generalizá aj nümar cumpless la definizziú usuala da la derivada&nbsp;: <math>lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math> (cun mültiplicazziú resta cumplesse). Da tüta manera, la prupiétaa da derivabalitaa süj cumpless la gh’a da cunseguenze fisc plüü impurtante che la süj reaj. Ul stüdi da le funziú cumplesse d’un nümar cumpless, derivàbile in sentüü cumpless, numenade apó ''[[funziú ulumorfa|funziú ulumorfe]]'', al è dunca fisc ricch.

In l’istessa manera che sa la definiss una derivada, sa pöö definí di nuzziú da primitiva e d’integrala cumplesse. Ul [[teurema di resídü]] al stabiliss che l’intégrala d’una funziú ulumorfa luungh un camí saraa la depeent noma da le singülaritaa da chesta funziú a l’interiuur da cheest camí, e dal nümar da girade che cheest camí al fa intuurn da chele.

=== Autumurfiism dal còorp di cumpless ===

L'identitaa e la cungjügazziú i è di autumurfiism dal còorp di cumpless. In fatt, cheest i è i ünich autumurfiism cuntínü (sa pöö remplazzá l'ipòtesi <<cuntínü>> par, a scèrnida, <<mesüràbil >> u <<taal che l'imàgen da tütt i reaal al è un reaal>>). Süpusant l'[[assioma da la scèrnida]] sa pöö custrüí di autumurfiism <<esòtich>> da cheest còorp: vidé [[autumurfiism s da còorp mia cuntínü da C]].

== In física e ingegnería ==

=== Representazziú di fenòmen périodich e anàlisi da Fourier ===
In ségüit, la furma trigunumétrica l’a permetüü da simplificá la mudelizazziú e la scritüra da nümeruus fenòmen, par esempi i fenòmen undulatori (in particülaar a prupòsit da le [[eletrumagnetiism|onde eletromagnétiche]], u in [[eletrònica]] e plüü precisameent íntal dumini da l'anàlisi eletrònica di circüit cunteneent di selfs u bubine, nutade L , di capacitaa, nutade C e di resistenze, nutade R.( Esempi R+jLw u R-j/Cw e w=2ðF , chí , cheest i è di esempi respetivameent ( R,L ) e ( R,C ) in SÉRIA e cul schéma in SÉRIA : R*R + ( jLw -j/Cw )*( jLw-j/Cw ) = Z*Z d'indúe Z = SQR( R*R +( jLw-j/Cw )*( jLw-j/Cw)) e cun tangeent da l'àngul = ( Lw-1/Cw)/R ).
Íntal dumini da l'eletrònica , ul ’’’i’’’ representaant l'imaginari in Matemàtica , deventa j par i Físich e sa pöö trazzá alura ul diagrama da Fresnel e , cheest , quala sa síes l'espressiú .

In efett, prenemm un paràmetar qual-sa-vöör, ''A''(''t''), ch’al depeent dal teemp da manera sinüsuidala. Cheest chí al signífega che la valuur da ''A'' vària intra ''a'' e -''a'', cun sémpar la istessa períuda, disemm, u<sub>1</sub>, e che sa la pöö scriif ''A'' = ''a''.cos(u<sub>1</sub>''t''). Si sa mültiplica la vala suvada ''A'' par la valuur ''B''(''t''), un paràmetar da la istessa furma, però da períuda diferenta u<sub>2</sub>,a utegnemm :

<div align=chestenter>
<math>C=a\cos(\omega_1 t) . b\cos(\omega_2 t) \,</math>
</div>

cheest ch’al al è fisc carí, però mia fàcil a manipülá… però in scritüra espunenziala, a utegnemm :

<div align=chestenter>
<math>C' = (ab)e^{i(\omega_1+\omega_2)t} = cheest^{i\omega_3t} \,</math>
</div>

cheest ch’al al è fisc plüü sémplis a manipülá… Però ''C''′, al è mia ul prodüit da ''A'' par ''B'' ! Al è la partida reala da ''C''′! Implicitameent, a emm trasfurmaa ''A'' e ''B'' in cumpless, e i emm manipülaa (chí, mültipliaa). In cul töö la partida reala da ''C''′, nous turnemm indrée íntal còorp di reaj. I cumpless i gh’a alura ''nissüna'' réaltaa física. 

In fatt, s’emm servii dal fatt che <math>\mathbb{C}</math> al cunteegn<math>\mathbb{R}</math> par simplificá le scritüre. In efett, si sa gh’a da scriif che un paràmetar al vaar ''r'' cos(e), al cuventa düü reaj, ''r'' e e. Però cun di cumpless, al è assée UN nümar, vargott ch’al al è fisc plüü sémplis.

In [[eletrumagnetiism]] sémpar, però int un cunteest difereent, sa pöö scriif ul caamp eletromagnétich cuma una cumbinazziú cumplessa dal caamp elétrich e dal caamp magnétich. Püür artifiis da càlcül, sa pöö sucjá l’un u l’òolt da chiist caamp a la partida « imaginària » dal caamp cumpless utegnüü : cheest chí semplífica grandameent i uperazziú. 

Sa dröva igualameent i cumpless par la [[Séria da Fourier|anàlisi da Fourier]], fisc ütilizada in da nümeruus dumini, cuma ul tratameent dal signal.

=== Mecànica di flüit íntal plà ===
In [[mecànica di flüit]] sa fa parí di putenziaj e di velucitaa cumpless. In efett, par un
flüss 
a dò dimensiú, sa pöö descumponn la velucitaa dal flüit in ''v<sub>x</sub>'' e ''v<sub>i</sub>''. Adess, sa l mustra che :

<div align=chestenter>
<math>V_x = \frac{\partial\phi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial i}</math>
<br />
<math>V_i = \frac{\partial\phi}{\partial i} = \frac{\partial\psi}{\partial x}</math>
</div>

Satisfá a cheste cundizziú (condizziú da [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]-[[Bernhard Riemann|Riemann]]) al equivaar a dí che al esiist una funziú analítica tala che
<div align=chestenter>
<math>f(z) = \phi + i \psi \,</math> indúe <math>z=x+ii \,</math>
</div>
Chest-chí al permett amò da scriif :

<div align=chestenter>
<math>\frac{df}{dz}=\frac{\partial\phi}{\partial x} + i \frac{\partial\psi}{\partial x} = V_x -i V_i \,</math> 
</div>

Sa cjama ''f''(''z'') ul ''putenziaal cumpless'', e la suva derivada par rapport a ''z'', la ''velucitaa cumplessa''. Grazzia a chesta funziú , sa utegn ul mòdül da la velucitaa, e la suva direzziú (in cul töö la furma trigonométrica). Suratütt, sa pöö mudelizá sémplismeent un 
flüss 
intuurn d’un ustàcul, d’una manera sémplis e cumpata. La funziú la ø gh’a da vess custanta luungh ul profil da cheest ustàcul, vargott ch’al permett una resulüzziú sémplis da ''f'', grazzia a di resültaat sémplis d’anàlisi cumplessa. 

=== Mecànica quàntega ===
De le otre simplificazziú par físich : la [[mecànica quàntega]] necèssita i nümar cumpless. I funziú d’onde quànteghe i è inscí tüte cumpless (vidé [[Pustülaa da la mecànica quàntega]]). In cheest cas, da tüta manera , al è pussíbil (in acordi a di teuríe mia quànteghe) che cheest chí al curespuunt a la strütüra reala da l’univeers : mia plüü a 4 dimensiú (spazzi-teemp), però da 5 e plüü - in cheste teuríe fí a 11 – a la scala quàntega (petita). Malgraa la nosta percezziú (adatada a la scala plüü granda), la dimensiú ''imaginària'' la pudaress dunca bé curespuunt apó a una « realtaa física&nbsp;» e mia representá noma una cumuditaa da scritüra.




[[Categuria:Nümar|Cumpless]]

<!--interwiki-->

[[af:Komplekse getal]]
[[am:የአቅጣጫ ቁጥር]]
[[an:Numero complexo]]
[[ar:عدد مركب]]
[[as:জটিল সংখ্যা]]
[[az:Kompleks ədədlər]]
[[bat-smg:Kuompleksėnis skaitlios]]
[[be:Камплексны лік]]
[[be-x-old:Камплексны лік]]
[[bg:Комплексно число]]
[[bn:জটিল সংখ্যা]]
[[bs:Kompleksan broj]]
[[ca:Nombre complex]]
[[cs:Komplexní číslo]]
[[cy:Rhif cymhlyg]]
[[da:Komplekse tal]]
[[de:Komplexe Zahl]]
[[el:Μιγαδικός αριθμός]]
[[eml:Nómmer cumplês]]
[[en:Complex number]]
[[eo:Kompleksa nombro]]
[[es:Número complejo]]
[[et:Kompleksarv]]
[[eu:Zenbaki konplexu]]
[[fa:عدد مختلط]]
[[fi:Kompleksiluku]]
[[fiu-vro:Kompleksarv]]
[[fo:Fløkjutal]]
[[fr:Nombre complexe]]
[[fy:Kompleks getal]]
[[ga:Uimhir choimpléascach]]
[[gan:複數]]
[[gl:Número complexo]]
[[he:מספר מרוכב]]
[[hi:समिश्र संख्या]]
[[hr:Kompleksni broj]]
[[hu:Komplex számok]]
[[id:Bilangan kompleks]]
[[is:Tvinntölur]]
[[it:Numero complesso]]
[[ja:複素数]]
[[jbo:relcimdyna'u]]
[[ka:კომპლექსური რიცხვი]]
[[kk:Комплекс сан]]
[[km:ចំនួនកុំផ្លិច]]
[[ko:복소수]]
[[la:Numerus complexus]]
[[lo:ຈຳນວນສົນ]]
[[lt:Kompleksinis skaičius]]
[[lv:Komplekss skaitlis]]
[[mg:Isa haro]]
[[mk:Комплексен број]]
[[ml:മിശ്രസംഖ്യ]]
[[ms:Nombor kompleks]]
[[my:ကွန်ပလက်စ်ကိန်း]]
[[nl:Complex getal]]
[[nn:Komplekse tal]]
[[no:Komplekst tall]]
[[oc:Nombre complèxe]]
[[os:Комплексон нымæц]]
[[pl:Liczby zespolone]]
[[pms:Nùmer compless]]
[[pnb:کمپلیکس نمبر]]
[[pt:Número complexo]]
[[ro:Număr complex]]
[[ru:Комплексное число]]
[[rue:Комплексне чісло]]
[[sah:Комплекс ахсаан]]
[[scn:Nùmmuru cumplessu]]
[[sh:Kompleksan broj]]
[[si:සංකීර්ණ සංඛ්‍යා]]
[[simple:Complex number]]
[[sk:Komplexné číslo]]
[[sl:Kompleksno število]]
[[sq:Numrat kompleksë]]
[[sr:Комплексан број]]
[[sv:Komplexa tal]]
[[ta:சிக்கலெண்]]
[[te:సంకీర్ణ సంఖ్యలు]]
[[th:จำนวนเชิงซ้อน]]
[[tl:Masalimuot na bilang]]
[[tr:Karmaşık sayı]]
[[tt:Комплекс сан]]
[[uk:Комплексне число]]
[[ur:مختلط عدد]]
[[vi:Số phức]]
[[vls:Complexe getalln]]
[[war:Complex number]]
[[xal:Комплексин тойг]]
[[yi:קאמפלעקסע צאל]]
[[yo:Nọ́mbà tóṣòro]]
[[zh:复数 (数学)]]
[[zh-classical:複數]]
[[zh-min-nan:Ho̍k-cha̍p-sò͘]]
[[zh-yue:複數]]