Difference between revisions 3680372 and 3684369 on mswiki

{{pelbagai isu|{{cleanup|reason=memerlukan penterjemahan segera kerana sudah ditinggalkan sejak tahun 2008|date=Ogos 2014}}{{Terjemah|en|fabonacci number|date=Ogos 2014}}}}
{{proses|BukanTeamBiasa}}
[[Image:FibonacciBlocks.svg|thumb|180px|right|Suatu ubinan dengan segi empat yang tepinya adalah bilangan Fibonaci berturut-turut pada panjangnya]]
(contracted; show full)rkenalkan urutannya ke matematik Eropah Barat, walaupun urutannya telah terdahulu dijelaskan pada [[matematik India]].<ref>Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28-30, 1986. ISSN 0047-6269]</ref><ref>Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.</ref>

Nombor urutan pertama adalah 0, nombor kedua adalah 1, dan setiap nombor s
ubsequenteterusnya bersamaan dengan jumlah dua nombor yang terdahulu pada urutannya sendiri. Dalam istilah matematik, ia ditakrifkan dengan [[recurrence relationhubungan jadi semula]] yang berikut:

:<math>
  F_n =  
  \begin{cases}
    0               & \mbox{if } n = 0; \\
    1               & \mbox{if } n = 1; \\
    F_{n-1}+F_{n-2} & \mbox{if } n > 1. \\
   \end{cases}
 </math>

Iaitu, selepas dua nilai bermula, setiap nombowr adalah jumlah dua nombor yang terdahulu. Bilangan Fibonacci pertama  {{OEIS|id=A000045}}, juga ditandakan sebagai ''F<sub>n</sub>'', untuk ''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2, … ,20 adalah:<ref> Mengikut konvensyen moden, urutannya bermula dengan ''F''<sub>0</sub>=0. ''Liber Abaci'' memulakan urutan dengan ''F''<sub>1</sub> = 1, meninggalkan permulaan(contracted; show full)'F''<sub>''n''−1</sub>&nbsp;+&nbsp;''F''<sub>''n''−2</sub> untuk ''semua'' integer ''n'', dan ''F<sub>−n</sub>'' = (−1)<sup>''n''+1</sup>''F''<sub>''n''</sub>:

.., &minus;8, 5, &minus;3, 2, &minus;1, 1, diikuti oleh urutan di atas.

==
Origins==
Builangan Fibonacci pertama kali muncul, di bawah nama ''mātrāmeru'' (gunung [[cadence]]), dalam karya [[Sanskrit grammarians|Sanskrit grammarian]] [[Pingala]] (''Chandah-shāstra'', the Art of Prosody, [[450 BC|450]] or [[200 BC]]).  [[Prosody (linguistics)|Prosody]] adalah penting dalam upacara India silam oleh kerana suatu emfasis pada keaslian utterance. [[Ahli matematik Indian matematik]] [[Virahanka]] (abad ke-6 M) menunjukkan urutan Fibonacci berpunca pada analisis [[Meter Veda|meter]] dengan silabel panjang dan pendek. Berikutnya itu, ahli falsafah [[Jain]] [[Hemachandra]] (sekitar [[1150]]) mendirikan suatu teks diketahui benar pada ini. Suatu komen pada karya Virahanka oleh [[Gopala (ahli matematik)|Gopāla]] pada abad ke-12 juga melawat semula masalah itu dalam sesetengah perincian.

Sanskrit vowel sounds can be long (L) or short (S), and Virahanka's analysis, which came to be known as ''mātrā-vṛtta'', wishes to compute how many metres (''mātrā''s) of a given overall length can be composed of these syllables. If the long syllable is twice as long as the short, the solutions are:
: 1 [[mora (linguistics)|mora]]:  S (1 corak)
: 2 morae:  SS; L (2) 
: 3 morae:  SSS, SL; LS (3)
: 4 morae:  SSSS, SSL, SLS; LSS, LL (5)
: 5 morae:  SSSSS, SSSL, SSLS, SLSS, SLL; LSSS, LSL, LLS  (8)
: 6 morae:  SSSSSS, SSSSL, SSSLS, SSLSS, SLSSS, LSSSS, SSLL, SLSL, SLLS, LSSL, LSLS, LLSS, LLL  (13)
: 7 morae:  SSSSSSS, SSSSSL, SSSSLS, SSSLSS, SSLSSS, SLSSSS, LSSSSS, SSSLL, SSLSL, SLSSL, LSSSL, SSLLS, SLSLS, LSSLS, SLLSS, LSLSS, LLSSS, SLLL, LSLL, LLSL, LLLS  (21)

A pattern of length ''n'' can be formed by adding S to a pattern of length ''n''&nbsp;−&nbsp;1, or L to a pattern of length ''n''&nbsp;−&nbsp;2; and the prosodicists showed that the number of patterns of length ''n'' is the sum of the two previous numbers in the sequence.  [[Donald Knuth]] reviews this work in ''[[The Art of Computer Programming]]'' <!-- see (Vol.&nbsp;1, &sect;1.2.8: Fibonacci Numbers)--> as equivalent formulations of the [[bin packing problem]] for items of lengths 1 and 2.

In the West, the sequence was first studied by Leonardo of Pisa, known as [[Fibonacci]], in his [[Liber Abaci]] ([[1202]])<ref>{{cite book | title = Fibonacci's Liber Abaci | author = Sigler, Laurence E. (trans.) | publisher = Springer-Verlag | year = 2002 | id = ISBN 0-387-95419-8}} Chapter II.12, pp. 404–405.</ref>.  He considers the growth of an idealised (biologically unrealistic) rabbit population, assuming that:
* In the "zeroth" month, there is one pair of rabbits (additional pairs of rabbits&nbsp;=&nbsp;0)
* In the first month, the first pair begets another pair (additional pairs of rabbits&nbsp;=&nbsp;1)
* In the second month, both pairs of rabbits have another pair, and the first pair dies (additional pairs of rabbits&nbsp;=&nbsp;1)
* In the third month, the second pair and the new two pairs have a total of three new pairs, and the older second pair dies. (additional pairs of rabbits&nbsp;=&nbsp;2)

The laws of this are that each pair of rabbits has 2 pairs in its lifetime, and dies.

Let the population at month ''n'' be ''F''(''n'').  At this time, only rabbits who were alive at month ''n''&nbsp;−&nbsp;2 are fertile and produce offspring, so ''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;2) pairs are added to the current population of ''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;1).  Thus the total is Asal Usul == 
Bilangan Fibonacci pertama kali muncul, di bawah nama ''mātrāmeru'' (gunung [[cadence]]), dalam karya [[Sanskrit grammarians|Sanskrit grammarian]] [[Pingala]] (''Chandah-shāstra'', Seni Prosodi, [[450 BC|450]] or [[200 BC]]).  [[Prosody (linguistics)|Prosody]] adalah penting dalam upacara India silam oleh kerana suatu emfasis pada keaslian utterance. [[Ahli matematik Indian matematik]] [[Virahanka]] (abad ke-6 M) menunjukkan urutan Fibonacci berpunca pada analisis [[Meter Veda|meter]] dengan silabel panjang dan pendek. Berikutnya itu, ahli falsafah [[Jain]] [[Hemachandra]] (sekitar [[1150]]) mendirikan suatu teks diketahui benar pada ini. Suatu komen pada karya Virahanka oleh [[Gopala (ahli matematik)|Gopāla]] pada abad ke-12 juga melawat semula masalah itu dalam sesetengah perincian.

Bunyi vokal Sanskrit boleh menjadi panjang (L) atau pendek (S), dan analisis Virahanka, yang kemudian dikenali sebagai ''mātrā-vṛtta'', ingin mengira berapa meter (''mātrā''s) bagi panjang keseluruhan yang boleh terdiri daripada suku kata ini. Jika suku kata panjang adalah dua kali lebih panjang berbanding yang pendek, penyelesaian ialah:
: 1 [[mora (linguistik)|mora]]:  S (1 corak)
: 2 morae:  SS; L (2) 
: 3 morae:  SSS, SL; LS (3)
: 4 morae:  SSSS, SSL, SLS; LSS, LL (5)
: 5 morae:  SSSSS, SSSL, SSLS, SLSS, SLL; LSSS, LSL, LLS  (8)
: 6 morae:  SSSSSS, SSSSL, SSSLS, SSLSS, SLSSS, LSSSS, SSLL, SLSL, SLLS, LSSL, LSLS, LLSS, LLL  (13)
: 7 morae:  SSSSSSS, SSSSSL, SSSSLS, SSSLSS, SSLSSS, SLSSSS, LSSSSS, SSSLL, SSLSL, SLSSL, LSSSL, SSLLS, SLSLS, LSSLS, SLLSS, LSLSS, LLSSS, SLLL, LSLL, LLSL, LLLS  (21)

Satu corak panjang ''n'' boleh dibentuk dengan menambah S kepada corak panjang ''n''&nbsp;−&nbsp;1, atau L kepada corak panjang ''n''&nbsp;−&nbsp;2; dan pakar prosodi menunjukkan bahawa bilangan corak panjang ''n'' adalah jumlah dua nombor sebelumnya dalam urutan.  [[Donald Knuth]] menyemak kerja ini dalam ''[[The Art of Computer Programming]]'' <!-- see (Vol.&nbsp;1, &sect;1.2.8: Fibonacci Numbers)--> sebagai rumusan bersamaan [[masalah bin packing]] item dengan panjang 1 dan 2.

Di Barat, urutan itu mula-mula dikaji oleh Leonardo dari Pisa, dikenali sebagai [[Fibonacci]], di dalam bukunya [[Liber Abaci]] ([[1202]])<ref>{{cite book | title = Fibonacci's Liber Abaci | author = Sigler, Laurence E. (trans.) | publisher = Springer-Verlag | year = 2002 | id = ISBN 0-387-95419-8}} Chapter II.12, pp. 404–405.</ref>.  Dia menganggap pertumbuhan unggul  populasi arnab (secara biologinya tidak realistik), dengan anggapan bahawa:
* Dalam bulan "sifar", ada sepasang arnab (pasangan tambahan arnab&nbsp;=&nbsp;0)
* Dalam bulan pertama, pasangan pertama beranak sepasang lagi (pasangan tambahan arnab&nbsp;=&nbsp;1)
* Dalam bulan kedua, kedua-dua pasang arnab mempunyai sepasang lagi, dan pasangan yang pertama mati (pasangan tambahan arnab&nbsp;=&nbsp;1)
* Dalam bulan ketiga, pasangan kedua dan kedua-dua pasangan baru mempunyai sejumlah tiga pasangan baru, dan pasangan kedua tua mati. (pasangan tambahan arnab&nbsp;=&nbsp;2)

Hukum ini adalah bahawa setiap pasangan arnab mempunyai 2 pasang dalam hidupnya, dan mati.

Biarkan populasi pada bulan ''n'' menjadi ''F''(''n''). Pada masa ini, hanya arnab yang masih hidup pada bulan ''n''&nbsp;−&nbsp;2 adalah subur dan melahirkan anak, jadi ''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;2) pasangan ditambah kepada populasi semasa ''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;1). Oleh itu, jumlah ''F''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;1)&nbsp;+&nbsp;''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;2).<ref>{{cite web
  | last = Knott
  | first = Ron
  | title = Fibonacci's Rabbits
  | url=http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits
  | publisher =[[University of Surrey]] School of Electronics and Physical Sciences}}</ref>

==Relation to the [[Golden Ratio]] Kaitannya dengan [[Nisbah Emas]] ==
===Closed form expression===
Like every sequence defined by linear [[Recurrence relation|recurrence]], the Fibonacci numbers have a  [[closed-form expression|closed-form solution]]. It has become known as [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]]'s formula, even though it was already known by [[Abraham de Moivre]]:
(contracted; show full)
*[http://web.archive.org/web/20070715032716/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=630&bodyId=1002 Fibonacci Numbers] at [http://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]
* [http://www.tools4noobs.com/online_tools/fibonacci/ Online Fibonacci calculator]

[[Kategori:Fibonacci numbers|*]]
[[Kategori:Articles containing proofs]]

<!-- interwiki -->