Revision 2226388 of "Siri Fourier" on mswiki

[[Fail:[[Fail:Contoh.jpg]]]][[Fail:Fourier Series.svg|thumb|right|180px|Empat penganggapan siri yang pertama untuk sebuah [[gelombang segi empat sama]].]]
{{Fourier transforms}}<!--To edit this template go to the page Template:Fourier transforms-->
Dalam [[matematik]], '''siri Fourier''' menguraikan suatu [[fungsi kesemasaan|fungsi kesemasaan atau tanda kesemasaan]] ke dalam jumlah fungsi berayun ringkas, digelarkan [[gelombang sinus|sinus dan kosinus]]  (atau [[eksponensi kompleks]]). Kajian siri Fourier adalah secabang [[analisis Fourier]]. Siri Fourier diperkenalkan oleh [[Joseph Fourier]] (1768–1830) untuk tujuan menyelesaikan [[persamaan panas]] pada suatu plat logam.

Persamaan panas adalah [[persamaan kebezaan separuh]]. Sebelum karya Fourier, tiada jawapan yang dikenali pada persamaan panas pada suatu keadaan umum, walaupun jawapan khsus telah diketahui jika sumber panas berkelakukan dalam suatu cara yang mudah, pada khususnya, jika sumber panas adalah gelombang [[sinus]] atau [[kosinus]]. Jawapan ringkas ini kini kadang-kadang digelar [[Eigenvalue, eigenvector dan eigenspace|eigensolutions]]. Gagasan Fourier adalah untuk memodelkan suatu sumber panas rumit sebagai kedudukan hebat (atau [[penggabungan lurus]]) sinus ringkas atau gelombang kosinus, dan untuk menulis jawapan sebagai kedudukan hebat eigensolution berkorespon. Penggabungan kedudukan hebat atau lurus digelarkan siri Fourier.

Walaupun dorongan asal adalah untuk menyelesaikan [[persamaan panas]], ia kemudian menjadi jelas bahawa teknik-teknik sama dapat digunakan pada barisan lebar pada masalah matematik dan fizikal. Akibat asas adalah sangat mudah untuk memahami menggunakan teori moden.

Siri Fourier mempunyai banyak penggunaan dalam [[kejuruteraan elektrik]], analisis [[perayunan|getarak]], [[akustik]], [[optik]], [[pemerosesan isyarat]], [[pemerosesan imej]], [[mekanik kuantum]], dsb.

== Perkembangan sejarah ==
[[Fail:Fourier2.jpg|thumb|200px|right|[[Joseph Fourier]] memulakan kajian siri Fourier supaya dapat menyelesaikan [[persamaan panas]].]]

Siri Fourier dinamakan pada hormatnya [[Joseph Fourier]] (1768-1830), yang membuat sumbangan penting pada kajian siri trigonometri, selepas siasatan pendahuluan oleh [[Leonhard Euler]], [[Jean le Rond d'Alembert]], dan [[Daniel Bernoulli]]. Dia menggunakan teknik ini untuk mencari jawapan pada [[persamaan panas]], menerbitkan keputusan permulaannya dalam ''[[Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides]]'' 1807 dan 1811, dan menerbitkan ''Théorie analytique de la chaleur'' pada 1822.

Dari sudut pandangan moden, keputusan Fourier adalah agak tidak rasmi, oleh kerana kekurangan suatu tanggapan tepat ''[[fungsi (matematik)|fungsi]]'' dan ''[[integral]]'' dalam awak abad kesembilanbelas. Kemudian, [[Dirichlet]] dan [[Riemann]] menjelaskan keputusan Fourier dengan ketepatan dan kerasmian.

== Rencana revolusi ==

{{cquote|<math>\varphi(y)=a\cos\frac{\pi y}{2}+a'\cos 3\frac{\pi y}{2}+a''\cos5\frac{\pi y}{2}+\cdots.</math>

Mendarabkan kedua-dua belah dengan <math>\cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}</math>, dan kemudian menyatukan dari <math>y=-1</math> to <math>y=+1</math> menghasilkan:

<math>a_i=\int_{-1}^1\varphi(y)\cos(2i+1)\frac{\pi y}{2}\,dy.</math>

|30px|30px|Joseph Fourier|[[Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides]], pp. 218–219.<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33707.image.r=Oeuvres+de+Fourier.f223.pagination.langFR Gallica - Fourier, Jean-Baptiste-Joseph (1768-1830). Oeuvres de Fourier. 1888<!-- Bot generated title -->]</ref>}}

Dalam sedikit baris-baris ini, yang secara menghairankan dekat dengan kerasmian moden digunakan dalam siri Fourier, Fourier dengan cara tidak kepintaran akal menrevolusikan matematik dan fizik. Walaupun siri trigonometri mirip telah terdahulunya digunakan oleh [[Euler]], [[d'Alembert]], [[Daniel Bernoulli]] dan [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], Fourier mempercayai bahawa sebarangan siri trigonometri dapat mewakili fungsi ''sembarangan''.  Dalam apa segi yang sebenarnya benar adalah isu yang agak subtle dan percubaan ke atas beberapa tahun untuk menjelaskan gagasan ini telah membawa ke penemuan penting dalam teori [[Siri pertumpuan|pertumpuan]], [[ruang fungsi]], dan [[analisis berharmoni]].

Apabila Fourier menyerahkan kertas kerjanya pada 1807, jawatankuasa (yang termasuk [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]], [[Laplace]], [[Etienne-Louis Malus|Malus]] adan [[Legendre]], di kalangan yang lain) menutupkan: ''...dengan cara yang mana pengarang tiba pada persamaan ini tidak dikecualikan dari kesusahan dan [...]  analisisnya untuk menyatukan mereka masih meninggalkan suatu yang dipuaskan pada skor keumuman dan juga keketatan''.

=== Kelahitan analisis berharmoni ===
Sejak zaman Fourier, banyak pencapaian berlainan untuk mentakrifkan dan memahami konsep siri Fourier telah ditemukan, kesemuanya konsisten dengan satu sama lain, tetapi tiapnya yang beremfasiskan aspek berlainan topik. Sesetengah kecapaian lebih berkuasa dan mewah berasaskan gagasan dan alat matematik yang tidak ada sewaktu Fourier menyelesaikan karya asalnya. Fourier terdahulunya mentakrifkan siri Fourier untuk fungsi nilai benar perdebatan benar, dan menggunakan fungsi sinus dan kosinussebagai [[asas (algebra garis lurus)|set asas]] untuk decomposition.

[[Senarai penukaran berkaitan Fourier|penukaran berkaitan Fourier]] telah sejak ditakrifkan, mengembangkan gagasan permulaan pada penggunaan lain. Kawasan umum pertanyaan ini sekarang kadang-kadang digelar [[analisis berharmoni]]. Siri Fourier, meskipun, hanya dapat digunakan untuk isyarat kesemasaan.

== Takrifan ==

Dalam bahagian ini, ''ƒ''(''x'') menandakan fungsi pembolehubah asli ''x''. Fungsi ini biasanya diambilkan [[Fungsi kesemasaan|kesemasaan]] tempoh 2π, yang dikatakan bahawa ''ƒ''(''x''&nbsp;+&nbsp;2''π'')&nbsp;= ''ƒ''(''x''), untuk semua nombor asli ''x''. Kita akan cuba untuk menulis fungsi sebarang sebagai jumlah tidak terhad, atau [[siri (matematik)|siri]] fungsi tempoh 2π lebih ringkas. Kita akan bermula dengan menggunakan jumlah terhad fungsi [[sinus]] dan [[kosinus]] pada interval [−''π'',&nbsp;''π''], seperti Fourier telah lakukan (lihat petikan di atas), dan kita akan kemudian membincangkan rumusan dan pengumuman berlainan. 

=== Rumusan Fourier untuk fungsi kesemasaan 2''π'' menggunakan sinus dan kosinus ===

Untuk suatu fungsi kesemasaan 2''π'' ''ƒ''(''x'') yang menyatukan pada [−''π'',&nbsp;''π''], angka-angkanya 

:<math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos(nt)\, dt, \quad n \ge 0</math>

dan

:<math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t) \sin(nt)\, dt, \quad n \ge 1</math>

digelar koefisien Fourier ''ƒ''.  Seorang memperkenalkan ''jumlah separuh siri Fourier'' untuk ''ƒ'', sering dilambangkan oleh

:<math>(S_N f)(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)], \quad N \ge 0.</math> 

Jumlah separuh untuk ''ƒ''  adalah ''[[polinomial trigonometri]]''.  Seorang menganggapkan bahawa fungsi ''S''<sub>''N''</sub>&nbsp;''ƒ'' lebih kurang fungsi ''ƒ'', dan penganggaran itu  memperbaiki apabila ''N'' lebih mirip kepada infiniti.  [[Siri (matematik)#Takrifan rasmi|jumlah tidak terbatas]]

:<math>\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]</math> 

digelarkan '''siri Fourier''' pada ''ƒ''. 

Siri Fourier tidak sentiasa bertumpuan, dan juga apabila ia bertumpuan untuk suatu nilai khas ''x''<sub>0</sub> of ''x'', jumlah siri pada ''x''<sub>0</sub> boleh berlainan dari nilai ''ƒ''(''x''<sub>0</sub>) fungsi. Ia adalah satu dari soalan-soalan utama dalam [[analisis berharmoni]] untuk berkeputusan apabila siri Fourier bertumpuan, dan apabila jumlah sama dengan fungsi asal.  Jika sebuah fungsi adalah [[Fungsi menyatukan#Penyatuan segi empat sama|penyatuan segi empat sama]] pada ketibaan [−''π'',&nbsp;''π''], kemudian siri Fourier bertumpuan di ''[[hampir tiap]]'' sudut.  Pada penggunaan [[kejuruteraan]], siri Fourier biasanya dianggapkan untuk bertumpuan di mana-mana kecuali di ketidaksinambungan, sejak fungsi encountered dalam kejuruteraan adalah lebih berkelakuan lebih baik daripada yang ahli matematik dapat memperolehi contoh balas pada anggapan ini. Pada khususnya, siri bertumpuan secara keseluruhan dan mengikut seragam dengan ''ƒ''(''x'') apabila derivatif ''ƒ''(''x'') (yang mungkin belum bermuncul di mana-mana) penyatuan segi empat sama.<ref>{{cite book | title = Fourier Series | author = Georgi P. Tolstov | publisher = Courier-Dover | year = 1976 | isbn = 0486633179 | url = http://books.google.com/books?id=XqqNDQeLfAkC&pg=PA82&dq=fourier-series+converges+continuous-function&ei=L0rJSMvANIPsswOs-pzXDA&sig=ACfU3U3teR3Wwlu7HYq_qHV4QZqj6sYP5A }}</ref>  See [[Convergence of Fourier series]].

Ia boleh jadi untuk mentakrifkan koefisien Fourier untuk fungsi umum atau penyumbangan, dalam sesetengah perkara dalam norma atau [[Pertumpuan lemah (ruang Hilbert)|pertumpuan lemah]] adalah biasanya pada kecenderungan.

=== Contoh: suatu siri Fourier ringkas ===
[[Fail:Periodic identity.png|thumb|right|400px|Plot fungsi pengenalan kesemasaan—[[gelombang gigi gergaji]]]]
[[Fail:Periodic identity function.gif|thumb|right|400px|Plot beranimasi pertama dari lima siri Fourier separuh berturutan]]

Kita sekarnag gunakan rumusan di atas untuk memberikan pemanjangan siri Fourier pada fungsi yang sangat ringkas. Anggapkan [[gelombang sawtooth]] 

:<math>f(x) = x, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,</math>
:<math>f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{for }   -\infty < x < \infty.</math>

Dalam hal ini, koefisien Fourier diberikan dengan

:<math>\begin{align}
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}</math>

Ia dapat dibuktikan bahawa siri Fourier menumpu dengan ''ƒ''(''x'') di tiap sudut ''x'' di mana ''ƒ'' adalah kebezaan, dan oleh itu''':'''

{{NumBlk|:
|<math>
\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbf{Z}.
\end{align}
</math>
|{{EquationRef|Eq.1}}}}

Apabila ''x''&nbsp;= π, siri Fourier menumpu dengan 0, yang adalah jumlah separuh had kiri dan kanan ''ƒ'' di  ''x''&nbsp;= π.  Ini adalah contoh khusus [[Pertumpuan siri Fourier#Pertumpuan di suatu sudut diberikan|teorem Dirichlet]] untuk siri Fourier.

[[Fail:Fourier heat in a plate.png|thumb|right|Pengedaran panas di sebuah plat logam, menggunakan kaedah Fourier]]

Seorang menyatakan bahawa pemanjangan siri Fourier dari fungsi kita lihat kurang ringkas daripada rumusan ''ƒ''(''x'') = ''x'', dan oleh itu ia tidak selanjutnya ketara mengapa seorang memerlukan siri Fourier ini. Sementara ada banyaknya penggunaan, kita memetik dorongan Fourier pada penyelesaian persamaan panas. Contohnya, anggapkan sebuah plat logam dalam bentuk segi empat sama yang tepinya berukuran ''π'' meter, dengan koordinat (''x'',&nbsp;''y'') ∈ [0,&nbsp;''π'']&nbsp;×&nbsp;[0,&nbsp;''π'']. Jika tiadanya sumber panas di dalam plat, dan jika tiga dari empat tepi ditahankan pada 0 darjah [[Selsius]], sementara tepi keempat, diberikan oleh ''y'' = π, dikekalkan di kecerunan suhu darjah ''T''(''x'',&nbsp;''π'') = ''x'' darjah Selsius,  untuk ''x'' dalam (0,&nbsp;''π''), kemudian seorang dapat menunjukkan bahawa pengedaran panas tidak bergerak (atau pengedaran panas selepas suatu jangka panjang waktu telah elapsed) diberikan oleh

: <math>T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.</math>

Di sini, sinh adalah fungsi [[sinus hyperbolik]]. Jawapan ini pada persamaan panas diperolehi dengan mendarabkan tiap terma &nbsp;{{EquationNote|Eq.1}} oleh sinh(''ny'')/sinh(''n''π). Sementara fungsi contoh kita ''f''(''x'') kelihatan telah mempunyai siri Fourier susah yang tidak berguna, pengedaran panas ''T''(''x'',&nbsp;''y'') is nontrivial. Fungsi ''T'' tidak dapat dituliskan sebagai [[penjelasan bentuk tutup]]. Kaedah menyelesaikan masalah panas ini hanya dilakukan oleh karya Fourier.

Satu lagi penggunaan siri Fourier ini adalah untuk menyelesaikan [[masalah Basel]] dengan menggunakan [[teorem Parseval]]. Contoh ini mengumumkan dan seorang dapat mengirakan [[fungsi zeta Riemann|ζ]](2''n''), untuk mana-mana integer positif ''n''.

=== Siri Fourier Eksponensi ===

Kita gunakan [[rumusan Euler]],

: <math> e^{inx} = \cos(nx)+i\sin(nx), \,</math>

di mana ''i'' adalah [[unit bayangan]], untuk memberikan rumusan yang lebih ringkas''':'''

:<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}.</math>

Koefisien Fourier diberikan oleh''':'''

:<math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx}\, dx.</math>

Koefisien Fourier ''a''<sub>''n''</sub>, ''b''<sub>''n''</sub>, ''c''<sub>''n''</sub> berkaitan melalui

:<math>a_n = { c_n + c_{-n} }\text{ for }n=0,1,2,\dots,\,</math>

dan

:<math>b_n = i( c_{n} - c_{-n} )\text{ for }n=1,2,\dots\,</math>

Catatan ''c''<sub>''n''</sub> tidak cukup membincangkan koefisien Fourier pada beberapa fungsi berlainan. Oleh itu ia secara kelaziman digantikan dengan bentuk yang diubahsuai ''ƒ'' (dalam hal ini), sepertinya ''F'' or <math>\scriptstyle\hat{f},</math>&nbsp; dan catatan berfungsi sering menggantikan langganan.&nbsp; Thus''':'''

:<math>
\begin{align}
f(x) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\cdot e^{inx} \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F[n]\cdot e^{inx} \quad \mbox{(kejuruteraan)}.
\end{align}
</math>

Dalam kejuruteraan, khususnya apabila pembolehubah ''x'' mewakili waktu, langkah koefisien digelar perwakilan [[domain frekuensi]].  Tanda kurung segi empat sering digunakan untuk mengemfasiskan bahawa domain fungsi ini adalah suatu set '''pertimbang''' frekuensi.

=== Siri Fourier pada jarak waktu am [''a'',&nbsp;''b''] ===

Rumusan berikut dengan koefisien nilai kompleks sesuai ''G''[''n''], adalah fungsi fungsi kesemasaan ''τ'' pada semua '''R:'''

:<math>g(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty G[n]\cdot e^{i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\ .</math>

Jika fungsi adalah [[square-integrable]] dalam interval [''a'',&nbsp;''a''&nbsp;+&nbsp;''τ''], ia dapat diwakili dalam interval itu dengan rumusan di atas.  Jika ''g''(''x'') integrable, oleh itu koefisien Fourier diberikan oleh''':'''

:<math>G[n] = \frac{1}{\tau}\int_a^{a+\tau} g(x)\cdot e^{-i 2\pi \frac{n}{\tau} x}\, dx.</math>

Nyatakan bahawa jika fungsi diwakili juga kesemasaan ''τ'', oleh itu ''a'' adalah pilihan arbitrary.  Dua pilihan masyhur adalah ''a''&nbsp;=&nbsp;0, dan ''a''&nbsp;=&nbsp;−''τ''/2.

Suatu lagi perwakilan domain frekuensi digunakan umum menggunakan koefisien siri Fourier untuk memindanadakan [[sikat Dirac]]''':'''

:<math>
G(f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{\tau}\right)
</math>

di mana pembolehubah ''ƒ'' mewakili sebuah domain frekuensi '''berterusan'''.  Apabila pembolehubah ''x'' mempunyai unitan saat, ''ƒ'' mempunyai unitan [[hertz]].  "Gigi" sikat diruangkan di darab (iaitu [[harmonik]]) 1/''τ'', yang digelarkan [[frekuensi asas]]. ''G''(''x'') terdahulunya dapat dipulihkan dari kewakilan ini dengan [[Pemindahan Fourier|pemindahan Fourier terbalik]]''':'''

:<math>
\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\{G(f)\} &=
\mathcal{F}^{-1}\left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{\tau}\right)\right\}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\left\{\delta\left(f-\frac{n}{\tau}\right)\right\}}_{e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x}\cdot \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\delta (f)\}}_{1}}\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} G[n]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x} \quad = \ \ g(x).
\end{align}
</math>

Fungsi ''G''(''ƒ'') oleh itu pada umumnya dirujukkan '''pemindahan Fourier''', walaupun integral Fourier pada fungsi kesemasaan tidak bertumpu.<ref>
sejak integral mentakrifkan pemindahan Fourier fungsi kesemasaan tidak bertumpu, ia diperlukan untuk memandang fungsi kesemasaan dan pemindahannya sebagai [[Pengedaran (matematik)|[pengedaran]].  Dalam segi ini <math>\mathcal{F}\{e^{i2\pi \frac{n}{\tau} x}\}</math> adalah [[fungsi delta Dirac]], yang adalah sebuah contohnya [[Pengedaran (matematik)|pengedaran]].</ref>

=== Siri Fourier pada sebuah segi empat sama ===
Kita juga dapat mentakrifkan siri Fourier untuk fungsi dua pembolehubah ''x'' dan ''y'' dalam segi empat sama [−''π'',&nbsp;''π'']×[−''π'',&nbsp;''π'']''':'''

:<math>f(x,y) = \sum_{j,k \in \mathbb{Z}\text{ (integer)}} c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},</math>
:<math>c_{j,k} = {1 \over 4 \pi^2} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x,y) e^{-ijx}e^{-iky}\, dx \, dy.</math>

Selain dari menjadi berguna untuk menyelesaikan persamaan kebezaan seperti persamaan panas, satu penggunaan terkenal siri Fourier pada segi empat sama adalah [[kemampatan imej]]. Khususnya, piawai imej kemampatan [[jpeg]] menggunakan [[penukaran kosinus pertimbang]] dua dimensi, yang adalah penukaran Fourier menggunakan fungsi asas kosinus.

=== Terjemahan ruang Hilbert ===

{{main|Ruang Hilbert}}

Dalam bahasa [[ruang Hilbert]], set fungsi <math>\{ e_n = e^{i n x},n\in\mathbb{Z}\}</math> adalah [[asas ortobiasa]] untuk ruang <math>L^2([-\pi,\pi])</math> fungsi square-integrable <math>[-\pi,\pi]</math>. Ruang ini sebenarnya adalah [[ruang Hilbert]] dengan [[hasil bahagian dalam]] diberikan oleh''':'''

:<math>\langle f, g \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.</math>

Siri Fourier asas mengakibatkan untuk ruang Hilbert dapat dituliskan sebagai

:<math>f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,e_n \rangle \, e_n.</math>

Ini berkorespon tepat dengan rumusan eksponensi kompleks diberikan di atas. Versi ini dengan sinus dan kosinus juga dipertahankan dengan terjemahan ruang Hilbert. Sudah tentu, sinus dan kosinus membantukkan suatu [[set ortobiasa|set ortogonal]]:

:<math>\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \cos(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1, \, </math>
:<math>\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\, \sin(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1</math>

(di mana <math>\delta_{mn}</math> adalah [[delta Kronecker]]), dan

:<math>\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \sin(nx)\, dx = 0 \, ;\,</math>

tambahan, sinus dan kosinus adalah orthogonal dengan fungsi tetap&nbsp;'''1'''.  Suatu ''asas ortobiasa'' untuk ''L''<sup>2</sup>([−''π'',&nbsp;''π'']) terdiri dari fungsi asli dibentuk oleh fungsi '''1''', dan √2&nbsp;cos(''n&nbsp; x''),  √2&nbsp;sin(''n&nbsp;x'') for ''n''&nbsp;= 1,&nbsp;2,...&nbsp; Kepadatan spana mereka adalah akibatnya The density of their span is [[teorem Stone–Weierstrass]], tetapi diikuti juga dari ciri-ciri intisari klasik seperti [[intisari Fejér]].

== Ciri-ciri ==
Kita mengatakan bahawa ''ƒ'' dipunyai   <math>C^k(\mathbb{T})</math>  jika ''ƒ'' adalah sebuah fungsi kesemasaan 2π pada '''R''' yang adalah ''k'' kali differentiable, dan derivatif ke-''k'' adalah berlanjutan.

* Jika ''ƒ'' adalah sebuah [[fungsi ganjil]] kesemasaan 2π, kemudian <math>a_n=0</math>  untuk semua ''n''.

* Jika ''ƒ'' adalah [[fungsi genap]] kesemasaan 2π, kemudian <math>b_n=0</math>  untuk semua ''n''.

* Jika ''ƒ'' adalah [[bersatuan]], <math>\lim_{|n|\rightarrow \infty}\hat{f}(n)=0</math>, <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=0</math> and <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=0.</math>  Keputusan ini digelarkan [[lemma Riemann–Lebesgue]].

* Jika <math>f \in C^1(\mathbb{T})</math>, kemudian koefisien Fourier <math>\hat{f'}(n)</math> pada derivatif <math>f'(t)</math> dapat dijelaskan dalam segi koefisien Fourier <math>\hat{f}(n)</math> fungsi <math>f(t)</math>, melalui rumusan <math>\hat{f'}(n) = in \hat{f}(n)</math>.

* Jika <math>f \in C^k(\mathbb{T})</math>, kemudian <math>\widehat{f^{(k)}}(n) = (in)^k \hat{f}(n)</math>. Khususnya, sejak <math>\widehat{f^{(k)}}(n)</math> berlebih kepada kosong, kita mempunyai yang <math>|n|^k\hat{f}(n)</math> lebih kepada kosong, yang bermakna bahawa koefisien Fourier bertumpuan dengan kosong lebih cepat daripada kuasa ke-''k'' dari ''n''.

* [[Teorem Parseval]]. ''Jika <math>f \in L^2([-\pi,\pi])</math>, kemudian <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} |\hat{f}(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx</math>.''

* [[Teorem Plancherel]]. ''Jika <math>c_0,\, c_{\pm 1},\, c_{\pm 2},\ldots</math> adalah koefisien dan <math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 < \infty</math> kemudian adanya fungsi unik <math>f\in L^2([-\pi,\pi])</math> yang bahawa <math>\hat{f}(n) = c_n</math> untuk tiap ''n''.

* [[Teorem perlingkaran]] menyatakan bahawa jika ''ƒ'' dan ''g'' adalah dalam ''L''<sup>1</sup>([−π,&nbsp;π]), kemudian <math>\widehat{f*g}(n) = \hat{f}(n)\hat{g}(n)</math>, di mana ''ƒ''&nbsp;∗&nbsp;''g'' menandakan [[perlingkaran]] kesemasaan 2π ''ƒ'' dan ''g''.

== Perkara umum ==

Ada banyak lebuh kemungkinan untuk mengumumkan siri Fourier. Pengajian siri Fourier dan pengumumannya digelarkan [[analisis harmonik]].

=== Fungsi mengumumkan ===

{{main|Fungsi mengumumkan|Pengedaran (matematik)}}

Seorang dapat memanjang tanggapan koefisien Fourier pada fungsi yang bukan penyatuan punca kuasa dua, dan juga pada benda yang tidak berfungsi. Ini sangat berguna dalam kejuruteraan dan penggunaan kerana kita sering perlu mengambil siri Fourier dari suatu perulangan kesemasaan sebuah [[fungsi delta Dirac]]. Dirac delta ''δ'' bukanlah sebenarnya sebuah fungsi; masih, ia mempunyai [[penjelmaan Fourier]] dan perulangan kesemasaannya mempunyai siri Fourier:

: <math>\hat{\delta}(n)={1 \over 2\pi}\text{ for every }n.\,</math>

Pengumuman ini pada pengedaran membesarkan domain takrifan penjelmaan Fourier dari ''L''<sup>2</sup>([−''π'',&nbsp;''π'']) pada suatu set hebat ''L''<sup>2</sup>. Siri Fourier bertumpuan [[pertumpuan lemah|secara lemah]].

=== Kelompok padat ===

{{main|Kelompok padat|Kelompok tipu}}

Salah satu ciri-ciri menarik penjelmaan Fourier adalah bahawa kita telah menyebutkan, adalah bahawa ia mengangkat konvolusi pada produk dari segi sudut. Jika itulah ciri yang kita ningin mengekalkan, seorang dapat menghasilkan siri Fourier pada mana-mana [[kelompok padat]]. Contoh-contoh kebiasaan termasuk pada [[kelompok klasik]] yang padat. Ini mengumumkan penjelmaan Fourier pada semua ruang bentuk ''L''<sup>2</sup>(''G''), di mana ''G'' adalah sebuah kelompok padat, sebarang cara yang penjelmaan Fourier mengangkat [[perlingkaran]] ke produk dari segi sudut. Siri Fourier wujud dan bertumpu dalam cara-cara mirip dengan hal [−''π'',&nbsp;''π''].

=== Lipatan berganda Riemannian ===

[[Fail:AtomicOrbital n4 l2.png|thumb|right|[[Orbit atomik]] [[kimia]] adalah [[harmonik bersferi]] dan dapat digunakan untuk menghasilkan siri Fourier pada [[sfera]].]]

{{main|Laplace operator|Lipatan berganda Riemannian}}

Jika domain bukan sebuah kelompok, oleh itu tidak adanya perlingkaran yang ditakrifkan secara intrinsik. Meskipun, jika ''X'' adalah sebuah [[berlipat ganda Riemannian]] [[Ruang padat|padat]], ia mempunyai sebuah operator Laplace-Beltrami. Pejalan Laplace-Beltrami adalah operator kebezaan yang berkorespon dengan [[operator Laplace operator]] untuk berlipat ganda Riemannian ''X''. Oleh itu, mengikut analogi, seorang dapat menganggapkan persamaan panas pada ''X''.   Sejak Fourier tiba di asasnya dengan cuba menyelesaikan persamaan panas, pengumuman asli adalah dengan menggunakan eigensolutions operator Laplace-Beltrami sebagai suatu asas. Ini mengumumkan siri Fourier ke ruang-ruang jenis ''L''<sup>2</sup>(''X''), where ''X'' adalah sebuah berlipat ganda Riemannian. Siri Fourier bertumpu dalam cara-cara mirip dengan hal [−''π'',&nbsp;''π'']. Sebuah contoh kebiasaan adalah dengan mengambil ''X'' untuk dijadikan sfera dengan metrik biasa, hal di mana asas Fourier terdiri dari [[harmonik sfera]].

=== Kelompok Abelian padat mengikut tempatan ===

{{main|Kedwian Pontryagin}}

Pengumuman pada kelompok padat dibincangkan di atas tidak diumumkan pada bukan padat, kelompok bukan abelian. Meskipun, adanya pengumuman lurus pada kelompok Locally Compact Abelian (LCA).

Ini mengumumkan penjelmaan Fourier pada ''L''<sup>1</sup>(''G'') atau ''L''<sup>2</sup>(''G''), di mana ''G'' adalah sebuah kelompok LCA. Jika ''G'' adalah padat, satu juga memperolehi siri Fourier, yang bertumpu secara mirip dengan hal [−''π'',&nbsp;''π''], tetapi jika ''G'' adalah bukan padat, darpida itu satu memperolehi sebuah [[integral Fourier]]. Pengumuman ini menghasilkan [[penjelmaan Fourier]] biasa apabila kelompok Abelian yang padat secara tempatan dijadikan asas adalah <math>\mathbb{R}</math>.

== Penganggaran dan pertumpuan siri Fourier ==

Suatu soalan penting untuk teori dan juga penggunaan adalah yang pada pertumpuan. Pada khususnya, ia sering diperlukan pada penggunaan untuk menggantikan siri tidak terhad <math>\sum_{-\infty}^\infty</math>  dengan satu yang terhad,

:<math>(S_N f)(x) = \sum_{n=-N}^N \hat{f}(n) e^{inx}.</math>

Ini digelarkan ''jumlah separuh''. Kita ingin tahu, pada segi apa yang (''S''<sub>''N''</sub>&nbsp;''ƒ'')(''x'') bertumpu dengan ''ƒ''(''x'') sebagai ''N'' lebih mirip kepada ketidakterhadan.

=== Ciri punca kuasa dua yang terkurang ===

Kita mengatakan bahawa ''p'' adalah [[polinomial trigonometri]] darjah ''N'' apabila ia pada bentuk

:<math>p(x)=\sum_{n=-N}^N p_n e^{inx}.</math>

Nyatakan bahawa ''S<sub>N</sub>''&nbsp;''ƒ'' adalah polinomial trigonometri darjah ''N''. Teorem Parseval  bahawa 

Teorem. ''Polinomial trigonometri S<sub>N</sub>&nbsp;ƒ adalah polinomial trigonometri terbaik unik pada darjah N menganggarkan ƒ(x), dalam segi itu bahawa, untuk mana-mana polinomial trigonometri <math>p\neq S_N f</math> darjah N, kita mempunyai  <math>\|S_N f - f\|_2 < \|p - f\|_2.</math>''

Di sini, bentuk ruang Hilbert adalah

:<math>\| g \|_2 = \sqrt{{1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |g(x)|^2 \, dx}.</math>

=== Pertumpuan ===
{{main|Pertumpuan siri Fourier }}

Because of the least squares property, and because of the completeness of the Fourier basis, we obtain an elementary pertumpuan result.

'''Theorem.''' If ''ƒ'' belongs to ''L''<sup>2</sup>([−π,&nbsp;π]), then the Fourier series converges to ''ƒ'' in ''L''<sup>2</sup>([−π,&nbsp;π]), that is,  <math>\|S_N f - f\|_2</math> converges to 0 as ''N'' goes to infinity.

We have already mentioned that if ''ƒ'' is continuously differentiable, then  <math>i n \hat{f}(n)</math>  is the ''n''th Fourier coefficient of the derivative ''ƒ''′.  It follows, essentially from the [[Cauchy-Schwarz inequality]], that the Fourier series of ''ƒ'' is absolutely summable.  The sum of this series is a continuous function, equal to ''ƒ'', since the Fourier series converges in the mean to ''ƒ'':

'''Theorem.''' If  <math>f \in C^1(\mathbb{T})</math>, then the Fourier series converges to ''ƒ'' [[Pertumpuan segaram|secara seragam]] (and hence also [[pointwise pertumpuan|pointwise]].)

This result can be proven easily if ''ƒ'' is further assumed to be ''C''<sup>2</sup>, since in that case <math>n^2\hat{f}(n)</math> tends to zero as <math>n\to\infty</math>.  More generally, the Fourier series is absolutely summable, thus converges uniformly to ''ƒ'', provided that ''ƒ'' satisfies a [[Hölder condition]] of order α&nbsp;>&nbsp;½.  In the absolutely summable case, the inequality  <math>\sup_x |f(x) - (S_N f)(x)| \le \sum_{|n| > N} |\hat{f}(n)|</math>  proves uniform pertumpuan.  

Many other results concerning the [[pertumpuan of Fourier series]] are known, ranging from the moderately simple result that the series converges at ''x'' if ''ƒ'' is differentiable at ''x'', to [[Lennart Carleson]]'s much more sophisticated result that the Fourier series of an ''L''<sup>2</sup> function actually converges [[almost everywhere]].

These theorems, and informal variations of them that don't specifty the pertumpuan conditions, are sometimes referred to generically as "Fourier's theorem" or "the Fourier theorem".<ref>{{cite book
 | title = Circuits, signals, and systems
 | author = William McC. Siebert
 | publisher = MIT Press
 | year = 1985
 | isbn = 9780262192293
 | page = 402
 | url = http://books.google.com/books?id=zBTUiIrb2WIC&pg=PA402&dq=%22fourier%27s+theorem%22&lr=&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=UZ3mSeO2A5PikwSRspGSAQ
 }}</ref><ref>{{cite book
 | title = Advances in Electronics and Electron Physics
 | author = L. Marton and Claire Marton
 | publisher = Academic Press
 | year = 1990
 | isbn = 9780120146505
 | page = 369
 | url = http://books.google.com/books?id=27c1WOjCBX4C&pg=PA369&dq=%22fourier+theorem%22&lr=&as_drrb_is=q&as_minm_is=0&as_miny_is=&as_maxm_is=0&as_maxy_is=&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=bpXmSde-MI6QkASd_ZWfAQ
 }}</ref><ref>{{cite book
 | title = Solid-state spectroscopy
 | author = Hans Kuzmany
 | publisher = Springer
 | year = 1998
 | isbn = 9783540639138
 | page = 14
 | url = http://books.google.com/books?id=-laOoZitZS8C&pg=PA14&dq=%22fourier+theorem%22&lr=&as_drrb_is=q&as_minm_is=0&as_miny_is=&as_maxm_is=0&as_maxy_is=&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=bpXmSde-MI6QkASd_ZWfAQ#PPA14,M1
 }}</ref><ref>{{cite book
 | title = Brain and perception
 | author = Karl H. Pribram, Kunio Yasue, and Mari Jibu
 | publisher = Lawrence Erlbaum Associates
 | year = 1991
 | isbn = 9780898599954
 | page = 26
 | url = http://books.google.com/books?id=nsD4L2zsK4kC&pg=PA26&dq=%22fourier+theorem%22&lr=&as_drrb_is=q&as_minm_is=0&as_miny_is=&as_maxm_is=0&as_maxy_is=&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES&ei=bpXmSde-MI6QkASd_ZWfAQ#PPA26,M1
 }}</ref>

=== Penyimpangan ===

Sejak siri Fourier mempunyai ciri-ciri penyimpanan baik, banyak orang sering hairan dengan keputusan negatif. Contohnya, siri Fourier pada fungsi kesemasaan ''T'' mengikut sudut berterusan tidak perlu bertumpu.

Pada 1922, [[Andrey Kolmogorov]] menerbitkan sebuah rencana berjudul "Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout" di mana dia memberikan contoh sebuah fungsi Lebesgue-integrable yang siri Fourier menyimpang hampir mana-mana. Dia kemudian membina sebuah contoh fungsi menyatu yang mana siri Fourier menyimpan di mana-mana {{harv|Katznelson|1976}}.

== Lihat pula ==
* [[Fenomena Gibbs]]
* [[Siri Laurent]] — penggantian ''q''&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>''ix''</sup> menukarkan siri Fourier ke duatu siri Laurent, atau secara akas. Ini digunakan dalam pemanjangan siri ''q'' pada [[ketidakkelainan j|ketidakkelainan ''j'']].
* [[Teori Sturm–Liouville]]
* [[Teorem ATS]]
* [[Pengubahan Pertimbang Fourier]]

== Nota ==

<references />

== Rujukan ==
* William E. Boyce and Richard C. DiPrima, ''Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems'', Eighth edition. John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2005. ISBN 0-471-43338-1
* {{cite book | author = Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman | title = The Analytical Theory of Heat | publisher = Dover Publications | year = published 1822, translated 1878, re-released 2003 | isbn = 0-486-49531-0 }}  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work ''Théorie Analytique de la Chaleur'', originally published in 1822.
* {{citation | last=Katznelson| first= Yitzhak| title=An introduction to harmonic analysis| edition = Second corrected | publisher = Dover Publications, Inc | year=1976 | location=New York |id= ISBN 0-486-63331-4}}
* [[Felix Klein]], ''Development of mathematics in the 19th century''. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from ''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert'', Springer, Berlin, 1928.
* Walter Rudin, ''Principles of mathematical analysis'', Third edition. McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. ISBN 0-07-054235-X

== Pautan luar ==

* [http://www.fourier-series.com/fourierseries2/fourier_series_tutorial.html An interactive flash tutorial for the Fourier Series] 
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory] Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms
* [http://www.falstad.com/fourier/ Java applet] shows Fourier series expansion of an arbitrary function
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Fourier_Series Example problems] - Examples of computing Fourier Series
* {{MathWorld | urlname= FourierSeries | title= Fourier Series}}
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/FourierSeriesComplexMod.html  Fourier Series Module by John H. Mathews]
* [http://www.shsu.edu/~icc_cmf/bio/fourier.html Joseph Fourier] - A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article
* [http://www.sfu.ca/sonic-studio/handbook/Fourier_Theorem.html SFU.ca] - 'Fourier Theorem'
* In the bottom of this [http://www.boutichesaid.cv.dz/FourierSeries/F_Series.htm interactive lecture], there is a Java animation showing how the '''Fourier series''' is affected when the term of rank n+1 is added to the n Fourier series terms.

{{planetmath|id=4718|title=example of Fourier series}}

[[Kategori:Siri Fourier| ]]
[[Kategori:Joseph Fourier]]

[[ar:متسلسلة فورييه]]
[[id:Deret Fourier]]
[[su:Dérét Fourier]]
[[bs:Fourierov red]]
[[bg:Ред на Фурие]]
[[ca:Sèrie de Fourier]]
[[cs:Fourierova řada]]
[[cy:Cyfres Fourier]]
[[da:Fourierrække]]
[[de:Fourierreihe]]
[[en:Fourier series]]
[[es:Serie de Fourier]]
[[fa:سری فوریه]]
[[fr:Série de Fourier]]
[[gl:Serie de Fourier]]
[[ko:푸리에 급수]]
[[hi:फ़ोरियर श्रेणी]]
[[it:Serie di Fourier]]
[[he:טור פורייה]]
[[kk:Фурье қатары]]
[[lt:Furjė eilutė]]
[[hu:Fourier-sor]]
[[mt:Serje ta' Fourier]]
[[nl:Fourierreeks]]
[[ja:フーリエ級数]]
[[nn:Fourierrekkje]]
[[pl:Szereg Fouriera]]
[[pt:Série de Fourier]]
[[ro:Serie Fourier]]
[[ru:Ряд Фурье]]
[[sq:Seritë e Furierit]]
[[si:ෆූරියර් ශ්‍රේණිය]]
[[sk:Fourierov rad]]
[[sl:Fourierjeva vrsta]]
[[sr:Фуријеов ред]]
[[fi:Fourier'n sarja]]
[[sv:Fourierserie]]
[[th:อนุกรมฟูรีเย]]
[[vi:Chuỗi Fourier]]
[[tr:Fourier serileri]]
[[uk:Ряд Фур'є]]
[[zh:傅里叶级数]]