Revision 2231836 of "Teori kebarangkalian" on mswiki

'''Teori kebarangkalian''' adalah cabang [[matematik]] berkenaan dengan analisis fenomena [[kerawakan statistik|rawak]].<ref>[http://www.britannica.com/ebc/article-9375936 Probability theory, Encyclopaedia Britannica]</ref> Tujuan utama teori kebarangkalian ialah [[pembolehubah rawak]], [[proses stokastik]], dan [[peristiwa (teori kebarangkalian)|peristiwa]]: peniskalaan matematik peristiwa [[penentuan|tak-berketentuan]] atau kuantiti yang diukur yang mungkin merupakan kejadian tunggal atau berkembang mengikut masa tampaknya secara rawak. Walapun satu lambungan syiling atau balingan dadu merupakan satu kejadian rawak, jika diulang banyak kali satu urutan peristiwa rawak akan menunjukkan pola statistik tertentu, yang boleh dikaji dan diramal. Dua hasil matematik berperwakilan yang menerangkan pola seperti ini ialah [[hukum bilangan besar]] dan [[teorem had memusat]].

Sebagai asas matematik untuk [[statistik]], teori kebarangkalian amat penting untuk banyak aktiviti manusia yang melibatkan analisis kuantitatif set data yang besar. Teknik teori kebarangkalian turut boleh digunakan dalam penerangan suatu sistem kompleks di mana hanyak sebahagian keadaannya diketahui, seperti dalam [[mekanik statistik]]. Satu penemuan besar dalam [[fizik]] abad ke-20 ialah sifat berkebarangkalian fenomena fizik pada skala atom, yang diterangkan dalam [[mekanik kuantum]].

== Sejarah ==
Teori matematik [[kebarangkalian]] mempunyai akarnya dalam percubaan untuk menganalisis [[mainan kesempatan]] oleh [[Gerolamo Cardano]] pada abad keenam belas, dan oleh [[Pierre de Fermat]] dan [[Blaise Pascal]] pada abad ketujuhbelas (contohnya "[[masalah poin]]").

Pada asasnya, teori kebarangkalian secara utama dianggap peristiwa '''rahsia''', dan caranya adalah utamanya [[combinatorics|combinatorial]]. Akhirnya, pertimbangan [[analisis matematik|peanalisisan]] 

Secara asas, teori kebarangkalian dianggap peristiwa '''discrete''', dan kaedah-kaedahnya kebanyakannya [[kombinatorik|kombinatorial]]. Akhirnya, penganggapan [[analisis matematik|analitik]] compelled penggubahan pembolehubah '''berlanjutan''' pada teori. Ini culminated dalam teori kebarangkalian moden, yayasan pada mananya terletak oleh [[Andrey Nikolaevich Kolmogorov]]. Kolmogorov menggabungkan tanggapan [[ruang sampel]], introduced by [[Richard von Mises]], dan '''[[teori ukuran]]''' dan menyampaikan [[Aksiom Kolmogorov|sistem aksiom]] untuk teori kebarangkalian pada 1933. Agak cepat ini menjadi tidak [[sistem aksiom|asas aksiomatik]] yang tidak dipertikaikan.<ref>[http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf "The origins and legacy of Kolmogorov's Grundbegriffe", by Glenn Shafer and Vladimir Vovk]</ref>

== Layanan ==
Kebanyakan pengenalan pada teori kebarangkalian melayan pengedaran kebarangkalian discrete dan pengedaran kebarangkalian berlanjut secara terasing. Teori asas ukuran lebih maju secara matematik layanan kebarangkalian meliputi yang discrete, yang berlanjutan, mana-mana campuran dari kedua-dua ini dan lebih.
 
=== Pengedaran kebarangkalian discrete ===
{{Main|Pengedaran kebarangkalian discrete}}
'''Teori Kebarangkalian discrete''' diuruskan dengan peristiwa-peristiwa yang bermuncul di ruang-ruang sampel [[berkira]]. 

Contoh: Membaling [[dadu]], bereksperimen dengan [[set daun terup]], dan [[jalan ganjil]].

'''Takrifan klasik:'''
Pada mulanya kebarangkalian suatu peristiwa bermuncul telah ditakrifkan sebagai bilangan perkara digemari untuk peristiwa itu, ke atas bilangan jumlah akibat dalam suatu ruang sampel equiprobable.

Contohnya, jika peristiwa itu adalah "kemunculan pada nombor genap apabila sebuah [[dadu]] digolekkan", kebarangkalian diberikan oleh <math>\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}</math>, sejak 3 menghadap keluar dari 6 mempunyai nombor-bombor genap dan tiap muka mempunyai kebarangkalian sama pada kemunculan.

'''Takrifan moden:'''
Takrifan moden bermula dengan suatu [[set (matematik)|set]] bergelar '''[[ruang sampel]]''', yang berkaitan dengan set pada semua ''akibat kemungkinan'' dari segi kalsik, ditandakan oleh <math>\Omega=\left \{ x_1,x_2,\dots\right \}</math>. Ia dianggapkan bahawa untuk tiap [[Elemen (matematik)|elemen]] <math>x \in \Omega\,</math>, sebuah nilai "kemungkinan " intrinsik <math>f(x)\,</math> bercantum, yang memuaskan ciri-ciri berikut:
# <math>f(x)\in[0,1]\mbox{ untuk semua }x\in \Omega\,;</math>
# <math>\sum_{x\in \Omega} f(x) = 1\,.</math>

Iaitu, fungsi kebarangkalian ''f''(''x'') terletak di antara kosong dan satu untuk setiap nilai ''x'' dalam ruang sampel ''Ω'', dan jumlah ''f''(''x'') ke atas semua nilai ''x'' dalam ruang sampel ''Ω'' sama dengan 1. Sebuah '''[[Kejadian (teori kemungkinan)|kejadian]]''' ditakrifkan sebagai mana-mana [[subset]] <math>E\,</math> ruang sampel <math>\Omega\,</math>. '''Kebarangkalian''' kejadian <math>E\,</math> ditakrifkan
:<math>P(E)=\sum_{x\in E} f(x)\,.</math>

Oleh itu, kemungkinan keseluruhan ruang sampel adalah 1, dan kemungkinan yang tidak sah adalah 0.

Fungsi <math>f(x)\,</math> memetakan sebuah poin di ruang sampel pada nilai "kemungkinan" digelarkan sebuah '''[[fungsi massa kemungkinan]]''' diringkaskan '''pmf'''.  Takrifan moden tidak cuba menjawab bagaimana fungsi massa kemungkinan diperolehi; daripadanya ia membina sebuah teori yang menganggapkan kemunculan mereka.

=== Pengedaran kemungkinan berlanjutan ===
{{Main|Pengedaran kemungkinan lanjutan}}
'''Teori kemungkinan berlanjutan''' mengurus dengan peristiwa-peristiwa yang bermuncul dalam suatu ruang sampel berlanjutan.

'''Takrifan klasik:''' 
takrifan klasik memecah apabila dihadapi dengan perkara berlanjutan. Lihat [[Paradoks Bertrand (kebarangkalian)|Paradoks Bertrand]].

'''Takrifan moden:''' 
If the outcome space of a random variable ''X'' adalah set [[real numbers]] (<math>\mathbb{R}</math>) atau suatu subsetyang disebutkan, kemudian suatu fungsi digelar '''[[fungsi pengedaran kumulatif]]''' (atau '''cdf''') <math>F\,</math> bermuncul, ditakrifkan oleh <math>F(x) = P(X\le x)  \,</math>. Iaitu, ''F''(''x'') berpulangkan kebarangkalian bahawa ''X'' akan menjadi kurang daripada atau sama dengan ''x''.

Cdf secara perlu memuaskan ciri-ciri yang berikut.
# <math>F\,</math> adalah sebuah fungsi [[Fungsi monotonic|secara monotoni tidak-berkurangan]], [[berlanjutan-kanan]];
# <math>\lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0\,;</math>
# <math>\lim_{x\rightarrow \infty} F(x)=1\,.</math>

Jika <math>F\,</math> adalah [[berlanjutan secara keseluruhan]], i.e., derivatifnya wjud dan integrating derivatif memberikan kita cdf lagi, kemudian pembolehubah ganjil ''X'' dikatakan mempunyai suatu '''[[fungsi kepadatan kebarangkalian]]''' atau '''pdf''' atau hanya '''kepadatan''' <math>f(x)=\frac{dF(x)}{dx}\,.</math>

Untuk sebuah set <math>E \subseteq \mathbb{R}</math>, kebarangkalian pada pembolehubah ganjil ''X'' dijadikan <math>E\,</math> adalah
:<math>P(X\in E) = \int_{x\in E} dF(x)\,.</math>

Sekiranya fungsi kepadatan kebarangkalian wujud, ini dapat dituliskan
:<math>P(X\in E) = \int_{x\in E} f(x)\,dx\,.</math>

Di manaya ''pdf'' wujud hanya untuk pembolehubah ganjil berlanjutan, ''cdf'' wujud untuk semua pembolehubah (termasuk pembolehubah ganjil discrete) yang mengambil nilai-nilai di <math>\mathbb{R}\,.</math>

Konsep-konsep ini dapat diumumkan untuk perkara-perkara [[Dimensi|pelbagai dimensional]] pada <math>\mathbb{R}^n</math> dan ruang-ruang sampel berlanjutan lain.

=== Teori kemungkinan berteori-ukuran ===
''Raison d'être'' pada layanan berteori-ukuran kebarangkalian adalah bahawa ia menyatukan perkara discrete dan berlanjutan, dan membuat perbezaan suatu soalan pada ukuran mana yang digunakan. Tambahan, ia meliputi pengedaran yang bukan discrete atau berlanjuatan atau campuran pada kedua-duanya.

Suatu contoh pada sebarang pengedaran boleh jadi suatu campuran pengedaran discrete dan berlanjutan, contohnya, suatu pembolehubah ganjil yang adalah 0 dengan kebarangkalian 1/2, dan mengambil nilai ganjil dari suatu pengedaran biasa dengan kebarangkalian 1/2. Ia dapat masih dipelajari ke sesetengah extent dengan menganggapnya mempunyai suatu pdf <math>(\delta[x] + \varphi(x))/2</math>, where <math>\delta[x]</math> adalah [[fungsi Dirac delta]].

Pengedaran lain mungkin bukan pun suatu campuran, contohnya, [[pengedaran Cantor]] tidak mempunyai kebarangkalian positif untuk mana-mana poin satu, tidak pun ia mempunyai suatu kepadatan. Kecapaian moden pada teori kebarangkalian menyelesai masalah-masalah ini menggunakan [[teori ukuran]] untuk mentakrifkan [[ruang kebarangkalian]]:

Diberikan mana-mana set <math>\Omega\,</math>, (juga digelar '''ruang sampel''') dan suatu [[sigma-algebra|σ-algebra]] <math>\mathcal{F}\,</math> padanya, suatu [[ukuran (matematik)|ukuran]] <math>P\,</math> ditakrifkan di <math>\mathcal{F}\,</math> digelar suatu '''ukuran kebarangkalian''' jika <math>P(\Omega)=1.\,</math>

Jika <math>\mathcal{F}\,</math>  adalah [[Algebra Borel|Algebra-σ Borel]] pada set real numbers, oleh itu adanya ukuran kebarangkalian unik pada <math>\mathcal{F}\,</math> untuk mana-mana cdf, dan sebaliknya. Ukuran berkorespon dengan cdf dikatakan '''didorongkan''' oleh cdf. Ukuran ini bersesuaian dengan pmf untuk pembolehubah discrete, dan pdf untuk pembolehubah berlanjutan, membuatkan pencapaian berteori-ukuran bebas dari kesilapan.

''Kebarangkalian'' suatu set <math>E\,</math> dalam algebra-σ <math>\mathcal{F}\,</math> ditakrifkan
<!--the correct formulation; X has nothing to do with it-->
:<math>P(E) = \int_{\omega\in E} \mu_F(d\omega)\,</math>
di mana integrasi tertentunya dengan ukuran <math>\mu_F\,</math> didorong oleh <math>F\,.</math>

Bersama dengan memberikan kefahaman lebih baik dan penyatuan kebarangkalian discrete dan berlanjutan, layanan berteori-ukuran juga membenarkan kita untuk bertugas pada kebarangkalian di luar <math>\mathbb{R}^n</math>, seperti dalam teori [[pemerosesan stokastik]]. Contohnya untuk mempelajari [[mosi Brownian]], kebarangkalian ditakrifkan pada ruang fungsi.

== Pengedaran kemungkinan ==
{{Main|Pengedaran kemungkinan}}
Sesetengah pemboleh ubah ganjil bermuncul sangat sering dalam teori kebarangkalian kerana mereka menjelaskan banyak pemeroresan semulajadi atau fizikal. Pengedaran mereka oleh itu memperolehi ''kepentingan khas'' dalam teori kebarangkalian.  Sesetengah ''pengedaran discrete'' asas adalah pengedaran [[pengedaran seragam (discrete)|seragam discrete]], [[Pengedaran Bernoulli|Bernoulli]], [[pengedaran binomial|binomial]], [[Pengedaran binomial negatif|binomial negatif]], [[Pengedaran Poisson|Poisson]] dan [[pengedaran geometri|geometri]].  ''Pengeradan berlanjutan'' penting termasuk pengedaran [[pengedaran seragam (berlanjutan)|seragam berlanjutan]], [[Pengedaran biasa|biasa]], [[Pengedaran eksponen|eksponen]], [[Pengedaran gamma|gamma]] dan [[Pengedaran beta|beta]].

== Pertumpuan pembolehubah ganjil ==
{{Main|Pertumpuan pembolehubah ganjil}}
Teori kebarangkalian, ada beberapa tanggapan bersesuaian untuk [[pembolehubah ganjil]]. Mereka disenaraikan di bawah turutan kekuatan, iaitu, apa-apa tanggapan berikut bersesuaian dalam senarai menandakan bersesuaian menurut semua tanggapan yang sebelum ini. 

:'''Pertumpuan lemah: ''' Suatu langkah pembolehubah ganjil <math>X_1,X_2,\dots,\,</math> secocok dengan '''pelemah''' pada pembolehubah ganjil <math>X\,</math> jika kumulatif tertentu  ''fungsi pengedaran'' mereka <math>F_1,F_2,\dots\,</math> bertumpu pada fungsi pengedaran kumulatif <math>F\,</math> pada <math>X\,</math>, di mana-mana sahaja <math>F\,</math> adanya [[fungsi berlanjutan|berlanjutan]]. Pertumpuan lemah juga digelar '''pertumpuna pada pengedaran'''. 

::''Catatan tulis pendek terumum:'' <math>X_n \, \xrightarrow{\mathcal D} \, X\,.</math>

:'''Pertumpuan pada kebarangkalian:''' Langkah pembolehubah ganjil <math>X_1,X_2,\dots\,</math> dikatakan bertumpu terhadap pembolehubah ganjil <math>X\,</math> '''dalam kebarangkalian''' jika <math>\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|X_n-X\right|\geq\varepsilon\right)=0</math> untuk tiap ε > 0. 

::''Catatan tulis pendek terumum:'' <math>X_n \, \xrightarrow{P} \, X\,.</math>

:'''Pertumpuan kuat:''' Langkah pembolehubah ganjil <math>X_1,X_2,\dots\,</math> dikatakan bertumpu terhadap pembolehubah ganjil <math>X\,</math> '''secara kuat''' jika <math>P(\lim_{n\rightarrow\infty} X_n=X)=1</math>. Pertumpuan kuat juga digelarkan '''pertumpuan hampir pasti'''.

::''Catatan tulis pendek terumum:'' <math>X_n \, \xrightarrow{\mathrm{a.s.}} \, X\,.</math>

Seperti nama-nama tersebut mengidinkasi, pertumpuan lemah adalah lebih lemah daripada pertumpuan kuat. Ternyata, pertumpuan kuat pada kebarangkalian menandakan pertumpuan lemah. Pernyataan yang sebaliknya tidak selalunya benar.

== Peraturan bilangan besar ==
{{utama|Peraturan bilangan besar}}
Intuition umum bercadang bahawa jika suatu duit syiling dibaling banyak kali, kemudian ''roughly'' setengah waktu ia akan bermuncul ''heads'', dan belah yang lagi satu akan menjadi ''ekor''. Tambahan, sering duit syiling dibaling, lebih-lebih lagi ia seharusnya bahawa purata bilangan ''kepala'' pada bilangan ''ekor'' akan mencapai kesatuan. Kebarangkalian moden memberikan versi rasmi pada gagasan berintuitif, digelarkan '''peraturan bilangan besar'''.  Peraturan ini adalah sangat menakjubkan kerana ia tiada mana-mana dianggapkan asas teori kebarangkalian, tetapi daripada itu berpunca luar dari asas ini sebagai suatu teorem. Sejak ia berkait dengan kebrangkalian berasal-teori pada frekuensi sebenarnya pada kemunculan dalam dunia benar, peraturan bilangan besar dianggap suatu tiang dalam sejarah teori statistik.[http://www.leithner.com.au/circulars/circular17.htm]

<!-- Note to editors: Please provide better citation for the historical importance of LLN if you have it -->

'''Peraturan bilangan besar''' (LLN) menyatakan pukul rata sampel <math>\overline{X}_n=\tfrac1n{\sum X_n}</math> pada <math>X_1,X_2,\dots\,</math> (pembolehubah ganjil bebas dan secara serupa dengan jangkaan terhad <math>\mu</math>) bertumpu terhadap jangkaan teori <math>\mu.</math>

Ia berada dalamberlainan bentuk [[pertumpuan pemboleh ubah ganjil]] yang memisahkan peraturan ''lemah'' dan ''kuat'' pada bilangan besar

<math>
\begin{array}{lll}
\text{Hukum lemah:}   & \overline{X}_n \, \xrightarrow{P}               \, \mu & \text{for } n \to \infty \\
\text{Hukum kuat:} & \overline{X}_n \, \xrightarrow{\mathrm{a.\,s.}} \, \mu & \text{for } n \to \infty .
\end{array}
</math>

Ia mengikutkan dari LLN bahawa jika suatu peristiwa kebarangkalian ''p'' dilihatkan secara berulangan sewaktu eksperimen berdikari, ratio frekuensi dilihatkan pada peristiwa itu pada bilangan jumlah berulangan converges terhadap ''p''.

Meletakkan ini dari segi pembolehubah ganjil dan LLN kita mempunyai <math>Y_1,Y_2,...\,</math> adalah [[Pengedaran Bernoulli|pembolehubah ganjil Bernoulli]] bebas mengambil nilai-nilai 1 dengan kebarangkalian ''p'' dan 0 dengan kebarangkalian 1-''p''. <math>\textrm{E}(Y_i)=p</math> untuk semua ''i'' dan megikuti dari LLN bahawa <math>\frac{\sum Y_n}{n}\,</math> bertumpuan dengan ''p'' [[secara hampir pasti]].

== Teorem had memusat ==
{{utama|Teorem had memusat}}
'''Teorem had memusat''' menjelaskan kemunculan ubiquitous [[pengedaran biasa]] pada sifatnya; ia adalah teorem yang paling dirayakan pada kebarangkalian dan statistik.{{Fact|date=July 2007}}
<!-- Note to editors: Request citations and historical importance of this theorem here if you have a source (and enough time) ~~~~ -->

Teorem ini menyatakan bahawa [[average]] banyak penbolehubah ganjil bebas dan secara serupa diedarkan dengan pembolehubah terhad terhadap [[pengedaran biasa]] ''tidak terkira'' pada pengedaran diikuti oleh pembolehubah ganjil asli. Secara rasmi, biarkan <math>X_1,X_2,\dots\,</math> menjadi pembolehubah ganjil bebas dengan [[mean]] <math>\mu_\,</math> dan [[pembolehubah]] <math>\sigma^2 > 0.\,</math> Kemudian langkah pembolehubah ganjil
:<math>Z_n=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)}{\sigma\sqrt{n}}\,</math>
bertumpu dalam pengedaran pada suatu pembolehubah ganjil [[biasa piawai]].

== Lihat juga ==
{{multicol}}
* [[Expected value]] dan [[Pembolehubah]]
* [[Fuzzy logic]] dan [[Fuzzy measure theory]]
* [[Glosari kebarangkalian dan statistik]]
* [[Fungsi likelihood]]
* [[Senarai topik kebarangkalian]]
* [[Senarai terbitan dalam statistik]]
* [[Senarai topik berstatistik]]
{{multicol-break}}
* [[Notasi pada kebarangkalian]]
* [[Permodelan ramalan]]
* [[Logik kebarangkalian]] - Suatu penggabuhan kebarangkalian teori dan logik
* [[Terjemahan kebarangkalian]]
* [[Kebebasan statistik]]
* [[Logik subjectif]]
{{multicol-end}}

== Rujukan ==
{{reflist}}

== Bibliografi ==
* {{cite book
 | author = Pierre Simon de Laplace
 | year = 1812
 | title = Analytical Theory of Probability}}
:: The first major treatise blending calculus with probability theory, originally in French: ''Théorie Analytique des Probabilités''.
* {{cite book
 | author = Andrei Nikolajevich Kolmogorov
 | year = 1950
 | title = Foundations of the Theory of Probability}}
:: The modern measure-theoretic foundation of probability theory; the original German version (''Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung'') appeared in 1933.
* {{cite book
 | author = Patrick Billingsley
 | title = Probability and Measure
 | publisher = John Wiley and Sons
 | location = New York, Toronto, London
 | year = 1979}}
* {{cite book
 | author = Henk Tijms
 | year = 2004
 | publisher = Cambridge Univ. Press
 | title = Understanding Probability}}
:: A lively introduction to probability theory for the beginner.
* {{cite book
 | last       = Gut
 | first      = Allan  
 | title      = Probability: A Graduate Course
 | publisher  = Springer-Verlag
 | year       = 2005
 | id         = ISBN 0-387-22833-0
}}

{{Mathematics-footer}}

[[Kategori:Teori kebarangkalian| ]]
[[Kategori:Analisis matematik]]

{{Link FA|ka}}

[[af:Waarskynlikheidsleer]]
[[ar:نظرية الاحتمال]]
[[az:Ehtimal nəzəriyyəsi]]
[[id:Peluang (matematika)]]
[[jv:Téori probabilitas]]
[[su:Téori probabilitas]]
[[be:Тэорыя імавернасцяў]]
[[be-x-old:Тэорыя імавернасьцяў]]
[[bg:Теория на вероятностите]]
[[ca:Teoria de la probabilitat]]
[[cs:Teorie pravděpodobnosti]]
[[da:Sandsynlighedsregning]]
[[de:Wahrscheinlichkeitstheorie]]
[[et:Tõenäosusteooria]]
[[el:Θεωρία πιθανοτήτων]]
[[en:Probability theory]]
[[es:Teoría de la probabilidad]]
[[eo:Probablokalkulo]]
[[eu:Probabilitate teoria]]
[[fa:نظریه احتمالات]]
[[fr:Théorie des probabilités]]
[[gl:Teoría da probabilidade]]
[[ko:확률론]]
[[hi:प्रायिकता सिद्धांत]]
[[hr:Teorija vjerojatnosti]]
[[os:Уæвæны теори]]
[[is:Líkindafræði]]
[[it:Teoria della probabilità]]
[[he:תורת ההסתברות]]
[[ka:ალბათობის თეორია]]
[[kk:Ықтималдық теориясы]]
[[lv:Varbūtību teorija]]
[[lt:Tikimybių teorija]]
[[hu:Valószínűség-számítás]]
[[mk:Теорија на веројатноста]]
[[mn:Магадлалын онол]]
[[nl:Kansrekening]]
[[ja:確率論]]
[[no:Sannsynlighetsteori]]
[[nn:Sannsynsrekning]]
[[pl:Teoria prawdopodobieństwa]]
[[pt:Teoria das probabilidades]]
[[kaa:İtimallıqlar teoriyası]]
[[ro:Teoria probabilităților]]
[[ru:Теория вероятностей]]
[[sq:Teoria e probabilitetit]]
[[simple:Probability theory]]
[[sk:Teória pravdepodobnosti]]
[[sl:Verjetnostni račun]]
[[sr:Теорија вероватноће]]
[[fi:Todennäköisyysteoria]]
[[sv:Sannolikhetsteori]]
[[ta:நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு]]
[[th:ทฤษฎีความน่าจะเป็น]]
[[vi:Lý thuyết xác suất]]
[[tg:Назарияи эҳтимолият]]
[[tr:Olasılık kuramı]]
[[tk:Ähtimallyk teoriýasy]]
[[uk:Теорія ймовірностей]]
[[ur:نظریۂ احتمال]]
[[yi:טעאריע פון משמעותדיקייט]]
[[zh:概率论]]