Revision 5195443 of "Persamaan pembezaan" on mswiki

{{Proses/BukanTeamBiasa}}{{distinguish|Persamaan perbezaan}}
:'''''Persamaan kebezaan''' dilencongkan ke sini.''
{{Persamaan pembezaan}}
[[File:Elmer-pump-heatequation.png|thumb|350px|Visualisasi pemindahan haba dalam selongsong pam, yang dicipta daripada penyelesaian [[persamaan haba]]. [[Haba]] sedang dijana secara dalaman dalam selongsong dan disejukkan di sempadan, memberikan [[keadaan tetap]] pengagihan suhu.]]
'''Persamaan pembezaan''' atau '''persamaan kebezaan''' ialah suatu [[persamaan]] [[matematik]] untuk suatu [[fungsi (matematik)|fungsi]] yang tidak dikenali dari satu atau beberapa [[pemboleh ubah (matematik)|pemboleh ubah]] yang mengaitkan nilai-nilai fungsi itu sendiri dan [[terbitan (matematik)|terbitannya]] dari pelbagai tertib. Persamaan pembezaan memainkan suatu peranan ketara pada [[kejuruteraan]], [[fizik]], [[ekonomi]], dan disiplin lain.

[[Fail:Airflow-Obstructed-Duct.png|thumb|250px|Pembayangan aliran udara ke dalam sebuah [[model matematik|model]] saluran menggunakan menggunakan [[persamaan Navier-Stokes]], suatu set [[persamaan pembezaan separa]]]]

Persamaan kebezaan timbul dalam pelbagai bidang sains dan teknologi: apabila hubungan [[sistem berketentuan (matematik)|berketentuan]] yang melibatkan kuantiti yang berubah-ubah tanpa henti (dimodelkan oleh fungsi) dan kadar perubahannya dalam angkasa dan/atau masa (dinyatakan sebagai terbitan) diketahui atau diharapkan. Ini digambarkan dalam ilmu [[mekanik klasik]], yang mana pergerakan jasad diterangkan melalui kedudukan dan halajunya ketika masa berubah-ubah. [[Hukum Newton]] membolehkan perhubungan kedudukan, halaju, pecutan dan berbagai-bagai daya yang bertindak dalam jasad serta penyataan hubungan ini sebagai persamaan kebezaan kedudukan jasad yang tidak diketahui sebagai fungsi masa. Adakalanya, persamaan kebezaan ini (dipanggil [[persamaan gerakan]]) boleh diselesaikan secara tidak tersirat.

Contoh masalah yang melibatkan persamaan kebezaan ialah penentuan halaju sebiji bola yang jatuh melalui udara, dengan hanya mengambil kira graviti dan rintangan udara. Pecutan bola ke arah tanah ialah pecutan yang terhasil dari graviti tolak nyahpecutan akibat rintangan udara. Graviti adalah malar tetapi rintangan bolanya dapat dimodelkan sebagai berkadar dengan halaju bola. Ertinya, pecutan bola tersebut sebagai terbitan halajunya, bergantung pada halajunya. Pencarian halaju sebagai fungsi masa melibatkan penyelesaian persamaan kebezaan.

Persamaan kebezaan dikaji secara matematik dari pelbagai perspektif, lazimnya berkenaan dengan penyelesaiannya, iaitu set fungsi yang memuaskan persamaan itu. Hanya persamaan kebezaan yang teringkas membenarkan penyelesaian yang diberi oleh formula-formula yang tak tersirat; itupun, sesetengah ciri-ciri penyelesaian persamaan kebezaan tertentu boleh ditentukan tanpa mencari bentuk tepatnya. Seandainya tiada formula serba lengkap untuk penyelesaiannya, maka penyelesaiannya boleh dianggarkan angkanya dengan menggunakan komputer. Teori [[sistem dinamik]] menekankan analisa sistem secara kualitatif yang ditetapkan oleh persamaan kebezaan, manakala banyak [[kaedah berangka]] telah dimajukan untuk menentukan penyelesaian dengan setepat-setepatnya.

== Arah kajian ==

Kajian persamaan pembezaan merangkumi bidang yang luas dalam [[matematik tulen]] dan [[matematik gunaan]], [[fizik]], [[meteorologi]] dan [[kejuruteraan]].  Kesemua disiplin ini ada kaitan dengan ciri-ciri persamaan pembezaan pelbagai jenis.  Matematik tulen tertumpu pada kewujudan dan keunikan penyelesaian-penyelasaian, sementara matematik gunaan menitikberatkan justifikasi yang ketat terhadap kaedah-kaedah penganggaran penyelesaian.  Persamaan pembezaan memainkan peranan penting dalam pemodelan hampir kesemua proses fizik, teknik ataupun biologi, daripada pergerakan cakerawala, dan reka bentuk jambatan sehinggalah interaksi antara neuron. .  Persamaan pembezaan yang digunakan bagi menyelesaikan masalah nyata atau sebenar tidak semestinya dapat diselesaikan secara langsung, yakni persamaan-persamaan ini tidak memiliki penyelesaian [[ungkapan bentuk tertutup|bentuk tertutup]].  Sebaliknya, penyelesaian dapat dianggarkan dengan menggunakan [[Persamaan pembezaan biasa berangka|kaedah-kaedah berangka]].

Para ahli matematik juga mengkaji [[penyelesaian lemah]] (berpandukan [[terbitan lemah]]), yang merupakan jenis penyelesaian yang tidak perlu dapat dibezakan pada setiap masa.  Peluasan ini sering diperlukan bagi kewujudan penyelesaian, dan ia juga menghasilkan ciri-ciri penyelesaian yang lebih munasabah dari segi fizik, seperti kehadiran [[gelombang kejutan|kejutan]] dalam persamaan jenis hiperbola.

Kajian kestabilan penyelesaian buat persamaan pembezaan disebut [[teori kestabilan]].

== Tatanama ==
Teori persamaan pembezaan agak maju dan kaedah yang digunakan untuk kajian mereka mempunyai perbezaan ketara dengan jenis persamaan.

* [[Persamaan pembezaan biasa]] (PPB) adalah persamaan pembezaan di mana fungsi yang tidak diketahui (juga dikenali sebagai '''pembolehubah bebas''') adalah satu fungsi yang berubah-ubah'' tunggal'' bebas. Dalam bentuk yang paling mudah, fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi sebenar atau kompleks bernilai, tetapi secara umum, ia boleh menjadi [[fungsivektor bernilai|vektor bernilai]] atau [[matriks (matematik)|matriks]] bernilai: ini sepadan dengan mempertimbangkan satu sistem persamaan pembezaan biasa untuk fungsi tunggal. Persamaan pembezaan biasa lagi dikelaskan mengikut '''tertib''' derivatif tertinggi berkenaan dengan pembolehubah bersandar yang terdapat dalam persamaan. Kes-kes yang paling penting untuk aplikasi adalah tertib pertama dan persamaan pembezaan tertib kedua. Dalam kesusasteraan klasik juga perbezaan dibuat antara persamaan pembezaan jelas diselesaikan berkenaan dengan terbitan dan perbezaan persamaan tertinggi dalam bentuk yang tersirat.

* [[Persamaan pembezaan separa]] (PPS) adalah persamaan pembezaan di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi ''pelbagai'' pembolehubah bebas dan persamaan yang melibatkan [[terbitan separa]]. tertib itu ditakrifkan sama seperti kes persamaan pembezaan biasa, tetapi lebih jauh ke dalam klasifikasi persamaan eliptik, hiperbola dan parabola terutama bagi persamaan lelurus tertib kedua, adalah amat penting. Beberapa persamaan pembezaan separa tidak jatuh ke dalam mana-mana kategori ini lebih daripada domain keseluruhan pembolehubah bebas dan mereka dikatakan dari '''jenis campuran'''.

Kedua-dua persamaan pembezaan biasa dan separa secara meluas dikelaskan sebagai '''lelurus''' dan '''bukan lelurus'''. Satu persamaan pembezaan adalah '''lelurus''' jika fungsi yang tidak diketahui dan derivatif kelihatan kuasa 1 (produk tidak dibenarkan) dan '''lelurus''' sebaliknya. Harta ciri persamaan lelurus adalah bahawa penyelesaian mereka membentuk subruang affine ruang fungsi yang sesuai, yang menyebabkan dalam teori lebih maju persamaan pembezaan lelurus. Persamaan pembezaan lelurus ''' homogen''' adalah subkelas lagi yang mana ruang penyelesaian adalah subruang lelurus iaitu jumlah mana-mana set penyelesaian atau gandaan penyelesaian juga penyelesaian. Pekali fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya dalam persamaan pembezaan lelurus dibenarkan menjadi (diketahui) fungsi pembolehubah bebas atau pembolehubah, jika pekali ini adalah pemalar maka seseorang bercakap daripada '''pekali persamaan pembezaan lelurus berterusan''' .

Tidak banyak kaedah jelas penyelesaian persamaan pembezaan lelurus; orang-orang yang dikenali biasanya bergantung kepada persamaan yang mempunyai tertentu [[simetri]]. Persamaan pembezaan lelurus boleh mempamerkan tingkah laku yang sangat rumit lebih selang masa yang panjang, ciri-ciri [[teori huru-hara|huru-hara]]. Walaupun soalan-soalan asas kewujudan, keunikan, dan kebolehpanjangan penyelesaian bagi persamaan pembezaan lelurus, dan paparan baik masalah nilai awal dan sempadan bagi PPS lelurus adalah masalah keras dan resolusi mereka dalam kes-kes khas yang dianggap sebagai satu kemajuan penting dalam matematik teori (rujuk [[kewujudan dan kelancaran Navier-Stokes]]).

Persamaan pembezaan lelurus sering muncul sebagai [[lelurus|anggaran]] untuk persamaan tak lelurus. Anggaran ini hanya sah di bawah keadaan terhad. Sebagai contoh, persamaan pengayun harmonik adalah anggaran kepada persamaan lelurus bandul yang sah untuk ayunan amplitud kecil (lihat di bawah).

=== Contoh ===
Dalam kumpulan yang pertama contoh, mari'' u'' menjadi fungsi yang tidak diketahui ''x'', dan ''c'' dan ''ω'' dikenali pemalar.

* Tak homogen pertama tertib lelurus berterusan pekali persamaan pembezaan biasa:

: <math> \frac{du}{dx} = cu+x^2. </math>

* Homogen kedua persamaan pembezaan biasa lelurus:

:<math> \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. </math>

* Homogen tertib kedua pekali malar persamaan pembezaan biasa lelurus yang menerangkan [[pengayun harmonik]]:

: <math> \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. </math>

* tertib Pertama lelurus persamaan pembezaan biasa:

: <math> \frac{du}{dx} = u^2 + 1. </math>

* Tertib kedua lelurus persamaan pembezaan biasa yang menerangkan gerakan satu [[bandul]] panjang'' L'':

: <math> g\frac{d^2u}{dx^2} + L\sin u = 0. </math>

Dalam contoh kumpulan yang seterusnya, fungsi yang tidak diketahui'' u'' bergantung kepada dua pembolehubah'' x'' dan'' t'' atau'' x'' dan'' y''.

* Homogen tertib pertama lelurus persamaan pembezaan separa:

: <math> \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. </math>

* Homogen usaha berterusan pekali persamaan kebezaan separa lelurus tertib kedua jenis elips, yang [[persamaan Laplace]]:

: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. </math>

* tertib lelurus persamaan pembezaan separa ketiga, [[persamaan Korteweg-de Vries]]:

: <math> \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. </math>

== Konsep berkaitan ==
* [[Persamaan pembezaan kelewatan]] (PPK) adalah satu persamaan untuk fungsi pembolehubah tunggal, biasanya dipanggil '''masa''', di mana terbitan fungsi pada masa yang tertentu diberikan dari segi nilai fungsi pada masa yang lebih awal.

* [[Persamaan pembezaan stokastik]] (PPSt) adalah satu persamaan di mana kuantiti yang tidak diketahui adalah [[proses stokastik]] dan persamaan melibatkan beberapa proses stokastik terkenal, sebagai contoh, [[proses Wiener]] dalam kes persamaan penyebaran.

* [[Perbezaan persamaan algebra]] (PPA) merupakan persamaan pembezaan yang terdiri daripada perbezaan dan terma aljabar, diberikan dalam bentuk tersirat.

== Hubungan kepada persamaan perbezaan ==
{{Lihat juga|Kalkulus skala masa}}

Teori persamaan pembezaan adalah berkait rapat dengan teori [[persamaan perbezaan]], di mana koordinat menganggap hanya nilai diskret, dan hubungan melibatkan nilai fungsi yang tidak diketahui atau fungsi dan nilai-nilai di Koordinat berdekatan. Banyak kaedah untuk mengira penyelesaian berangka persamaan pembezaan atau belajar sifat-sifat persamaan pembezaan melibatkan perkiraan penyelesaian persamaan pembezaan oleh penyelesaian persamaan perbezaan yang sepadan.

== Kesejagatan penerangan matematik ==
Banyak undang-undang asas [[fizik]] dan [[kimia]] boleh dirumuskan sebagai persamaan pembezaan. Dalam [[biologi]] dan [[ekonomi]] persamaan pembezaan yang digunakan untuk [[pemodelan matematik|model]] tingkah laku sistem yang kompleks. Teori matematik persamaan pembezaan mula dibangunkan bersama-sama dengan sains, di mana persamaan telah berasal dan di mana keputusan dijumpai permohonan. Walau bagaimanapun, masalah yang pelbagai, kadang-kadang berasal dalam bidang sains agak berbeza, boleh membawa kepada persamaan pembezaan sama. Apabila ini berlaku, teori matematik di sebalik persamaan boleh dilihat sebagai satu prinsip yang menyatukan di sebalik fenomena yang pelbagai. Sebagai contoh, pertimbangkan penyebaran cahaya dan bunyi di atmosfera, dan gelombang di permukaan kolam. Kesemua mereka boleh digambarkan melalui tertib kedua yang sama [[persamaan pembezaan separa]], yang [[persamaan gelombang]], yang membolehkan kita untuk berfikir cahaya dan bunyi sebagai bentuk gelombang, sama seperti ombak biasa di dalam air. Pengaliran haba, teori yang dibangunkan oleh [[Joseph Fourier]], dikawal oleh persamaan pembezaan separa yang lain kedua, [[persamaan haba]]. Rupa-rupanya banyak [[penyebaran]] proses, manakala yang seolah-olah berbeza, diterangkan oleh persamaan yang sama; persamaan [[Black-Scholes]] dalam kewangan adalah untuk contoh, yang berkaitan dengan persamaan haba.

== Persamaan pembezaan ketara ==
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Hukum Kedua Newton]] di [[dinamik (mekanik)]]
* [[Persamaan Hamilton]] dalam mekanik klasik
* [[Pereputan radioaktif]] di [[fizik nuklear]]
* [[Undang-undang Newton penyejukan]] di [[termodinamik]]
* [[Persamaan gelombang]]
* [[Persamaan Maxwell]] di [[elektromagnetisma]]
* [[Persamaan haba]] di [[termodinamik]]
* [[Persamaan Laplace]], yang mentakrifkan [[fungsi harmonik]]
* [[Persamaan Poisson]]
* [[Persamaan medan Einstein]] di [[relativiti umum]]
* [[Persamaan Schrödinger]] di [[mekanik kuantum]]
* [[Geodesik#geometri (pseudo-)Riemannian|Persamaan Geodesik]]
* [[Persamaan Navier-Stokes]] di [[bendalir dinamik]]
* [[Persamaan Lotka-Volterra]] di [[penduduk dinamik]]
* [[Black-Scholes#PPS Black-Scholes|Persamaan Black-Scholes]] di [[kewangan]]
* [[Persamaan Cauchy-Riemann]] di [[analisis kompleks]]
* [[Persamaan Poisson-Boltzmann]] di [[molekul dinamik]]
* [[persamaan air cetek]]
* [[Persamaan pembezaan sejagat]]
</div>

=== Biologi ===
* [[Persamaan Verhulst]] - pertumbuhan penduduk biologi
* [[Von Bertalanffy#Model pertumbuhan individu|Model Von Bertalanffy]] - pertumbuhan individu biologi
* [[Persamaan Lotka-Volterra]] - dinamik populasi biologi
* [[Penyalinan dinamik]] - boleh didapati dalam teori biologi

=== Ekonomi ===
* [[Black-Scholes#PPS Black-Scholes|PPS Black-Scholes]]
* [[Model pertumbuhan secara luaran]]
* [[Fungsi logistik|model penduduk Verhulst ini]]
* [[Model pertumbuhan Malthus]]
* [[Model Sethi|Model pengiklanan Vidale-Wolfe]]

== Lihat juga ==
{{wikibooks|en:Differential Equations}}
* [[Persamaan pembezaan kompleks]]
* [[Persamaan pembezaan tepat]]
* [[Persamaan Kamiran]]
* [[Persamaan pembezaan lelurus]]
* [[Teori Picard-Lindelof]] mengenai penyelesaian kewujudan dan keunikan

== Rujukan ==
* D. Zwillinger, ''Handbook of Differential Equations (3rd edition)'', Academic Press, Boston, 1997.
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
* W. Johnson, [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=abv5010.0001.001 ''A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations''], John Wiley and Sons, 1913, in [http://hti.umich.edu/u/umhistmath/ University of Michigan Historical Math Collection]
* E.L. Ince, ''Ordinary Differential Equations'', Dover Publications, 1956
* E.A. Coddington and N. Levinson,  ''Theory of Ordinary Differential Equations'', McGraw-Hill, 1955
* P. Blanchard, R.L. Devaney, G.R. Hall, ''Differential Equations'', Thompson, 2006

== Pautan luar ==
* [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-03Spring-2006/VideoLectures/index.htm Lectures on Differential Equations] [[MIT]] Open CourseWare Video
* [http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/de.aspx Online Notes / Differential Equations] Paul Dawkins, [[Lamar University]]
* [http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Differential Equations], [[S.O.S. Mathematics]]
* [http://www.diptem.unige.it/patrone/differential_equations_intro.htm Introduction to modeling via differential equations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090801053618/http://www.diptem.unige.it/patrone/differential_equations_intro.htm |date=2009-08-01 }} Introduction to modeling by means of differential equations, with critical remarks.
* [http://publicliterature.org/tools/differential_equation_solver/ Differential Equation Solver] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160927225307/http://publicliterature.org/tools/differential_equation_solver/ |date=2016-09-27 }} Java applet tool used to solve differential equations.
* [http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=ode Mathematical Assistant on Web] Symbolic ODE tool, using [[Maxima (software)|Maxima]] 
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm Exact Solutions of Ordinary Differential Equations]
* [https://web.archive.org/web/20070930014736/http://www.maa.org/bll2/DIFFERENTIAL.htm A bibliography of books about differential equations], from the [[Mathematical Association of America]] 
* [http://www.hedengren.net/research/models.htm Collection of ODE and DAE models of physical systems] MATLAB models
* [http://www.jirka.org/diffyqs/ Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers] An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of [[UIUC]]
{{Mathematics-footer}}

[[Kategori:Persamaan pembezaan| ]]
[[Kategori:Matematik]]