Difference between revisions 2275697 and 2293600 on mswiki

[[Fail:EpitrochoidOn1.gif|right|thumb|240px|Sebuah kardoid dijalankan oleh sebuah bulat bergulung.]]
[[Fail:CardioidsLabeled.PNG|300px|thumb|right|Empat graf kardioid berorientasi pada empat [[arahan kardinal]], dengan persamaan polar tertentu mereka.]]
Dalam [[geometri]], sebuah '''kardioid''' adalah [[lengkung]] dikesankan oleh suatu sudut di hujung sebuah roda bulat yang bergolek di keliling sebuah roda ditetapkan pada saiz yang sama. Keputusan lengkung lebih kurangnya berbentuk [[Jantung (tanda)|jantung]]<ref> [http://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html Weisstein, Eric W. "Heart Curve." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref>, with a [[Cusp (singularity)|cusp]] at the place where the point touches the fixed wheel.

Kardioid adalah sebuah [[Rolet (lengkung)|rolet]], dan dapat dilihatkan sama ada di sebuah [[episikloid]] dengan satu cusp atau sebagai suatu anggota keluarga [[limaçon]]. Ia juga sejenis [[pilin sinusoidal]], dan adalah [[lengkung terbalik]] pada sebuah [[parabola]]<ref>[http://mathworld.wolfram.com/InverseCurve.html Weisstein, Eric W. "Inverse Curve." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InverseCurve.html ]</ref> dengan fokusnya sebagai pusat terbalik<ref>[http://mathworld.wolfram.com/ParabolaInverseCurve.html Weisstein, Eric W. "Parabola Inverse Curve." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ParabolaInverseCurve.html ]</ref>.

== Nama ==
Namanya datang dari [[bentuk]] [[jantung]] pada lengkung (bahasa Greek ''kardioeides'' = ''kardia'':jantung + ''eidos'':bentuk). Dibandingkan dengan [[Jantung (tanda)|tanda jantung]] (♥), walaupun, sebuah kardioid sahaja mempunyai satu sudut tajam (atau [[Cusp (keunikan)|cusp]]). Ia sebaliknya berbentuk lebih seperti garisan bentuk bahagian lintas [[buah plum]].

== Persamaan ==
Berasaskan penjelasan bulat bergulung, kardioid diberikan dengan [[persamaan parameter]] berikutnya:

:<math> x(t) = 2r \left( \cos t - {1 \over 2} \cos 2 t \right), \,</math>

:<math> y(t) = 2r \left( \sin t - {1 \over 2} \sin 2 t \right). \,</math>

Di sini ''r'' adalah jejari bulatan yang menjanakan lengkung, dan bulatan ditetapkan berpusat di tempat asalnya. Cuspnya
berada di (''r'',0).

Kadang-kadang persamaan parameter untuk kardioid dikarang seperti yang berikut:

:<math> x(t) = 2r \cos t \, (1 - \cos t),\,</math>

:<math> y(t) = 2r \sin t \, (1 - \cos t).\,</math>

Ini memberikan lengkung yang sama seperti yand diberikan di atas, berpindah ke kiri unit ''r'', oleh itu
cusp berada di tempat asalnya.

Dalam [[koordinate polar]], persamaan untuk kordioid ini dapat dituliskan

:<math> \rho(\theta) = 2r(1 - \cos \theta). \, </math>

Untunk suatu bukti, lihat [[kebuktian kardioid]].

Dalam [[Koordinate Cartesian]], persamaan untuk kardioid ini adalah

:<math> \left(x^2+y^2+2rx\right)^2 \,=\, 4r^2\left(x^2 + y^2\right).\,</math>

== Luas ==
Luas sebuah kardioid dengan persamaan polar
:<math> \rho (\theta) = 2r(1 - \cos \theta) \,</math>
is
:<math> A = 6 \pi r^2\,</math>.

Untuk suatu bukti, lihat [[kebuktian kardioid]].

== Panjang lengkok ==
[[Panjang lengkok]] sebuah kardioid dapat dikirakan secara tepat. Untuk kardioid dengan persamaan polar
:<math> \rho (\theta) = 2r(1 - \cos \theta) \,</math>
jumlah panjangnya ialah
:<math> L = 4 \pi r.\,</math>.

== Lengkung terbalik ==
[[Fail:Inverse Curves Parabola Cardioid.svg|right|thumb|200px|Kardioid hijau diperolehi oleh [[Geometri terbalik|memterbalikkan]] [[parabola]] merah di sepanjang [[bulatan]] meluncur.]]
Kardioid adalah satu [[lengkung terbalik]] kemingkinan untuk sebuah [[parabola]]. Khususnya, jika sebuah parabola ialah [[geometri terbalik|diterbalikkan]] di sepanjang mana-mana [[bulatan]] yang pusatnya terletak di fokus parabola, keputusannya adalah sebuah kardioid. Cusp keputusannya kardioid akan diletakkan di pusat bulatan, dan berkorespon dengan [[sudut melenyap]] parabola.

Dari segi [[unjuran stereograf]], ini berkata bahawa sebuah parabola di [[datar Euclidean]] adalah unjuran sebuah kardioid dilukis pada [[sfere]] yang cuspnya terletak di kutub utara.

Tidak tiap lengkung terbalik sebuah parabola adalah sebuah kardioid. Contohnya, jika sebuah parabola diterbalikkan di sepanjang sebuah bulatan yang pusatnya terletak di verteks parabola, oleh itu keputusannya adalah sebuah [[kissoid Diocles]].

Gambar di kanan menunjukkan parabola dengan persamaan polar
:<math>\rho(\theta) \,=\, \frac{1}{1 - \cos \theta}.\,</math>
In [[Cartesian coordinates]], this is the parabola <math>y^2 = 2x+1</math>. Apabila parabola ini diterbalikkan di sepanjang [[bulatan unit]], keputusannya adalah sebuah kardioid dengan persamaan [[Songsang pendaraban|kesalingan]]
:<math>\rho(\theta) \,=\, 1 - \cos \theta.\,</math>



[[Fail:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|thumb|right|200px|Bal tengah [[muatan Mandelbrot]] adalah sebuah kardioid.]]

== Kardioid dalam analisis kompleks ==
Dalam [[analisis kompleks]], [[imej (matematik)|imej]] mana-mana bulatan melalui tempat asalnya di bawah peta <math>z\to z^2</math> adalah sebuah kardioid. Satu penggunaan keputusan ini adalah bahawa sempadan bal tengah [[muatan Mandelbrot]] adalah sebuah kardioid diberikan oleh persamaan
:<math> c \,=\, \frac{1 - \left(e^{it}-1\right)^2}{4}.\,</math>

Muatan Mandelbrot mengandungi suatu nombor tidak terhad pada salinan yang agak diputarbalikkan sendiri dan bal tengah pada mana-mana salinan lebih kecil ini adalah sebuah kardioid anggaran.

[[Fail:Caustique.jpg|thumb|right|200px|[[Kaustik (optik)|Kaustik]] bermuncul di permukaan cawan ini adalah sebuah kardioid.]]

== Kaustik ==
Sesetengah [[Kaustik (matematik)|kaustik]] dapat mengambil bentuk kardioid. Katakaustik bulatan dengan tertentunya pada sebuah sudut di lilitan adalah sebuah kardioid. Juga, katacaustik sebuah kon dengan tertentunya pada sinaran selari dengan sebuah garisan berjana adalah suatu permukaan yang bahagian lintasnya adalah sebuah kardioid. Ini dapat dilihatkan, seperti di fotograf di kanan, dalam sebuah cawan kon separuh diisi dengan cecair apabila suatu cahaya bersinar dari suatu jarak dan di suatu penjuru sama dengan penjuru kon.<ref>[http://www.mathcurve.com/surfaces/caustic/caustic.shtml "Surface Caustique" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables]</ref> Bentuk di lengkung di bawah cawan silinder mengambil bentuk sebuah [[nefroid]], yang melihat agak mirip.

== Lihat pula ==

* [[Tangkai Wittgenstein]]
* [[mikrofon]] - untuk suatu perbincangan mikrofon kardioid
* [[Loop antenna]]
* [[Pencari arahan radio]]
* [[Pencarian arahan radio]]
* [[Antenna Yagi]]

== Bibliografi ==

* {{cite book | author = Wells D | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 24–25}}
= Rujukan =

<references/>
== Pautan luar ==
{{Kategori Commons|Kardioid}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Cardioid.html "Cardioid" at The MacTutor History of Mathematics archive]
* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/Cardi.shtml Hearty Munching on Cardioids] at [[cut-the-knot]]
* Xah Lee, ''[http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Cardioid_dir/cardioid.html Cardioid]'' (1998) ''(This site provides a number of alternative constructions)''.
* Jan Wassenaar, ''[http://www.2dcurves.com/roulette/rouletteca.html Cardioid]'', (2005) 
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/cardioid/cardioid.shtml Cardioid ] at [http://www.mathcurve.com/ mathcurve.com]

[[Kategori:Lengkung]]

[[af:Kardioïed]]
[[ar:منحنى قلبي]]
[[bg:Кардиоида]]
[[ca:Cardioide]]
[[de:Kardioide]]
[[en:Cardioid]]
[[es:Cardioide]]
[[eo:Kardioido]]
[[eu:Kardioide]]⏎
[[fr:Cardioïde]]
[[ko:심장형]]
[[io:Kardioido]]
[[it:Cardioide]]
[[he:קרדיואידה]]
[[lmo:Cardiòit]]
[[ml:ഹൃദയാഭം]]
[[nl:Cardioïde]]
[[ja:カージオイド]]
[[nn:Kardioide]]
[[pms:Cardiòida]]
[[pl:Kardioida]]
[[pt:Cardioide]]
[[ro:Cardioidă]]
[[ru:Кардиоида]]
[[sl:Srčnica]]
[[fi:Kardioidi]]
[[ta:இதயவளை]]
[[tr:Kardiyoit]]
[[uk:Кардіоїда]]
[[zh:心脏线]]