Difference between revisions 4454972 and 4454973 on mswiki

{{pelbagai isu|{{cleanup|reason=memerlukan penterjemahan segera kerana sudah ditinggalkan sejak tahun 2008|date=Ogos 2014}}{{Terjemah|en|fabonacci number|date=Ogos 2014}}}}
{{proses|BukanTeamBiasa}}
[[Image:FibonacciBlocks.svg|thumb|180px|right|Suatu ubinan dengan segi empat yang tepinya adalah nombor Fibonaci berturut-turut pada panjangnya]]
[[Image:Yupana 1.png|thumb|180px|right|Sebuah '''yupana''' ([[Quechua]] untuk "alat pengiraan") adalah sebuah kalkulator yang digunakan oleh [[Incas]]. Pengaji menganggapkan bahawa pengiraan adalah berasaskan nombor Fibonacci untuk mengurangkan bilangan biji yang diperlukan tiap sawah.<ref>http://www.quipus.it/english/Andean%20Calculators.pdf</ref>]]
[[Image:Fibonacci spiral 34.svg|right|thumb|180px|Sebuah [[Nombor Fibonacci|Lingkaran Fibonacci]] dicipta dengan melukis lengkung menyambungkan sudut berlawan segi empat dalam ubinan Fibonacci; yang ini menggunakan segi empat-segi empat pada saiz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 dan  34; see [[Golden spiral]]]]
Dalam [[matematik]], '''nombor Fibonacci''' adalah suatu [[langkah]] nombor dinamakan sempena [[Leonardo of Pisa]], digelar sebagai Fibonacci. Buku 1202 ''[[Liber Abaci]]'' Fibonacci memperkenalkan urutannya ke matematik Eropah Barat, walaupun urutannya telah terdahulu dijelaskan pada [[matematik India]].<ref>Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28-30, 1986. ISSN 0047-6269]</ref><ref>Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.</ref>

Nombor urutan pertama adalah 0, nombor kedua adalah 1, dan setiap nombor seterusnya bersamaan dengan jumlah dua nombor yang terdahulu pada urutannya sendiri. Dalam istilah matematik, ia ditakrifkan dengan [[hubungan jadi semula]] yang berikut:

:<math>
  F_n =  
  \begin{cases}
    0               & \mbox{if } n = 0; \\
    1               & \mbox{if } n = 1; \\
    F_{n-1}+F_{n-2} & \mbox{if } n > 1. \\
   \end{cases}
 </math>

Iaitu, selepas dua nilai bermula, setiap nombor adalah jumlah dua nombor yang terdahulu. Nombor Fibonacci pertama  {{OEIS|id=A000045}}, juga ditandakan sebagai ''F<sub>n</sub>'', untuk ''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2, … ,20 adalah:<ref> Mengikut konvensyen moden, urutannya bermula dengan ''F''<sub>0</sub>=0. ''Liber Abaci'' memulakan urutan dengan ''F''<sub>1</sub> = 1, meninggalkan permulaan 0, dan urutannya masih ditulis secara ini oleh sesetengah.</ref><ref>The website [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html] has the first 300 F<sub>''n''</sub> factored into primes and links to more extensive tables.</ref>
:{| class="wikitable"
|-
| ''F''<sub>0</sub>
| ''F''<sub>1</sub>
| ''F''<sub>2</sub>
| ''F''<sub>3</sub>
| ''F''<sub>4</sub>
| ''F''<sub>5</sub>
| ''F''<sub>6</sub>
| ''F''<sub>7</sub>
| ''F''<sub>8</sub>
| ''F''<sub>9</sub>
| ''F''<sub>10</sub>
| ''F''<sub>11</sub>
| ''F''<sub>12</sub>
| ''F''<sub>13</sub>
| ''F''<sub>14</sub>
| ''F''<sub>15</sub>
| ''F''<sub>16</sub>
| ''F''<sub>17</sub>
| ''F''<sub>18</sub>
| ''F''<sub>19</sub>
| ''F''<sub>20</sub>
|-
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
| 89
| 144
| 233
| 377
| 610
| 987
| 1597
| 2584
| 4181
| 6765
|}

Setiap nombor ke-3 urutan adalah sama rata dan lebih umumnya, setiap nombor ke-''k'' pada urutan adalah suatu perdaraban ''F<sub>k</sub>''.

Urutannya extendedlanjut ke indeks negatif ''n'' memuaskan ''F<sub>n</sub>'' = ''F''<sub>''n''−1</sub>&nbsp;+&nbsp;''F''<sub>''n''−2</sub> untuk ''semua'' integer ''n'', dan ''F<sub>−n</sub>'' = (−1)<sup>''n''+1</sup>''F''<sub>''n''</sub>:

.., &minus;8, 5, &minus;3, 2, &minus;1, 1, diikuti oleh urutan di atas.

== Asal Usul == 
Nombor Fibonacci pertama kali muncul, di bawah nama ''mātrāmeru'' (gunung [[irama]]), dalam karya [[ahli tatabahasa]] [[Pingala]] (''Chandah-shāstra'', Seni Prosodi, [[450 BC|450]] or [[200 BC]]).  [[Prosody (linguistics)|Prosody]] adalah penting dalam upacara India silam oleh kerana suatu emfasis pada keaslian utterance. [[Ahli matematik Indian matematik]] [[Virahanka]] (abad ke-6 M) menunjukkan urutan Fibonacci berpunca pada analisis [[Meter Veda|meter]] dengan silabel panjang dan pendek. Berikutnya itu, ahli falsafah [[Jain]] [[Hemachandra]] (sekitar [[1150]]) mendirikan suatu teks diketahui benar pada ini. Suatu komen pada karya Virahanka oleh [[Gopala (ahli matematik)|Gopāla]] pada abad ke-12 juga melawat semula masalah itu dalam sesetengah perincian.

Bunyi vokal Sanskrit boleh menjadi panjang (L) atau pendek (S), dan analisis Virahanka, yang kemudian dikenali sebagai ''mātrā-vṛtta'', ingin mengira berapa meter (''mātrā'') bagi panjang keseluruhan yang boleh terdiri daripada silabel  ini. Jika silabel  panjang adalah dua kali lebih panjang berbanding yang pendek, penyelesaian ialah:
: 1 [[mora (linguistik)|mora]]:  S (1 corak)
: 2 morae:  SS; L (2) 
: 3 morae:  SSS, SL; LS (3)
: 4 morae:  SSSS, SSL, SLS; LSS, LL (5)
: 5 morae:  SSSSS, SSSL, SSLS, SLSS, SLL; LSSS, LSL, LLS  (8)
: 6 morae:  SSSSSS, SSSSL, SSSLS, SSLSS, SLSSS, LSSSS, SSLL, SLSL, SLLS, LSSL, LSLS, LLSS, LLL  (13)
: 7 morae:  SSSSSSS, SSSSSL, SSSSLS, SSSLSS, SSLSSS, SLSSSS, LSSSSS, SSSLL, SSLSL, SLSSL, LSSSL, SSLLS, SLSLS, LSSLS, SLLSS, LSLSS, LLSSS, SLLL, LSLL, LLSL, LLLS  (21)

Satu corak panjang ''n'' boleh dibentuk dengan menambah S kepada corak panjang ''n''&nbsp;−&nbsp;1, atau L kepada corak panjang ''n''&nbsp;−&nbsp;2; dan pakar prosodi menunjukkan bahawa bilangan corak panjang ''n'' adalah jumlah dua nombor sebelumnya dalam urutan.  [[Donald Knuth]] menyemak kerja ini dalam  ''[[The Art of Computer Programming|Art of Computer Programming]]'' <!-- see (Vol.&nbsp;1, &sect;1.2.8: Fibonacci Numbers)--> sebagai rumusan bersamaan [[masalah bin packing]] item dengan panjang 1 dan 2.

Di Barat, urutan itu mula-mula dikaji oleh Leonardo dari Pisa, dikenali sebagai [[Fibonacci]], di dalam bukunya [[Liber Abaci]] ([[1202]])<ref>{{cite book | title = Fibonacci's Liber Abaci | author = Sigler, Laurence E. (trans.) | publisher = Springer-Verlag | year = 2002 | id = ISBN 0-387-95419-8}} Chapter II.12, pp. 404–405.</ref>.  Dia menganggap pertumbuhan unggul  populasi arnab (secara biologinya tidak realistik), dengan anggapan bahawa:
* Dalam bulan "sifar", ada sepasang arnab (pasangan tambahan arnab&nbsp;=&nbsp;0)
* Dalam bulan pertama, pasangan pertama beranak sepasang lagi (pasangan tambahan arnab&nbsp;=&nbsp;1)
* Dalam bulan kedua, kedua-dua pasang arnab mempunyai sepasang lagi, dan pasangan yang pertama mati (pasangan tambahan arnab&nbsp;=&nbsp;1)
* Dalam bulan ketiga, pasangan kedua dan kedua-dua pasangan baru mempunyai sejumlah tiga pasangan baru, dan pasangan kedua tua mati. (pasangan tambahan arnab&nbsp;=&nbsp;2)

Hukum ini adalah bahawa setiap pasangan arnab mempunyai 2 pasang dalam hidupnya, dan mati.

Biarkan populasi pada bulan ''n'' menjadi ''F''(''n''). Pada masa ini, hanya arnab yang masih hidup pada bulan ''n''&nbsp;−&nbsp;2 adalah subur dan melahirkan anak, jadi ''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;2) pasangan ditambah kepada populasi semasa ''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;1). Oleh itu, jumlah ''F''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;1)&nbsp;+&nbsp;''F''(''n''&nbsp;−&nbsp;2).<ref>{{cite web
  | last = Knott
  | first = Ron
  | title = Fibonacci's Rabbits
  | url=http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits
  | publisher =[[University of Surrey]] School of Electronics and Physical Sciences}}</ref>

== Kaitannya dengan [[Nisbah Emas]] ==
===Closed form expression===
Like setiap sequence defined by linear [[Recurrence relation|recurrence]],  nombor Fibonacci mempunyaia  [[closed-form expression|closed-form solution]]. It has become known as [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]]'s formula, even though it was already known by [[Abraham de Moivre]]:
:<math>F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}={{\varphi^n-(-1/\varphi)^{n}} \over {\sqrt 5}}\, ,</math> where <math>\varphi</math> is  [[golden ratio|nisbah keemasan]]
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,</math>  {{OEIS|id=A001622}}
(note, that <math>1-\varphi=-1/\varphi</math>, as can be seen from  defining equation below).

Fibonacci recursion

:<math>F(n+2)-F(n+1)-F(n)=0\,</math>

is similar to  defining equation of  nisbah keemasan dalam form

:<math>x^2-x-1=0,\,</math>

which is also known as  polinomial penjana of  recursion.

====Proof by [[Mathematical induction|induction]]====
Any root of  equation above satisfies <math>\begin{matrix}x^2=x+1,\end{matrix}\,</math> and multiplying by <math>x^{n-1}\,</math> shows:
:<math>x^{n+1} = x^n + x^{n-1}\,</math>

By definition <math>\varphi</math> is a root of  equation dan   other root is <math>1-\varphi=-1/\varphi\, .</math>. Therefore:
:<math>\varphi^{n+1}  = \varphi^n + \varphi^{n-1}\, </math>

and
:<math>(1-\varphi)^{n+1} = (1-\varphi)^n + (1-\varphi)^{n-1}\, .</math>

Kedua-dua <math>\varphi^{n}</math> and <math>(1-\varphi)^{n}=(-1/\varphi)^{n}</math>
are [[geometric series]] (for ''n'' = 1, 2, 3, ...) that satisfy  Fibonacci recursion.  first series grows exponentially;  second exponentially tends to zero, with alternating signs. Because  Fibonacci recursion is linear, any [[linear combination]] of these two series will also satisfy  recursion. These linear combinations form a two-dimensional [[linear vector space]];  original Jujukan Fibonacci can be found in this space.

Linear combinations of series <math>\varphi^{n}</math> and <math>(1-\varphi)^{n}</math>, with coefficients ''a'' and ''b'', can be defined by
:<math>F_{a,b}(n) = a\varphi^n+b(1-\varphi)^n</math> untuk sebarang real <math>a,b\, .</math>

All thus-defined series satisfy  Fibonacci recursion
:<math>\begin{align}
  F_{a,b}(n+1) &= a\varphi^{n+1}+b(1-\varphi)^{n+1} \\
               &=a(\varphi^{n}+\varphi^{n-1})+b((1-\varphi)^{n}+(1-\varphi)^{n-1}) \\
               &=a{\varphi^{n}+b(1-\varphi)^{n}}+a{\varphi^{n-1}+b(1-\varphi)^{n-1}} \\
               &=F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,.
\end{align}</math>
Requiring that <math>F_{a,b}(0)=0</math> and <math>F_{a,b}(1)=1</math> yields <math>a=1/\sqrt 5</math> and <math>b=-1/\sqrt 5</math>, resulting dalam formula of Binet we started with. It has been shown that this formula satisfies  Fibonacci recursion. Furthermore, an explicit check can be made:
:<math>F_{a,b}(0)=\frac{1}{\sqrt 5}-\frac{1}{\sqrt 5}=0\,\!</math>

and
:<math>F_{a,b}(1)=\frac{\varphi}{\sqrt 5}-\frac{(1-\varphi)}{\sqrt 5}=\frac{-1+2\varphi}{\sqrt 5}=\frac{-1+(1+\sqrt 5)}{\sqrt 5}=1,</math>

establishing  base cases of  induction, proving that
:<math>F(n)={{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}</math> for all <math> n\, .</math>

Therefore, untuk sebarang two starting values, a combination <math>a,b</math> can be found such that  function <math>F_{a,b}(n)\,</math> is  exact closed formula for  series.

====Pengiraan melalui pembundaran====
Memandangkan <math>\begin{matrix}|1-\varphi|^n/\sqrt 5 < 1/2\end{matrix}</math> bagi semua <math>n\geq 0</math>, nombor <math>F(n)</math> adalah integer yang paling hampir dengan <math>\varphi^n/\sqrt 5\, .</math> Oleh itu, ia boleh didapati dengan [[Pembundaran#Pembundaran dalam pengiraan tepat|pembundaran]], atau dari segi [[fungsi lantai]]:
:<math>F(n)=\bigg\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \frac{1}{2}\bigg\rfloor.</math>

===Limit of consecutive quotients===

[[Johannes Kepler]] memerhatikan bahawa nisbah consecutive nombor Fibonacci converges. He wrote that "as 5 is to 8 so is 8 to 13, practically, and as 8 is to 13, so is 13 to 21 almost”, and concluded that  limit approaches  nisbah keemasan <math>\varphi</math>.<ref>{{cite book | last=Kepler | first=Johannes | title=A New Year Gift: On Hexagonal Snow | year=1966 | isbn=0198581203 | publisher=Oxford University Press | pages=92}} Strena seu de Nive Sexangula (1611)</ref>

:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi,</math>  

This convergence does not depend on  starting values chosen, excluding 0, 0.

'''Proof''':

It follows from  explicit formula that untuk sebarang real <math>a \ne 0, \, b \ne 0 \,</math>
:<math>\begin{align}
  \lim_{n\to\infty}\frac{F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}
     &= \lim_{n\to\infty}\frac{a\varphi^{n+1}-b(1-\varphi)^{n+1}}{a\varphi^n-b(1-\varphi)^n} \\
     &= \lim_{n\to\infty}\frac{a\varphi-b(1-\varphi)(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n}{a-b(\frac{1-\varphi}{\varphi})^n} \\
     &= \varphi
 \end{align}</math>
because <math>\bigl|{\tfrac{1-\varphi}{\varphi}}\bigr| < 1</math> and thus <math>\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{1-\varphi}{\varphi}\right)^n=0 .</math>

===Decomposition of powers of  nisbah keemasan===
Since  nisbah keemasan satisfies  equation 
:<math>\varphi^2=\varphi+1,\,</math>
this expression can be used to decompose higher powers <math>\varphi^n</math> as a linear function of lower powers, which in turn can be decomposed all  way down to a linear combination of <math>\varphi</math> and 1.  resulting [[recurrence relation|recurrence hubungan]] yield nombor Fibonacci as  linear coefficients, thus closing  loop:
:<math>\varphi^n=F(n)\varphi+F(n-1).</math>

This expression is also benar for <math>n \, <\, 1 \, </math> if  jujukan Fibonacci <math>F(n) \,</math> is  [[Generalizations_of_Fibonacci_numbers#Extension_to_negative_integers|extended to negative integers]] using  Fibonacci rule <math>F(n) = F(n-1) + F(n-2) . \, </math>

==Bentuk matriks==

A 2-dimensional system of linear [[difference equations]] that describes  Jujukan Fibonacci is
:<math>{F_{k+2} \choose F_{k+1}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} {F_{k+1} \choose F_{k}}</math>

or
:<math>\vec F_{k+1} = A \vec F_{k}.\,</math>

[[eigenvalue]]s of  matriks A are <math>\varphi\,\!</math> and <math>(1-\varphi)\,\!</math>, and  elements of  [[eigenvector]]s of A, <math>{\varphi \choose 1}</math> and <math>{1 \choose -\varphi}</math>, are dalam nisbah-nisbah <math>\varphi\,\!</math> and <math>(1-\varphi\,\!).</math>

matriks ini mempunyai [[determinant]] of &minus;1, and thus it is a 2&times;2 [[unimodular matrix|unimodular matriks]].  This property can be understood in terms of  [[pecahan berterusan]] representation for  nisbah keemasan: 
:<math>\varphi
=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\;\;\ddots\,}}} \;. </math> 

Nombor Fibonacci occur as nisbah pertembungan pecahan berterusan yang berterusan <math>\varphi\,\!</math>, dan matriks yang dibentuk daripada from successive convergents of any pecahan berterusan mempunyai determinant of +1 or &minus;1.

Perwakilan matriks memberikan [[ungkapan tertutup]] nombor Fibonacci yang berikut:
:<math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n =
       \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\
                       F_n     & F_{n-1} \end{pmatrix}.
</math>

Taking  determinant of kedua-dua belah persamaan ini menyerlahkan [[identiti Cassini]]

:<math>(-1)^n = F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2.\,</math>

Additionally, since <math> A^n A^m=A^{m+n}</math> untuk sebarang square matriks <math>A</math>,  following identities can be derived:
:<math>{F_n}^2 + {F_{n-1}}^2 = F_{2n-1},\,</math>
:<math>F_{n+1}F_{m} + F_n F_{m-1} = F_{m+n}.\, </math>

Untuk first one of these, there is a related identity:
:<math>(2F_{n-1}+F_n)F_n = (F_{n-1}+F_{n+1})F_n = F_{2n}.\,</math>

Untukanother way to derive  <math>F_{2n+k}</math> formulas see  "EWD note" by [[Dijkstra]]<ref name="dijkstra78">E. W. Dijkstra (1978). ''In honour of Fibonacci.'' [http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd06xx/EWD654.PDF Report EWD654]</ref>.

==Mengenalpasti nombor Fibonacci==

question may arise sama ada sesuatu integer positif <math>z</math> is a nombor Fibonacci. Since <math>F(n)</math> is  closest integer to <math>\varphi^n/\sqrt{5}</math>,  most straightforward, brute-force test is  identity
:<math>F\bigg(\bigg\lfloor\log_\varphi(\sqrt{5}z)+\frac{1}{2}\bigg\rfloor\bigg)=z,</math>

which is benar [[jika dan hanya sekiranya]] <math>z</math> merupakan nombor Fibonacci.

Alternatively, a integer positif <math>z</math> ialah nombor Fibonacci sekiranya dan hanya sekiranya salah satu <math>5z^2+4</math> or <math>5z^2-4</math> merupakan [[segi empat yang sempurna]].<ref>{{cite book | last=Posamentier | first=Alfred | coauthors = Lehmann, Ingmar| title=The (Fabulous) FIBONACCI Numbers | year=2007 | isbn=978-1-59102-475-0 | publisher=Prometheus Books | pages=305}}</ref> 

A slightly more sophisticated test uses  fact that  [[convergent (continued fraction)|convergent]]s perwakilan [[pecahan berterusan]] <math>\varphi</math> ialah nisbah-nisbah nombor Fibonacci yang berturutan, that is  inequality
:<math>\bigg|\varphi-\frac{p}{q}\bigg|<\frac{1}{q^2}</math>
(with [[coprime]] integer positif <math>p</math>, <math>q</math>) is benar if and only if <math>p</math> and <math>q</math> are successive nombor Fibonacci. From this one derives  criterion that <math>z</math> is a nombor Fibonacci if and only if  [[closed interval]]
:<math>\bigg[\varphi z-\frac{1}{z},\varphi z+\frac{1}{z}\bigg]</math>

contains a integer positif.<ref>M.&nbsp;Möbius, ''Wie erkennt man eine Fibonacci Zahl?'', Math. Semesterber. (1998) 45; 243–246</ref>

==Pengenalan==

Kebanyakan pengenalan melibatkan nombor Fibonacci menarik dari [[bukti kombinatorik|hujah kombinatorik]].
''F''(''n'') boleh ditafsirkan sebagai bilangan cara menjumlahkan 1 dan 2 kepada ''n'' &minus; 1, dengan kelaziman yang ''F''(0) = 0, bermakna tiada jumlah akan menambah sehingga &minus;1, dan ''F''(1) = 1, bermaksud jumlah kosong akan "bertambah" untuk 0.
Ini tertiba bagi perihal penghasil tambah.
Sebagai contoh, 1 + 2 and 2 + 1 adalah dianggap dua jumlah yang berbeza dan dikira dua kali.

=== Pengenalan Pertama ===

:<big><math>F_{n+1} = F_{n} + F_{n-1}</math></big>

:''Nombor Fibonacci ke-n adalah jumlah dua nombor Fibonacci sebelumnya.''

==== Pembuktian====
Kita mesti membuktikan bahawa urutan nombor yang ditakrifkan oleh tafsiran kombinatorik di atas memenuhi hubungan jadi semula yang sama dengan nombor Fibonacci (dan jadi sememangnya sama dengan nombor Fibonacci).

Set bagi cara ''F''(''n''+1) untuk membuat jumlah bertertib 1 dan 2 yang berjumlah ke ''n'' boleh dibahagikan kepada dua set tak bertindih. Set pertama yang mengandungi jumlah penghasil tambah pertamanya 1; jumlah baki kepada ''n''&minus;1, maka ''F''(''n'') menjumlah pada set pertama. Set kedua yang mengandungi jumlah penghasil tambah pertamanya 2; jumlah baki kepada ''n''&minus;2, maka ''F''(''n''&minus;1) menjumlah pada set kedua. Penghasil tambah pertama hanya boleh jadi 1 atau 2, supaya kedua-dua set menghabiskan set asal. Maka ''F''(''n''+1) = ''F''(''n'') + ''F''(''n''&minus;1).

=== Pengenalan Kedua ===

:<math>\sum_{i=0}^n F_i = F_{n+2} - 1</math>

:''Jumlah bagi n pertama nombor Fibonacci adalah nombor Fibonacci ke-(n+2) tolak 1.''

==== Pembuktian ====

Kami mengira bilangan cara menjumlahkan 1 dan 2 sehingga ''n'' + 1 supaya sekurang-kurangnya salah satu daripada penghasil tambah adalah 2.

Seperti sebelum ini, terdapat ''F''(''n'' + 2) cara menjumlahkan 1 dan 2 menjadi ''n'' + 1 apabila ''n'' ≥ 0.
Oleh kerana hanya ada satu jumlah ''n'' + 1 yang tidak menggunakan 2, iaitu 1 + … + 1 (syarat ''n'' + 1),kita tolak 1 dari ''F''(''n'' + 2).

Setara, kita boleh mempertimbangkan sebutan pertama bagi 2 sebagai penghasil tambah.
Jika, dalam jumlah, penghasil tambah yang pertama adalah 2, maka ada ''F''(''n'') cara untuk melengkapkan pengiraan bagi ''n'' &minus; 1.
Jika penghasil tambah yang kedua ialah 2 tetapi yang pertama adalah 1, maka terdapat ''F''(''n'' &minus; 1) cara untuk melengkapkan pengiraan bagi ''n'' &minus; 2.
Teruskan dengan cara ini.
Kemudiannya kita mempertimbangkan penghasil tambah ke-(''n'' + 1).
Jika ia adalah 2 tetapi semua penghasil tambah''n'' sebelumnya adalah 1, maka terdapat ''F''(0) cara untuk melengkapkan pengiraan bagi 0.
Jika suatu jumlah mengandungi 2 sebagai penghasil tambah, sebutan pertama bagi penghasil tambah itu mesti berlaku di antara posisi yang pertama dan yang ke-(''n'' + 1).
Maka ''F''(''n'') + ''F''(''n'' &minus; 1) + … + ''F''(0) memberikan pengiraan yang dikehendaki.

=== Pengenalan Ketiga ===

Identiti ini mempunyai bentuk yang sedikit berbeza untuk <math>F_k</math>, bergantung kepada sama ada k adalah ganjil atau genap.
:<math>\sum_{i=0}^{n-1} F_{2i+1} = F_{2n}</math>
:<math>\sum_{i=0}^{n} F_{2i} = F_{2n+1}-1</math>

<ref>{{cite book | title = Fibonacci Numbers |last = Vorobiev |first = Nikolaĭ Nikolaevich |coauthors = Mircea Martin | publisher = Birkhäuser | year = 2002 | id = ISBN 3-7643-6135-2 |chapter=Chapter 1 |pages = pp. 5–6}}</ref>

:''Jumlah bagi nombor Fibonacci n-1 pertama, <math>F_j</math>, supaya j ganjil adalah nombor Fibonacci ke-(2n).''
:''Jumlah bagi nombor Fibonacci n pertama, <math>F_j</math>, supaya j genap adalah nombor Fibonacci ke-(2n+1) tolak 1.''

==== Pembuktian ====

Aruhan bagi <math>F_{2n}</math>:
:<math>F_1+F_3+F_5+...+F_{2n-3}+F_{2n-1}=F_{2n}</math>
:<math>F_1+F_3+F_5+...+F_{2n-3}+F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n}+F_{2n+1}</math>
:<math>F_1+F_3+F_5+...+F_{2n-3}+F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+2}</math>
Kes asas ini untuk boleh menjadi <math>F_1=F_2</math>.
<br>
Aruhan bagi <math>F_{2n+1}</math>:
:<math>F_0+F_2+F_4+...+F_{2n-2}+F_{2n}=F_{2n+1}-1</math>
:<math>F_0+F_2+F_4+...+F_{2n-2}+F_{2n}+F_{2n+2}=F_{2n+1}+F_{2n+2}-1</math>
:<math>F_0+F_2+F_4+...+F_{2n-2}+F_{2n}+F_{2n+2}=F_{2n+3}-1</math>
Kes asas ini untuk boleh menjadi <math>F_0=F_1-1</math>.

=== Pengenalan Keempat ===

:<math>\sum_{i=0}^n iF_i = nF_{n+2} - F_{n+3} + 2</math>

==== Pembuktian ====

Pengenalan ini boleh ditentukan dalam dua peringkat.
Pertama, kita mengira bilangan cara menjumlahkan 1 dan 2 menjadi &minus;1, 0, …, atau ''n'' + 1 supaya sekurang-kurangnya salah satu daripada penghasil tambah adalah 2.

Dengan pengenalan kedua kita, terdapat ''F''(''n'' + 2) &minus;  1 cara menjumlahkan kepada ''n'' + 1; ''F''(''n'' + 1) &minus; 1 cara menjumlahkan kepada ''n''; …; dan, akhirnya, ''F''(2) &minus; 1 cara menjumlahkan kepada 1.
Apabila ''F''(1) &minus; 1 = ''F''(0) = 0, kita boleh menambah semua jumlah ''n'' + 1 dan menggunakan pengenalan kedua lagi untuk mendapatkan: &nbsp;&nbsp;&nbsp;[''F''(''n'' + 2) &minus; 1] + [''F''(''n'' + 1) &minus; 1] + … + [''F''(2) &minus; 1]
: = [''F''(''n'' + 2) &minus; 1] + [''F''(''n'' + 1) &minus; 1] + … + [''F''(2) &minus; 1] + [''F''(1) &minus; 1] + ''F''(0)
: = ''F''(''n'' + 2) + [''F''(''n'' + 1) + … + ''F''(1) + ''F''(0)] &minus; (''n'' + 2)
: = ''F''(''n'' + 2) + [''F''(''n'' + 3) &minus; 1] &minus; (''n'' + 2)
: = ''F''(''n'' + 2) + ''F''(''n'' + 3) &minus; (''n'' + 3).

Sebaliknya, kita dapati daripada pengenalan kedua bahawa terdapat
* ''F''(0) + ''F''(1) + … + ''F''(''n'' &minus; 1) + ''F''(''n'') ways summing to ''n'' + 1;
* ''F''(0) + ''F''(1) + … + ''F''(''n'' &minus; 1) cara menjumlahkan kepada ''n'';
……
* ''F''(0) cara menjumlahkan kepada &minus;1.
Menambahkan semua jumlah ''n'' + 1, kita dapat melihat bahawa terdapat
* (''n'' + 1) ''F''(0) + ''n'' ''F''(1) + … + ''F''(''n'') cara menjumlahkan kepada &minus;1, 0, …, or ''n'' + 1.

Memandangkan kedua-dua kaedah pengiraan merujuk kepada nombor yang sama, kita dapat
: (''n'' + 1) ''F''(0) + ''n'' ''F''(1) + … + ''F''(''n'') = ''F''(''n'' + 2) + ''F''(''n'' + 3) &minus; (''n'' + 3)

Akhir sekali, kita melengkapkan bukti dengan membuat tolakan pengenalan di atas daripada ''n'' + 1 kali pengenalan kedua.

=== Pengenalan Kelima ===

:<math>\sum_{i=0}^n {F_i}^2 = F_{n} F_{n+1}</math>

:''Jumlah bagi nombor Fibonacci n yang pertama dikuasa dua adalah hasil darab nombor Fibonacci ke-n dan ke-(n+1).''

=== Pengenalan bagi ''n'' berganda ===

:<math>F_{2n} = F_{n+1}^2 - F_{n-1}^2 = F_n(F_{n+1}+F_{n-1}) </math>

<ref name="autogenerated1">[http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html Fibonacci Number - from Wolfram MathWorld<!-- Bot generated title -->]</ref>

=== Another Identity ===
Another identity useful untuk mengira  ''F<sub>n</sub>'' memperoleh nilai besar ''n'' ialah

:<math>F_{kn+c} = \sum_{i=0}^k {k\choose i} F_{c-i} F_n^i F_{n+1}^{k-i},</math> 
<ref name="autogenerated1" />

from which other identities for specific values of k, n, and c can be derived below, including

:<math>F_{2n+k} = F_k F_{n+1}^2 + 2 F_{k-1} F_{n+1} F_n + F_{k-2} F_n^2 </math>

for all integers ''n'' and ''k''. [[Dijkstra]]<ref name="dijkstra78"/> points out that doubling identities of this type can be used to calculate ''F<sub>n</sub>'' using O(log ''n'') arithmetic operations. Notice that, with  definition of nombor Fibonacci with negative ''n'' given dalam introduction, this formula reduces to  ''double n'' formula apabila ''k = 0''.

(From practical standpoint it should be noticed that  calculation involves manipulation of numbers with length (number of digits) <math>{\rm \Theta}(n)\,</math>. Thus  actual performance depends mainly upon efficiency of  implemented [[multiplication algorithm| long multiplication]], and usually is <math>{\rm \Theta}(n \,\log n)</math> or <math>{\rm \Theta}(n ^{\log_2 3})</math>.)

===Other identities===

Other identities termasuk  hubungan kepada [[nombor Lucas]] yang mempunyai same recursive properties but start with ''L''<sub>''0''</sub>=2 and ''L''<sub>''1''</sub>=1. These properties termasuk ''F''<sub>''2n''</sub>=''F''<sub>''n''</sub>''L''<sub>''n''</sub>.

There are also scaling identities, which take you from ''F''<sub>n</sub> and ''F''<sub>n+1</sub> to a variety of things of  form ''F''<sub>an+b</sub>; sebagai contoh

<math>F_{3n} = 2F_n^3 + 3F_n F_{n+1} F_{n-1} = 5F_{n}^3 + 3 (-1)^n F_{n} </math> oleh identiti Cassini.

<math>F_{3n+1} = F_{n+1}^3 + 3 F_{n+1}F_n^2 - F_n^3</math>

<math>F_{3n+2} = F_{n+1}^3 + 3 F_{n+1}^2F_n + F_n^3</math>

<math>F_{4n} = 4F_nF_{n+1}(F_{n+1}^2 + 2F_n^2) - 3F_n^2(F_n^2 + 2F_{n+1}^2)</math>

These can be found experimentally using [[lattice reduction|lattice pengurangan]], and are useful in setting up  [[special number field sieve]] to [[Factorization|factorize]] a nombor Fibonacci. Such relations exist in a very general sense for numbers defined by recurrence relations, see  section on multiplication formulae under [[Perrin number]]s for details.

==Siri kuasa==
[[Fungsi generasi]] urutan Fibonacci adalah [[siri kuasa]]
:<math>s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k.</math>

Siri ini adalah mudah dan jawapan bentuk-tertutup menarik untuk <math>|x| < 1/\varphi</math>
:<math>s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}.</math>

Jawapan ini dapat dibukti dengan menggunakan kemunculan semula Fibonacci untuk melebarkan setiap koefisi dalam jumlah infinite mentakrifkan <math>s(x)</math>:
:<math>\begin{align}
  s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\
       &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\
       &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\
       &= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\
       &= x + x s(x) + x^2 s(x)
  \end{align}</math>

Menyelesaikan persamaan <math>s(x)=x+xs(x)+x^2s(x)</math> for <math>s(x)</math> menyebabkan jawapan bentuk tertutup. 

Terutamanya, buku teka-teki matematik menyatakan nilai aneh<math>\frac{s(\frac{1}{10})}{10}=\frac{1}{89}</math>, atau lebih biasanya

:<math>\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac {F(n)}{10^{(k + 1)(n + 1)}}} = \frac {1}{10^{2k + 2} - 10^{k + 1} - 1}</math>

untuk semua integer <math>k >= 0</math>.

Secara bicara,
:<math>\sum_{n=0}^\infty\,\frac{F_n}{k^{n}}\,=\,\frac{k}{k^{2}-k-1}.</math>

==Jumlah salingan==

<!--
{{cite book
  | last =Borwein
  | first =Jonathan M.
  | authorlink =Jonathan Borwein
  | coauthors =[[Peter Borwein|Peter B. Borwein]]
  | title =Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity
  | pages =91–101
  | publisher =Wiley
  | year =1998
  | month =July
  | url =http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-047131515X.html
  | id = ISBN 978-0-471-31515-5 }}
It credits some formulae to {{cite journal | author = Landau, E. | title = Sur la Série des Invers de Nombres de Fibonacci | journal = Bull. Soc. Math. France | volume = 27 | year = 1899 | pages = 298–300}}
-->
Jumlah tidak terhingga ke atas nombor Fibonacci salingan kadang-kadang boleh dinilai dari segi [[fungsi theta]]. Sebagai contoh, kita boleh menulis jumlah setiap nombor Fibonacci salingan indeks ganjil sebagai
:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{F_{2k+1}} = \frac{\sqrt{5}}{4}\vartheta_2^2 \left(0, \frac{3-\sqrt 5}{2}\right) ,</math>

dan jumlah kuasa dua nombor Fibonacci salingan
:<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{F_k^2} = \frac{5}{24} \left(\vartheta_2^4\left(0, \frac{3-\sqrt 5}{2}\right) - \vartheta_4^4\left(0, \frac{3-\sqrt 5}{2}\right) + 1 \right).</math>

Jika kita menambah 1 untuk setiap nombor Fibonacci dalam jumlah yang pertama, terdapat juga bentuk tertutup
:<math>\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{1+F_{2k+1}} = \frac{\sqrt{5}}{2},</math>

dan ada jumlah ''tersarang'' bagi kuasa dua nombor Fibonacci lalu memberi salingan [[nisbah emas]],
:<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{\sum_{j=1}^k {F_{j}}^2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.</math>

Keputusan seperti ini menjadikannya munasabah bahawa rumus tertutup untuk jumlah mendatar bagi nombor Fibonacci salingan boleh didapati, tetapi tiada yang masih diketahui. Walaupun begitu, [[pemalar Fibonacci salingan]]
:<math>\psi = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{F_k} = 3.359885666243 \dots</math> 

telah dibuktikan [[nombor tak nisbah|tidak bernisbah]] oleh [[Richard André-Jeannin]].

==Nombor perdana dan kebolehbahagian==
{{main|Fibonacci perdana}}
'''Fibonacci perdana''' adalah nombor Fibonacci yang [[nombor perdana|perdana ]] {{OEIS|id=A005478}}.  first few are:
: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, …
Fibonacci perdana dengan beribu-ribu digit telah ditemui, tetapi tidak diketahui sama ada ia terdapat banyak tak terhingga. Semuanya mesti mempunyai indeks utama, kecuali ''F''<sub>4</sub> = 3. Terdapat aturan [[besar sembarangan|yang sewenang-wenangnya panjang]] bagi [[nombor komposit]] dan dengan itu termasuk juga nombor Fibonacci komposit.

Dengan pengecualian 1, 8 dan 144 (''F''<sub>0</sub> = ''F''<sub>1</sub>, ''F''<sub>6</sub> dan ''F''<sub>12</sub>) setiap nombor Fibonacci mempunyai faktor utama yang bukan faktor mana-mana nombor Fibonacci yang lebih kecil ([[teorem Carmichael]]).<ref>Ron Knott, [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html "The Fibonacci numbers"].</ref>

Tiada nombor Fibonacci lebih besar daripada ''F''<sub>6</sub> = 8 yang lebih besar atau kurang satu daripada nombor perdana.<ref>Ross Honsberger ''Mathematical Gems III'' (AMS Dolciani Mathematcal Expositions No. 9), 1985, ISBN 0-88385-318-3, p. 133.</ref>

Sebarang tiga nombor Fibonacci berturut-turut, yang diambil dua pada satu masa, adalah [[perdana relatif|secara relatifnya perdana]]: itu adalah,
:[[faktor sepunya terbesar|fstb]](''F''<sub>''n''</sub>, ''F''<sub>''n''+1</sub>) = fstb(''F''<sub>''n''</sub>, ''F''<sub>''n''+2</sub>) = 1.
Lebih umum,
:fstb(''F''<sub>''n''</sub>, ''F''<sub>''m''</sub>) = ''F''<sub>fstb(''n'', ''m'').</sub><ref>[[Paulo Ribenboim]], ''My Numbers, My Friends'', Springer-Verlag 2000</ref><ref>Su, Francis E., et al. [http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20004.5.shtml "Fibonacci GCD's, please."], ''Mudd Math Fun Facts''.</ref>

===Pembahagi ganjil===

Jika ''n'' adalah ganjil, semua pembahagi ganjil F<sub>''n''</sub> adalah ≡ 1 (mod 4).<ref>Lemmermeyer, ex. 2.27 p. 73</ref><ref>The website [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibtable.html] has the first 300 Fibonacci numbers factored into primes.</ref> <br>
Ini adalah bersamaan dengan mengatakan bahawa untuk ''n'' ganjil semua faktor perdana ganjil F<sub>''n''</sub> adalah ≡ 1 (mod 4).

<blockquote>Contohnya,
F<sub>1</sub> = 1, F<sub>3</sub> = 2, F<sub>5</sub> = 5, F<sub>7</sub> = 13, F<sub>9</sub> = 34 = 2×17, F<sub>11</sub> = 89, F<sub>13</sub> = 233, F<sub>15</sub> = 610 = 2×5×61
</blockquote>

===Fibonacci dan Legendre===

Terdapat beberapa rumus yang menarik menghubungkan nombor Fibonacci dan [[simbol Legendre]] <math>\;\left(\tfrac{p}{5}\right).</math> 

:<math>
\left(\frac{p}{5}\right) 
= \left \{ 
\begin{array}{cl} 0 & \textrm{if}\;p =5
\\ 1 &\textrm{if}\;p \equiv \pm1 \pmod 5
\\ -1 &\textrm{if}\;p \equiv \pm2 \pmod 5
\end{array}
\right.
</math>

Jika ''p'' ialah [[nombor perdana]], maka<ref>[[Paulo Ribenboim]] (1996), ''The New Book of Prime Number Records'', New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5, p. 64</ref><ref>Franz Lemmermeyer (2000), ''Reciprocity Laws'', New York: Springer, ISBN 3-540-66957-4, ex 2.25-2.28, pp. 73-74</ref>
<math>
F_{p} \equiv \left(\frac{p}{5}\right) \pmod p \;\;\mbox{ dan }\;\;\;
 
F_{p-\left(\frac{p}{5}\right)} \equiv 0 \pmod p.
</math> 

<blockquote>
Sebagai contoh, 

:<math>(\tfrac{2}{5}) = -1, \,\, F_3  = 2, F_2=1,</math> 
:<math>(\tfrac{3}{5}) = -1, \,\, F_4  = 3,F_3=2,</math> 
:<math>(\tfrac{5}{5}) = \;\;\,0,\,\,  F_5  = 5,</math> 
:<math>(\tfrac{7}{5}) = -1,  \,\,F_8  = 21,\;\;F_7=13,</math> 
:<math>(\tfrac{11}{5}) = +1,  F_{10}  = 55, F_{11}=89.</math> 

</blockquote>

Juga, jika ''p'' ≠  5 adalah nombor perdana ganjil, maka: <ref>Lemmermeyer, ex. 2.38, pp. 73-74</ref>
:<math>5F^2_{\left(p \pm 1 \right) / 2}
\equiv
\begin{cases} 
\frac{5\left(\frac{p}{5}\right)\pm 5}{2} \pmod p & \textrm{if}\;p \equiv 1 \pmod 4\\
\\
\frac{5\left(\frac{p}{5}\right)\mp 3}{2} \pmod p & \textrm{if}\;p \equiv 3 \pmod 4
\end{cases}
</math>

<blockquote>
Contoh bagi semua kes:

:<math>p=7 \equiv 3 \pmod 4, \;\;(\tfrac{7}{5}) = -1, \frac{5(\frac{7}{5})+3}{2} =-1\mbox{ dan }\frac{5(\frac{7}{5})-3}{2}=-4.</math>  
::<math>F_3=2 \mbox{ dan } F_4=3.</math> 

::<math>5F_3^2=20\equiv -1 \pmod {7}\;\;\mbox{ dan }\;\;5F_4^2=45\equiv -4 \pmod {7}</math>

:<math>p=11 \equiv 3 \pmod 4, \;\;(\tfrac{11}{5}) = +1, \frac{5(\frac{11}{5})+3}{2} =4\mbox{ dan }\frac{5(\frac{11}{5})- 3}{2}=1.</math>  
::<math>F_5=5 \mbox{ dan } F_6=8.</math> 

::<math>5F_5^2=125\equiv 4 \pmod {11} \;\;\mbox{ dan }\;\;5F_6^2=320\equiv 1 \pmod {11}</math>

:<math>p=13 \equiv 1 \pmod 4, \;\;(\tfrac{13}{5}) = -1, \frac{5(\frac{13}{5})-5}{2} =-5\mbox{ dan }\frac{5(\frac{13}{5})+ 5}{2}=0.</math>  
::<math>F_6=8 \mbox{ dan } F_7=13.</math> 

::<math>5F_6^2=320\equiv -5 \pmod {13} \;\;\mbox{ dan }\;\;5F_7^2=845\equiv 0 \pmod {13}</math>

:<math>p=29 \equiv 1 \pmod 4, \;\;(\tfrac{29}{5}) = +1, \frac{5(\frac{29}{5})-5}{2} =0\mbox{ dan }\frac{5(\frac{29}{5})+5}{2}=5.</math>  
::<math>F_{14}=377 \mbox{ dan } F_{15}=610.</math> 

::<math>5F_{14}^2=710645\equiv 0 \pmod {29} \;\;\mbox{ dan }\;\;5F_{15}^2=1860500\equiv 5 \pmod {29}</math>
</blockquote>

===Kebolehbahagian dengan 11===
<math>\sum_{k=n}^{n+9} F_{k} = 11 F_{n+6}</math>

<blockquote>Sebagai contoh, jadi ''n'' = 1:
<br>
F<sub>1</sub>+F<sub>2</sub>+...+F<sub>10</sub> = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = 11×13
<br>
''n'' = 2:
<br>
F<sub>2</sub>+F<sub>3</sub>+...+F<sub>11</sub> = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 = 231 = 11×21
<br>
''n'' = 3:
<br>
F<sub>3</sub>+F<sub>4</sub>+...+F<sub>12</sub> = 2 +  3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144= 374 = 11×34

</blockquote>

Malah, identitinya adalah benar bagi semua integer ''n'', bukan hanya yang positif:
<blockquote>
''n'' = 0:

<br>
F<sub>0</sub>+F<sub>1</sub>+...+F<sub>9</sub> = 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 88 = 11×8
<br>
''n'' = &minus;1:

<br>
F<sub>&minus;1</sub>+F<sub>0</sub>+...+F<sub>8</sub> = 1 + 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 55 = 11×5
<br>
''n'' = &minus;2:

<br>
F<sub>&minus;2</sub>+F<sub>&minus;1</sub>+F<sub>0</sub>+...+F<sub>7</sub> = &minus;1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33 = 11×3

</blockquote>

==Segi tiga bersudut tegak==
Starting with 5, setiap second nombor Fibonacci is  length of  hypotenuse of a right segi tiga with integer sides, or in other words, nombor terbesar dalam  [[ganda tiga Pythagoras]].   length of  longer leg of this segi tiga is equal to  sum of  three sides of  preceding segi tiga in this series of segi tigas, and  shorter leg is equal to  difference between  preceding bypassed nombor Fibonacci and  shorter leg of  preceding segi tiga.

first segi tiga in this series has sides of length 5, 4, and 3. Skipping 8,  next segi tiga has sides of length 13, 12 (5&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;+&nbsp;3), and 5 (8&nbsp;&minus;&nbsp;3). Skipping 21,  next segi tiga has sides of length 34, 30 (13&nbsp;+&nbsp;12&nbsp;+&nbsp;5), and 16 (21&nbsp;&minus;&nbsp;5). This series continues indefinitely.  segi tiga sides a, b, c can be calculated directly:

:<math>\displaystyle a_n = F_{2n-1}</math>
:<math>\displaystyle b_n = 2 F_n F_{n-1}</math>
:<math>\displaystyle c_n = {F_n}^2 - {F_{n-1}}^2</math>

These formulas satisfy <math>a_n ^2 = b_n ^2 + c_n ^2</math> for all n, but they only represent segi tiga sides apabila <math>n > 2</math>.

Any four consecutive nombor Fibonacci ''F''<sub>''n''</sub>, ''F''<sub>''n''+1</sub>, ''F''<sub>''n''+2</sub> and ''F''<sub>''n''+3</sub> can also be used to generate a Pythagorean triple in a different way:
:<math> a = F_n F_{n+3} \, ; \, b = 2 F_{n+1} F_{n+2} \, ; \, c = F_{n+1}^2 + F_{n+2}^2 \, ; \,  a^2 + b^2 = c^2 \,.</math>

Contoh 1: let nombor Fibonacci be 1, 2, 3 and 5. Then:
:<math>\displaystyle  a = 1 \times 5 = 5</math>
:<math>\displaystyle  b = 2 \times 2 \times 3 = 12</math>
:<math>\displaystyle  c = 2^2 + 3^2 = 13 \,</math>
:<math>\displaystyle  5^2 + 12^2 = 13^2 \,.</math>

Contoh 2: let nombor Fibonacci be 8, 13, 21 and 34. Then:
:<math>\displaystyle  a = 8 \times 34 = 272</math>
:<math>\displaystyle  b = 2 \times 13 \times 21 = 546</math>
:<math>\displaystyle  c = 13^2 + 21^2 = 610 \,</math>
:<math>\displaystyle  272^2 + 546^2 = 610^2 \,.</math>

==Magnitud nombor Fibonacci==
Memandangkan<math>F_n</math> adalah [[berasimptot]] kepada <math>\varphi^n/\sqrt5</math>, bilangan digit dalam asas perwakilan ''b'' <math>F_n\,</math> adalah berasimptot kepada <math>n\,\log_b\varphi</math>.

Dalam asas 10, untuk setiap integer yang lebih besar daripada 1 terdapat 4 atau 5 nombor Fibonacci dengan bilangan digit itu, dalam kebanyakan kes 5.

==Aplikasi==

Nombor Fibonacci are important dalam run-time analysis of [[algoritma Euclid]] to determine  [[greatest common divisor]] of two integers:  worst case input for this algoritma is a pair of consecutive nombor Fibonacci.

[[Yuri Matiyasevich]] dapat menunjukkan bahawa nombor Fibonacci boleh ditakrifkan daripada [[persamaan Diophantine]], which led to [[Matiyasevich's theorem|his original solution]] of [[Hilbert's tenth problem]].

Nombor Fibonacci occur dalam sums of "shallow" diagonals in [[segi tiga Pascal]] dan [[Lozanić's triangle|segi tiga Lozanić]] (''see "[[Binomial coefficient]]"''). (They occur more obviously in [[segi tiga Hosoya]]).

Setiap integer positif boleh ditulis dalam cara khusus sebagai hasil pertambahan ''lebih dari satu'' nombor Fibonacci yang tersendiri di mana hasil pertambahan tersebut tidak termasuk sebarang daripada dua nombor Fibonacci yang berturutan. This is known as [[Zeckendorf's theorem]], and a sum of nombor Fibonacci that satisfies these conditions is called a Zeckendorf representation.

Prinsip dan nombor Fibonacci juga digunakan dalam [[pasaran perniagaan]] di mana ia digunakan dalam algoritma, aplikasi dan strategi perdagangan. Some typical forms termasuk:  Fibonacci fan, Fibonacci Arc, Fibonacci Retracement and  Fibonacci Time Extension.

Nombor Fibonacci digunakan by some [[pseudorandom number generators]].<!-- Knuth vol. 2 -->

Nombor Fibonacci digunakan in a polyphase version of  [[merge sort]] algoritma in which an unsorted list is divided into two lists whose lengths correspond to sequential nombor Fibonacci - by dividing  list so that  two parts mempunyailengths dalam approximate proportion φ. A tape-drive implementation of  polyphase merge sort was described dalam ''[[The Art of Computer Programming|Art of Computer Programming]]''.

nombor Fibonacci arise dalam analysis of  [[Fibonacci heap]] data structure.

A one-dimensional optimization method, called  [[Fibonacci search technique]], uses nombor Fibonacci.<ref>{{cite journal | author=M. Avriel and D.J. Wilde | title=Optimality of the Symmetric Fibonacci Search Technique | journal=[[Fibonacci Quarterly]] | year=1966 | issue=3 | pages= 265–269}}</ref>

Siri nombor Fibonacci series is used for optional [[lossy compression]] dalam [[Interchange_File_Format|IFF]] [[8SVX]] audio file format used on [[Amiga]] computers.  number series  [[companding|compands]]  original audio wave similar to logarithmic methods e.g. [[hukum µ]].<ref>Amiga ROM Kernel Reference Manual, Addison-Wesley 1991</ref><ref>[http://wiki.multimedia.cx/index.php?title=IFF#Fibonacci_Delta_Compression IFF - MultimediaWiki]</ref>

In [[muzik]], nombor Fibonacci kadangkalanya digunakan to determine tunings, and, as in visual art, to determine  length or size of [[content]] or [[form (music)|formal]] elements. It is commonly thought that  first movement of [[Béla Bartók]]'s ''[[Music for Strings, Percussion, and Celesta]]'' was structured using nombor Fibonacci.

Memandangkan faktor [[pertukaran unit]] [[Batu (ukuran)|batu]] kepada kilometer iaitu 1.609344 hampir dengan [[nisbah keemasan]] (denoted φ),  decomposition of distance in miles into a sum of nombor Fibonacci becomes nearly  kilometer sum apabila nombor Fibonacci are replaced by their successors. This method amounts to a [[radix]] 2 [[Fibonacci coding|number]] [[processor register|register]] in [[asas nisbah keemasan]] φ being shifted. To convert from kilometers to miles, shift  register down  jujukan Fibonacci instead.<ref>[http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibrep.html#kilos An Application of the Fibonacci Number Representation]</ref><ref>[http://people.bath.ac.uk/pst20/fibonacci.html#Sequence A Practical Use of the Sequence]</ref><ref>[http://eom.springer.de/Z/z120020.htm Zeckendorf representation]</ref>

==Nombor Fibonacci dalam persekitaran==
[[Image:Helianthus whorl.jpg|thumb|[[Sunflower]] head displaying florets in lingkaran of 34 and 55 around  outside]]
Jujukan Fibonacci muncul dalam persekitaran biologi,<ref>{{cite journal | author=S. Douady and Y. Couder | title=Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process | journal=Journal of Theoretical Biology | year=1996 | issue=178 | pages= 255&ndash;274 | url=http://www.math.ntnu.no/~jarlet/Douady96.pdf  | doi = 10.1006/jtbi.1996.0026 | volume=178|format=PDF}}</ref> in two consecutive nombor Fibonacci, such as branching in trees, arrangement of [[leaves]] on a stem,  fruitlets of a [[pineapple]],<ref>{{cite book|first=Judy|last=Jones|coauthors=William Wilson|title=An Incomplete Education|publisher=Ballantine Books|year=2006|id=ISBN 978-0-7394-7582-9|pages=544|chapter=Science}}</ref>  flowering of [[artichoke]], an uncurling fern and  arrangement of  a [[pine cone]].<ref>{{cite journal | author=A. Brousseau | title=Fibonacci Statistics in Conifers | journal=[[Fibonacci Quarterly]] | year=1969 | issue=7 | pages= 525–532}}</ref> In addition, numerous poorly substantiated claims of nombor Fibonacci or [[golden section]]s in nature are found in popular sources, e.g. relating to  breeding of rabbits, lingkaran cengkerang, dan curve of waves{{Fact|date=February 2007}}.  Nombor Fibonacci juga didapati dalam family tree of honeybees. <ref>[http://www.cs4fn.org/maths/bee-davinci.php Computer Science for Fun - cs4fn: Marks for the da Vinci Code: B<!-- Bot generated title -->]</ref>

[[Przemyslaw Prusinkiewicz]] advanced  idea that real instances can be in part understood as  expression of certain algebraic constraints on [[free group]]s, specifically as certain [[L-system|Lindenmayer grammar]]s.<ref>{{cite book|first=Przemyslaw|last=Prusinkiewicz|coauthors=James Hanan|title=Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants (Lecture Notes in Biomathematics)|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|year=1989|id=ISBN 0-387-97092-4}}</ref>

Suatu model corak [[floret]] dalam kepala [[bunga matahari]] diusulkan H. Vogel pada tahun 1979.<ref>
{{Citation
  | last =Vogel
  | first =H
  | title =A better way to construct the sunflower head
  | journal =Mathematical Biosciences
  | issue =44
  | pages =179–189
  | year =1979
  | doi =10.1016/0025-5564(79)90080-4
  | volume =44
}}</ref> Model ini mempunyai bentuk:
:<math>\theta = \frac{2\pi}{\phi^2} n</math>, <math>r = c \sqrt{n}</math>
where ''n'' is  index number of  floret and ''c'' is a constant scaling factor;  florets thus lie on [[Fermat's spiral]].  divergence angle, approximately 137.51°, is  [[golden angle]], dividing  circle dalam [[nisbah keemasan]].  Because this ratio is irrational, no floret mempunyai neighbor at exactly  same angle from  center, so  florets pack efficiently.  Because  rational approximations to  nisbah keemasan are of  form F(j):F(j+1),  nearest neighbors of floret number ''n'' are those at ''n''±F(j) for some index ''j'' which depends on ''r'',  distance from  center.  It is often said that sunflowers and similar arrangements mempunyai 55 lingkaran dalam satu arah dan 89 dalam satu arah yang lain (or some other pair of adjacent nombor Fibonacci), but this is benar only of one range of radii, typically  outermost and thus most conspicuous.<ref>{{cite book
  | last =Prusinkiewicz
  | first =Przemyslaw
  | authorlink =Przemyslaw Prusinkiewicz
  | coauthors =[[Aristid Lindenmayer|Lindenmayer, Aristid]]
  | title =[[The Algorithmic Beauty of Plants]]
  | publisher =Springer-Verlag
  | year= 1990
  | location =
  | pages =101-107
  | url =http://algorithmicbotany.org/papers/#webdocs
  | doi =
  | id = ISBN 978-0387972978 }}</ref>
* Pada 1991, Jean-Claude Perez mengusulkan hubungan natara urutan bes [[DNA]] dalam [[susunan gen]] dengan nombor Fibonacci <ref>J.C. Perez (1991), [http://golden-ratio-in-dna.blogspot.com/2008/01/1991-first-publication-related-to.html "Chaos DNA and Neuro-computers: A Golden Link"], in ''Speculations in Science and Technology'' vol. 14 no. 4, {{ISSN|0155-7785}}</ref>.

==Konsep==
{{main|Generalizations of Fibonacci numbers}}
Fibonacci sequence has been generalized in many ways. These termasuk:
* Generalizing  index to negative integers to produce  [[Negafibonacci|Nega]]<nowiki/>nombor Fibonacci.
* Generalizing  index to real numbers using a modification of [[Binet's formula]]. <ref>{{MathWorld|title=Fibonacci Number|urlname=FibonacciNumber|author=Pravin Chandra and [[Eric W. Weisstein]]}}</ref>
* Starting with other integers. [[nombor Lucas]] have ''L''<sub>1</sub> = 1, ''L''<sub>2</sub> = 3, and ''L<sub>n</sub>'' = ''L''<sub>''n''−1</sub> + ''L''<sub>''n''−2</sub>. [[jujukan Primefree]] menggunakan Fibonacci recursion with other starting points in order to generate sequences in which all numbers are [[composite number|composite]].
* Letting a number be a linear function (other than  sum) of  2 preceding numbers. [[Nomber Pell]] mempunyai ''P<sub>n</sub>'' = 2''P''<sub>''n'' – 1</sub> + ''P''<sub>''n'' – 2</sub>.
* Not adding  immediately preceding numbers.  [[Padovan sequence]] and [[nombor Perrin]] mempunyai P(n) = P(n – 2) + P(n – 3).
* Generating  next number by adding 3 numbers (tribonacci numbers), 4 numbers (tetranacci numbers), or more.
* Adding other objects than integers, misalnya functions or strings -- one essential example is [[polinomial Fibonacci]].

==Numbers properties==
===Periodicity mod ''n'': Pisano periods===
It is easily seen that if  members of  jujukan Fibonacci are taken mod ''n'',  resulting sequence must be [[periodic sequence|periodic]] with period at most <math>n^2</math>.   lengths of  periods for various ''n'' form  so-called [[Pisano period]]s {{OEIS|id=A001175}}.  Determining  Pisano periods in general is an open problem,{{Fact|date=March 2008}} although untuk sebarang particular ''n'' it can be solved as an instance of [[cycle detection]].

==bee ancestry code==
nombor Fibonacci also appear dalam description of  reproduction of a population of idealized bees, according to  following rules:
*If an egg is laid by an unmated female, it hatches a male.
*If, however, an egg was fertilized by a male, it hatches a female.

Thus, a male bee will always have one parent manakala a female bee will have two.

If one traces ancestry of any male bee (1 bee), he has 1 female parent (1 bee).  This female had 2 parents, a male and a female (2 bees).   female had two parents, a male and a female, and  male had one female (3 bees).  Those two females each had two parents, and  male had one (5 bees).  This sequence of numbers of parents is jujukan Fibonacci.<ref>[http://american-university.com/cas/mathstat/newstudents/shared/puzzles/fibbee.html The Fibonacci Numbers and the Ancestry of Bees]</ref>

This is an idealization that does not describe ''actual'' bee ancestries. In reality, some ancestors of a particular bee will always be sisters or brothers, thus breaking  lineage of distinct parents.

==Lain-lain==
Pada tahun 1963, John H. E. Cohn membuktikan segi empat dalam nombor Fibonacci adalah 0, 1, dan 144.<ref>{{cite article | title=Square Fibonacci Numbers Etc |author= J H E Cohn |journal= Fibonacci Quarterly | volume= 2 | year= 1964 | pages=109-113 | url= http://math.la.asu.edu/~checkman/SquareFibonacci.html}}</ref>

Pada tahun 1990, Jean-claude Perez menerbitkan karya kukuh berkenaan [[lengkung]] dunia dan sensitiviti nombor Fibonacci<ref>[[IEEE]] [http://ieeexplore.ieee.org/Xplore/login.jsp?url=/iel2/148/3745/00137678.pdf?arnumber=137678 Integers neural network systems (INNS) using resonance propertiesof a Fibonacciapos;s chaotic `golden neuronapos] 1990</ref><ref>[http://golden-ratio-in-dna.blogspot.com/2008/01/1992-order-and-chaos-in-dnathe-denis.html Golden ratio and numbers in DNA] 2008</ref>

==Lihat pula==
*[[Logarithmic spiral]]
*[[b:Atur cara bilangan Fibonacci|Atur cara bilangan Fibonacci]] di [[Bukuwiki]]
*[[Pertubuhan Fibonacci]]
*[[Fibonacci Quarterly]] &mdash; sebuah jurnal akademik devoted pada kajian nombor Fibonacci
*Bilangan [[Negafibonacci]]
*[[Bilangan Lucas]]

==Rujukan==
{{reflist|2}}

==Pautan luar==
{{external links}}
* Peter Marcer, ''[http://golden-ratio-in-dna.blogspot.com/2008/01/1992-order-and-chaos-in-dnathe-denis.html describing the discovery by jean-claude Perez of Fibonacci numbers structuring proportions of TCAG nucleotides within DNA]'', (1992).
* Ron Knott,  ''[http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html Golden Section: Phi]'', (2005).
* Ron Knott, ''[http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibrep.html Representations of Integers using nombor Fibonacci]'', (2004).
* Hrant Arakelian. ''Mathematics and History of The Golden Section''<nowiki>, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.)</nowiki>
* wallstreetcosmos.com, ''[http://www.wallstreetcosmos.com/elliot.html Fibonacci and stock market analysis]'', (2008).
* Juanita Lofthouse ''[http://arxiv.org/abs/physics/0411169 Fibonacci numbers and Red Blood Cell Dynamics]'', .
* Bob Johnson, ''[http://www.dur.ac.uk/bob.johnson/fibonacci/ Fibonacci resources]'', (2004)
* Donald E. Simanek, ''[http://www.lhup.edu/~dsimanek/pseudo/fibonacc.htm Fibonacci Flim-Flam]'', (undated, 2005 or earlier).
* Rachel Hall, ''[http://www.sju.edu/~rhall/Multi/rhythm2.pdf Hemachandra's application to Sanskrit poetry]'', (undated; 2005 or earlier).
* Alex Vinokur, ''[http://semillon.wpi.edu/~aofa/AofA/msg00012.html Computing Fibonacci numbers on a Turing Machine]'', (2003).
* (no author given), ''[http://www.goldenmeangauge.co.uk/fibonacci.htm Fibonacci number Information]'', (undated, 2005 or earlier).
* [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html nombor Fibonacci and  Golden Section] – Ron Knott's Surrey University multimedia web site on the Fibonacci numbers, Golden section and  Golden string.
*[http://www.mscs.dal.ca/Fibonacci/ Fibonacci Association] incorporated in [[1963]], focuses on nombor Fibonacci and related mathematics, emphasizing new results, research proposals, challenging problems, and new proofs of old ideas.
* Dawson Merrill's [http://www.goldenratio.org/info/ Fib-Phi] link page.
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=FibonacciPrime Fibonacci primes]
* [http://www.mathpages.com/home/kmath078.htm Periods of Fibonacci Sequences Mod m] at MathPages
* [http://www.upl.cs.wisc.edu/~bethenco/fibo/ The One Millionth Fibonacci Number]
* [http://www.bigzaphod.org/fibonacci/ The Ten Millionth Fibonacci Number]
* An [http://www.calcresult.com/maths/Sequences/expanded_fibonacci.html Expanded Fibonacci Series Generator]
* Manolis Lourakis, [http://www.ics.forth.gr/~lourakis/fibsrch/ Fibonaccian search in C]
* [http://www.physorg.com/news97227410.html Scientists find clues to the formation of Fibonacci lingkaran in nature]
*[http://web.archive.org/web/20070715032716/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=630&bodyId=1002 Fibonacci number] at [http://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]
* [http://www.tools4noobs.com/online_tools/fibonacci/ Online Fibonacci calculator]

[[Kategori:Fibonacci numbers|*]]
[[Kategori:Articles containing proofs]]

<!-- interwiki -->