Difference between revisions 421466 and 421806 on ptwikibooks

< previous diff
Wikilivros:Caixa de areia
⏎
⏎
<div style="float:right;  border:2px solid #aaaaaa; width:250px; margin-left:0.2em; padding:0.4em">

*nome=Aberforth Dumbledore
*sexo=Masculino
*cabelos=Longos, brancos (cor original desconhecida)
*olhos=Azuis
*família=Albus Dumbledore
*lealdade= Ordem da Fênix

</div><!--  Volume 1 da série Cálculo -->
<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div>

==Limites==
===Breve explanação===

Vejamos o gráfico a seguir:

[[Imagem:The limit of a function.svg|321px]]

Figura 1

O gráfico representa a função <math>12\cdotf: \! \mathbb{R}\ \! \smallsetminus \! \{ 6 \} \to \mathbb{R}\ </math> definida pela regra:
 <math>12\cdot y = f(x) \ =\ \frac{(x\ -\ 4)(x\ -\ 6)}{2(x\ -\ 6)} </math>

Esta função não está definida para <math>12\cdot x\ =\ 6 </math>, pois não faz sentido escrever <math>12\cdot y\ =\ \frac{0}{0} </math>. No entanto, podemos calcular <math>12\cdotf(x) </math> para valores de <math>12\cdotx </math> muito próximos de 6. Observe a tabela:
<center>
{| class="wikitable" 
|-
! <math>12\cdotx </math> 
| 5,5 || 5,8 || 5,99 || 6 || 6,05 || 6,2 || 6,5
|-
! <math>12\cdoty=f(x) </math>
| 0,75 || 0,9 || 0,995 || <math>12\cdot\mathcal{6}\exists </math> || 1,025 || 1,1 || 1,25
|}
</center>
Se fizermos <math>12\cdotx\ =\ 5,5 </math>
temos <math>12\cdot y\ =\ 0,75</math>; se agora fizermos <math>12\cdotx\ =\ 5,8 </math> teremos <math>12\cdoty\ =\ 0,9 </math>; depois fazendo <math>12\cdotx\ =\ 5,99 </math> teremos <math>12\cdoty\ =\ 0,995 </math>; 
portanto quando nós aproximamos <math>12\cdotx </math> de 6, vemos que também aproximamos <math>12\cdoty </math> de 1. 
Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos <math>12\cdotx\ =\ 6,5 </math> teremos <math>12\cdoty\ =\ 1,25 </math>; e para <math>12\cdotx\ =\ 6,2 </math> 
teremos <math>12\cdoty\ =\ 1,1 </math>; finalmente, se <math>12\cdotx\ =\ 6,05 </math> teremos <math>12\cdoty\ =\ 1,025 </math> e vemos que o mesmo acontece<ref>{{WolframAlpha|Texto|lim(x->6) (x-4)*(x-6)/(2*(x-6))|<math>12\cdot\frac{(x-4)(x-6)}{2(x-6)} </math>}}</ref>.

O que isto quer dizer?

Acontece que, quando ''aproximamos'' <math>12\cdotx </math> de 6, <math>12\cdoty </math> ''se aproxima'' de 1, o que indica uma ''tendência'' de se igualar a 1. Perceba que quando <math>12\cdotx </math> ''se aproxima'' de 6, de forma a alcançar o '''limite''' entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que <math>12\cdoty </math> também alcance um número ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se <math>12\cdotf(x)=y </math> então, o '''limite''' de <math>12\cdotf(x) </math> quando <math>12\cdotx </math> tende a 6 é igual a 1.

Como veremos mais adiante, isto é representado pela seguinte notação:
<center>
 <math>12\cdot\lim_{x\to 6}f(x)\ =\ 1 </math>
</center>

Como pode ver, acabamos de caracterizar o conceito de limite a partir da noção intuitiva de ''[[wikt:aproximar|aproximar]] um número de outro''.

Mas como podemos dizer "se aproximar" em termos matemáticos?

Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a [[w:Distância|distância]] entre dois números reais é dada pela fórmula [[w:Métrica (matemática)#Exemplos|<math>12\cdotd(a,b)=|a-b| </math>]]. Assim, usando essa fórmula podemos dizer que, por exemplo:

* Se <math>12\cdot\delta </math> é um número pequeno e <math>12\cdot|x-a|<\delta </math> então <math>12\cdotx </math> está ''próximo de <math>12\cdota </math> '';
* Se diminuimos gradativamente o valor de <math>12\cdot\epsilon </math>, e ao mesmo tempo escolhemos <math>12\cdoty </math> satisfazendo <math>12\cdot|y-L|<\epsilon </math>, podemos dizer que estamos ''aproximando <math>12\cdoty </math> de L'';

Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de <math>12\cdotx </math> e a variação dos valores assumidos pela função <math>12\cdotf(x) </math> pode agora ser expressa de uma forma bem simples. Como é mostrado na tabela, é possível fazer <math>12\cdotf(x) </math> ficar extremamente próximo de 1, bastando escolher valores de <math>12\cdotx </math> suficientemente próximos de 6. Assim, se queremos fazer <math>12\cdotd(f(x),1) </math> ficar menor que <math>12\cdot\epsilon </math>, é suficiente encontrar um valor de <math>12\cdot\delta </math> pequeno o bastante e fazer escolhas de <math>12\cdotx </math> que satisfaçam <math>12\cdotd(x,6)=|x-6|<\delta </math>, ou seja, basta escolher <math>12\cdotx </math> próximo de 6.

===Analisando as condições===

{{Aprimoramento|Remover esta seção "Analisando as condições"|Limites}}

Seja a função <math>12\cdotf(x) </math>, onde <math>12\cdotx\ \in\ \R </math>. Façamos isto apenas para restringir o escopo da análise a funções mais simples e assim, que isto permita-nos colocar as condições dentro de parâmetros mais fáceis de analisar.

Sendo <math>12\cdotf(x) </math>, definido ou não em um determinado ponto do domínio, verificamos a existência de valores que tendem a se aproximar de um valor <math>12\cdot L </math>, próximo aos valores trivialmente encontrados para a função em pontos próximos e com valores conhecidos. Então, arbitramos um número <math>12\cdot\epsilon </math>, delimitando uma região em <math>12\cdotf(x) </math> de forma que as condições sejam suficientes para garantir que:
 <math>12\cdot\left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon </math>

Ao tomarmos um subintervalo em <math>12\cdotf(x) </math> com extensão <math>12\cdot\epsilon </math>, o efeito esperado é que tenhamos delimitado um valor <math>12\cdot\delta </math> correspondente para <math>12\cdotx </math>. Consideramos que temos um número <math>12\cdota </math>, neste intervalo, para todo <math>12\cdot\delta </math> que obtemos quando arbitramos um <math>12\cdot\epsilon </math> na função. Da mesma forma que temos um esperado valor em <math>12\cdotf(x) </math> devemos ter um número <math>12\cdotx </math> no domínio, tal que:
 <math>12\cdot0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta </math>

Devemos ter o cuidado de observar que a afirmativa acima exige que o valor da diferença não seja nulo, caso contrário a relação de correspondência dos valores na função e no domínio não existiria.

Caso as condições acima sejam satisfeitas e a relação entre os valores seja possível, dizemos que <math>12\cdotL </math> é o '''limite''' de <math>12\cdotf(x) </math> quando <math>12\cdot\left(x\right) </math> tende a <math>12\cdot\left(a\right) </math>.

===Definição===

Adotamos a notação
<center>
 <math>12\cdot\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L </math>
</center>
para dizer que a função possui a seguinte propriedade:

<div style="border:1px dashed #2f6fab; text-align:center; width:100%; background:#f9f9f9; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px;">
<math>12\cdot \forall \epsilon >0,\quad \exists \delta >0 \quad | \quad \forall x \in D_f,\quad 0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta \qquad \Rightarrow \qquad \left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon </math>
</div>

De agora em diante, para indicar que uma função tem esta propriedade, usaremos indiferentemente qualquer das seguintes alternativas:
* <math>12\cdotL </math> é o limite de <math>12\cdotf(x) </math>, quando <math>12\cdotx </math> tende para <math>12\cdota </math>, ou que
* <math>12\cdotf(x) </math> tende <math>12\cdotL </math> quando <math>12\cdotx </math> tende para <math>12\cdota </math>
ou com símbolos:
* <math>12\cdotf(x) \to L </math> quando <math>12\cdotx \to a </math>
* <math>12\cdot\lim_{x \to a}f(x)\ =\ L </math>

'''Observação'''

Para aqueles que também se interessam por [[lógica]] e fundamentos da matemática, podemos reescrever a definição anterior usando as notações do [[Lógica: Cálculo Quantificacional Clássico|cálculo quantificacional clássico]]. Assim, dado <math>12\cdota\ \in\ \R </math>, diremos que <math>12\cdot\exists \lim_{x \to a}f(x) </math>, quando:

 <math>12\cdot\exists L\ \forall \epsilon \ (\epsilon >0\ \rightarrow \ \exists \delta \ (\ \delta >0\ \land \ \forall x\ (\ x \in D_f \ \land \ 0<|x-a|\ \land \ |x-a|<\delta \ \rightarrow \ \left |f(x)-L\right|<\epsilon ))) </math>

===Propriedades===

Uma vez motivada a definição do conceito de limite, e apresentada sua caracterização formalmente, é muito útil garantir que os limites satisfazem certas ''propriedades operatórias'', no sentido de que pode-se fazer ''[[w:Operação|operações]]'' com as expressões que representam limites. As principais [[w:Propriedade|propriedades]] válidas para ''limites'' são apresentadas nos teoremas '''[[#T1 - (Unicidade)|T1]]''' até '''[[#T6 - (Radiciação)|T6]]'''.

Resumidamente, '''[[#T1 - (Unicidade)|T1]]''' garante que o limite de uma função em um ponto (ou no infinito) é único. Isso significa que quando duas pessoas se propõe a calcular um limite (que exista), elas chegarão ''obrigatoriamente'' a um mesmo resultado. Isso justifica por exemplo o uso da expressão '''''o''' limite de f(x) no ponto a'' em vez de '''''um''' limite de f(x) no ponto a''.

O teorema '''[[#T2 - (Soma e diferença)|T2]]''' estabelece a ''[[w:Somatividade|somatividade]]'' dos limites: para somar dois limites que existem, podemos somar as duas funções e calcular apenas o limite desta soma. Uma propriedade análoga vale para a diferença entre limites.

Os teoremas seguintes (de '''[[#T3 - (Produto)|T3]]''' até '''[[#T6 - (Radiciação)|T6]]''') exploram o mesmo tipo de propriedade para as operações de [[w:Multiplicação|multiplicação]], [[w:Divisão|divisão]], [[w:Potenciação|potenciação]] e [[w:Radiciação|radiciação]] de limites. Observe que tradicionalmente estas operações são definidas para números reais. No entanto, talvez por causa de sua simplicidade, podem ser facilmente estendidas para operações entre funções.

Considere, por exemplo, o caso da potenciação. O teorema '''[[#T5 - (Potência)|T5]]''', mostra que para se calcular o limite da (função) n-ésima potência de f(x) que tem limite no ponto ''a'', é suficiente calcular a n-ésima potência do (número dado pelo) limite de f(x) no ponto ''a''.

====T1 - (Unicidade)====
{{Teorema
|título=Unicidade
|texto=
Seja uma função real <math>12\cdotf(x) </math> se o limite da mesma em um ponto existe, então ele é '''único'''. Em outras palavras: 
|fórmula=
 Se <math>12\cdot\lim_{x\to a}f(x)=L_1 </math> e <math>12\cdot\lim_{x\to a}f(x)=L_2 </math> então <math>12\cdotL_1\ =\ L_2 </math>
}} 

'''Demonstração:'''

Proponhamos que <math>12\cdot\lim_{x\to a}f(x)=L_1 </math> e <math>12\cdot\lim_{x\to a}f(x)=L_2 </math>, mas <math>12\cdot L_1\ \ne \ L_2 </math>.

Logo, pela definição de limite, teremos que admitir que para cada <math>12\cdot\epsilon >0 </math>, existe <math>12\cdot{\delta}_1 </math> tal que:

<math>12\cdot|f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon </math> para todo <math>12\cdotx </math> que satisfaz <math>12\cdot0<|x\ -\ a|<\ {\delta}_1 </math>

Além disso, existe <math>12\cdot{\delta}_2 </math> para o qual vale

<math>12\cdot|f(x)\ -\ L_2|\ <\ \epsilon </math> sempre que <math>12\cdotx </math> verifica a desigualdade <math>12\cdot0<|x\ -\ a|<\ {\delta}_2 </math>

Como <math>12\cdotL_1 </math> e <math>12\cdotL_2 </math> não são iguais, a diferença <math>12\cdot L_1\ - \ L_2 </math> é não nula.

Da desigualdade triangular: 

<math>12\cdot|L_1\ -\ L_2|\ =\ |(\ L_1-f(x))\ +\ (f(x)-L_2)|\le \ |f(x)\ -\ L_1|\ +\ |f(x)\ -\ L_2| </math>

Se tivermos um <math>12\cdot\delta <min({\delta_1},{\delta_2}) </math> e <math>12\cdot0<|x\ -\ a|<\ \delta </math>, serão válidas as condições:

<math>12\cdot |f(x)\ -\ L_1|\ <\ \epsilon </math>

<math>12\cdot |f(x)\ -\ L_2|\ <\ \epsilon </math>

Teremos em consequência que:

<math>12\cdot |L_1\ -\ L_2|\ <\ 2\epsilon </math> para todo <math>12\cdotx </math> para o qual <math>12\cdot0<|x\ -\ a|<\ \delta </math>.

Como podemos arbitrar <math>12\cdot \epsilon </math>, teremos, ao fazer <math>12\cdot \epsilon \ =\ \frac{|L_1\ -\ L_2|}{2} </math>, que:

<math>12\cdot|L_1\ -\ L_2|\ <\ |L_1\ -\ L_2| </math>

Mas isto é contraditório, portanto <math>12\cdot L_1\ =\ L_2 </math>.

====T2 - (Soma e diferença)====
{{Teorema
|título=Limites da soma e da diferença
|texto=
Sejam duas funções <math>12\cdotf(x) </math> e <math>12\cdotg(x) </math>, cujo limite em um ponto <math>12\cdota </math> exista. O limite da soma (ou da diferença) das funções no ponto <math>12\cdota </math> existe e é:
|fórmula=
 <math>12\cdot\lim_{x\to a}\left(f(x)\ \pm\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \pm \lim_{x\to a}g(x) </math>
}}

'''Demonstração:'''

Faremos a demonstração apenas para o caso da soma de funções, deixando a cargo do leitor verificar que a propriedade análoga para a diferença de funções pode ser provada de forma parecida.

Tomando <math>12\cdot\lim_{x\to a}f(x)=A </math> e <math>12\cdot\lim_{x\to a}g(x)=B </math>, devemos, pela definição, provar que:

Dado qualquer <math>12\cdot\epsilon </math> positivo, existe algum <math>12\cdot\delta </math> positivo, para o qual <math>12\cdot|(f(x)+g(x))\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon </math> sempre que <math>12\cdotx \in D_f </math> satisfaz <math>12\cdot0\ <\ |x-a|\ < \ \delta </math>

Posto que existem os limites de <math>12\cdotf(x) </math> e <math>12\cdotg(x) </math> em <math>12\cdota </math>, já sabemos que para quaisquer <math>12\cdotk </math> e <math>12\cdotp </math> positivos, existem <math>12\cdot\delta_1 </math> e <math>12\cdot\delta_2 </math> positivos satisfazendo:

* <math>12\cdot|f(x)-A|\ <\ k </math>, <math>12\cdot\forall x \in D_f </math> tal que <math>12\cdot0\ <\ |x-a|\ <\ \delta_1 </math>

* <math>12\cdot|g(x)-B|\ <\ p </math>, <math>12\cdot\forall x \in D_f </math> tal que <math>12\cdot0\ <\ |x-a|\ <\ \delta_2</math>

e pela desigualdade triangular:

<math>12\cdot|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ \le\ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ </math>

Então, ao arbitrar <math>12\cdot\epsilon \ =\ p+k \ >\ 0 </math>, existe <math>12\cdot\delta\ =\ min \{\delta_1, \delta_2\} </math>, de modo que se <math>12\cdot0\ <\ |x-a|\ <\ \delta </math> vale:

<math>12\cdot|f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ <\ k+p\ =\ \epsilon </math>, ou seja,

<math>12\cdot|f(x)+g(x)\ -\ (A+B)|\ <\ \epsilon </math>

=====Observação=====
Ao provar a propriedade para a diferença de funções, a principal mudança é no passo onde é utilizada a [[w:desigualdade triangular|desigualdade triangular]]. Em tal caso, deveriamos observar que:

<math>12\cdot|f(x)-g(x)\ -\ (A-B)|\ = \ |f(x)-A\ +\ (-g(x)+B)|\ \le\ |f(x)-A|\ +\ |g(x)-B|\ </math>

====T3 - (Produto)====

{{Teorema
|título= Limite do produto de duas funções
|texto=
Se existem os limites das funções <math>12\cdotf(x) </math> e <math>12\cdotg(x) </math> em um ponto <math>12\cdota </math>, então o limite do produto das funções neste ponto existe, e é dado por:
|fórmula=
 <math>12\cdot\lim_{x\to a}\left(f(x)\ \cdot\ g(x)\right)\ =\ \lim_{x\to a}f(x)\ \cdot \lim_{x\to a}g(x) </math>
}}

'''Demonstração:'''

Consideremos que <math>12\cdot\lim_{x\to a}f(x)=L </math> e que <math>12\cdot\lim_{x\to a}g(x)=M </math>.

Queremos verificar se para cada <math>12\cdot\epsilon </math> positivo, existe algum <math>12\cdot\delta </math> positivo, tal que

<math>12\cdot\left| f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M \right|\ <\ \epsilon </math>, para todo <math>12\cdotx \in D_f \cap D_g </math> que verifica <math>12\cdot0< \left| x\ -\ a \right|< \delta </math>

Considerando que existem os limites <math>12\cdot\lim_{x\to a}f(x) </math> e <math>12\cdot\lim_{x\to a}g(x) </math>, é possível encontrar certo <math>12\cdot\delta_1 \ >\ 0 </math>, para o qual

* <math>12\cdot|f(x)-L|\ <\ 1 </math>'''<sup><font color=red>(1)</font></sup>''' sempre que <math>12\cdotx \in D_f </math> e <math>12\cdot0<|x-a|\ <\ \delta_1 </math>.

do que podemos concluir que, para estes valores de <math>12\cdotx </math>, vale <math>12\cdot|f(x)|\ <\ |L|+1 </math>.

Mas para qualquer <math>12\cdot\epsilon \ =\ p+k </math>, com <math>12\cdotp>0 </math> e <math>12\cdotk>0 </math>, também existem valores positivos <math>12\cdot\delta_2 </math> e <math>12\cdot\delta_3 </math>, de modo que

* <math>12\cdot|g(x)-M|\ <\ \frac{p}{|L|-1} </math>'''<sup><font color=red>(2)</font></sup>''', quando <math>12\cdotx \in D_f </math> e <math>12\cdot0<|x-a|<\ \delta_2 </math> e

* <math>12\cdot|f(x)-L|\ <\ \frac{k}{|M|+1} </math>'''<sup><font color=red>(3)</font></sup>''', se <math>12\cdotx \in D_f </math> e <math>12\cdot0<|x-a|<\ \delta_3 </math>.

Então, se <math>12\cdot\delta \ <\ \{\delta_1, \delta_2, \delta_3\} </math>, e <math>12\cdot0<|x-a|<\ \delta </math>, valem as desigualdades '''<font color=red>(1)</font>''', '''<font color=red>(2)</font>''' e '''<font color=red>(3)</font>'''.

Vamos então trabalhar com a expressão <math>12\cdot|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M| </math> para concluir que ela é fica menor que <math>12\cdot\epsilon </math> para estes valores de <math>12\cdotx </math> .
Primeiramente, observe que 
<math>12\cdot|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ = |f(x)\cdot (g(x)-M)\ +\ M\cdot (f(x)-L)| </math>

Usando a desigualdade triangular nesta última expressão, e observando que <math>12\cdot|M|<|M|+1 </math>, obtemos
<math>12\cdot|f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M|\ \le |f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L| </math>

Aplicando as desigualdades '''(1)''', '''(2)''' e '''(3)''', resulta <math>12\cdot|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ |f(x)|\cdot \frac{p}{|L|-1}\ +\ (|M|+1)\cdot \frac{k}{|M|+1} </math>

Como <math>12\cdot\frac{f(x)}{|L|-1}<1 </math>, concluimos que
<math>12\cdot|f(x)|\cdot |g(x)\ -\ M|\ +\ (|M|+1)\cdot |f(x)-L|\ <\ p+k </math>

Portanto, <math>12\cdot\left| f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M \right|\ <\ \epsilon </math>, o que confirma a validade do teorema.

====T4 - (Razão)====
{{Teorema
|título=Limite da razão de duas funções
|texto=
Se existem os limites das funções <math>12\cdotf(x) </math> e <math>12\cdotg(x) </math> em um ponto <math>12\cdota </math>, e se o limite da função <math>12\cdotg(x)</math> no ponto <math>12\cdota </math> é diferente de zero, então o limite da razão das funções neste ponto existe e é:
|fórmula=
 <math>12\cdot\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\ =\ \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} </math>
}}

'''Demonstração:'''

Seja <math>12\cdot\lim_{x\to a}g(x)=M \ne 0 </math>. Basta mostrar que <math>12\cdot\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} \ = \ \frac{1}{M}</math>, e aplicar a regra do produto para <math>12\cdotf(x) \times \frac{1}{g(x)}</math>.

Queremos verificar se para cada <math>12\cdot\epsilon </math> positivo, existe algum <math>12\cdot\delta </math> positivo, tal que

<math>12\cdot\left| \frac{1}{g(x)}\ -\ \frac{1}{M} \right|\ <\ \epsilon </math>, para todo <math>12\cdotx \in D_g </math> que verifica <math>12\cdot0< \left| x\ -\ a \right|< \delta </math>

Mas esta expressão pode ser reescrita como:
<math>12\cdot\left| \frac{M - g(x)}{M g(x)} \right|\ < \epsilon </math>.

A ideia agora é mostrar que, na fração acima, temos que o denominador é um número não muito pequeno, enquanto que o numerador é um número pequeno.

Como ''g(x)'' se aproxima de ''M'', vamos forçar o denominador a ser um número maior (em módulo) que <math>12\cdot\frac{M^2}{2}</math>, e vamos, portanto, forçar o numerador a ser um número menor (em módulo) que <math>12\cdot\frac{\epsilon}{2M^2}</math>. Assim, a razão dos dois será menor (em módulo) que <math>12\cdot\epsilon</math>.

* Denominador
Pelo fato de <math>12\cdot\lim_{x \to a} g(x) = M \ne 0</math>, temos que para o número positivo <math>12\cdot\frac{\left|M\right|}{2}</math> existe um <math>12\cdot\delta_1 > 0 </math> tal que <math>12\cdot\forall x, (\left|x - a\right| < \delta_1 \implies \left|g(x) - M\right| < \frac{\left|M\right|}{2}</math>.

Mas isto implica, em particular, que <math>12\cdot\left|g(x)\right| = \left|M - (g(x) - M)\right| \ge \left|M\right| - \left|g(x) - M\right| >  \left|M\right| - \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{\left|M\right|}{2}</math>.

Portanto, temos que <math>12\cdot\left|M g(x)\right| = \left|M \right| \ \left|g(x)\right| > \left|M\right| \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{M^2}{2}</math>.

* Numerador
É imediato, pela propriedade da subtração de limites, que, como <math>12\cdot\lim_{x \to a}(M - g(x)) = 0</math>, temos que existe <math>12\cdot\delta_2 > 0</math> tal que <math>12\cdot\forall x, (x < \delta_2 \implies \left|M - g(x)\right| < \frac{\epsilon}{2 M^2}</math>.

* Fração
Agora basta tomar <math>12\cdot\delta = min(\delta_1, \delta_2)</math>, e observar o resultado desejado.

====T5 - (Potência)====

{{Teorema
|título=Limite da função com expoente.
|texto=
Seja a função <math>12\cdotf(x) </math>, o limite da função em um ponto <math>12\cdota </math>, quando a mesma é elevada a um expoente inteiro <math>12\cdotn > 0</math>, é:
|fórmula=
 <math>12\cdot\lim_{x\to a}(f(x))^n\ =\ \left(\lim_{x\to a}f(x)\right)^n </math>
}}
'''Demonstração:'''

De fato, para cada número natural <math>12\cdotn,</math> temos:

<math>12\cdot\lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^n =\ \lim_{x \to a} \left( \underbrace{ f(x)\cdot f(x)\cdot \dots \cdot f(x) }_{n \text{ vezes}} \right) </math>

O que, pelo teorema do produto, é igual ao produto dos limites:

<math>12\cdot  \underbrace{ \lim_{x \to a} f(x)\cdot \lim_{x \to a} f(x)\cdot \dots \cdot \lim_{x \to a} f(x)}_{n \text{ vezes}} </math>

E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar.

====T6 - (Radiciação)====

{{Teorema
|título=Limite da radiciação de uma função.
|texto=
Sejam a função <math>12\cdotf(x) </math>, o limite da função em um ponto <math>12\cdota </math>, quando a mesma está sob um radical de potência inversa <math>12\cdotn </math>, é:
|fórmula=
 <math>12\cdot\lim_{x\to a}\sqrt[n]{(f(x))}\ =\ \sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)} </math>
}}

'''Demonstração:'''

'''Conseqüentes para funções algébricas:'''

Estas propriedades são verificadas rapidamente a partir da definição.

 <math>12\cdot\lim_{x\to a} c\ =\ c </math>

 <math>12\cdot\lim_{x\to a} x\ =\ a </math>

Além disso, as regras a seguir são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima:

 <math>12\cdot\lim_{x\to a}(mx\ +\ b)\ =\ ma\ +\ b </math> sendo <math>12\cdot m \ne \ 0; </math>

 <math>12\cdot\lim_{x\to a}(mx^n\ +\ px\ +\ \dots \ +\ b)\ =\ (ma^n\ +\ pa\ +\ \dots \ +\ b) </math> sendo <math>12\cdot m \ne \ 0; </math>

===Limites laterais===

Consideremos a função: <math>12\cdotf(x) = \sqrt{x-2} </math>. Podemos notar que nenhum valor de <math>12\cdotx </math> menor que 2 está no domínio da função, ou seja, ela não está definida no intervalo <math>12\cdot(-\infty, 2) </math>. Esta indefinição também se 
refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo, pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função não esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais).

O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função?

Como o seu domínio é apenas <math>12\cdot[2, \infty) </math>, devemos restringir o cálculo de limites a este intervalo; quando um conjunto (no caso, um intervalo) de números precisa ser excluído do domínio da função, ou quando já se sabe que a função não está definida em tal conjuto, podemos também, excluir certa faixa de valores durante o cálculo de limites; Por exemplo, ao analisar o comportamento de <math>12\cdotf(x)</math> nas proximidades do ponto <math>12\cdota</math>, se quisermos adotar apenas números maiores que <math>12\cdota</math> na análise, podemos simbolizar isto desta forma: <math>12\cdot \lim_{x \to a^+}f(x) </math>, da mesma forma poderemos adotar apenas números menores que <math>12\cdota </math>, 
representando a restrição da seguinte forma: <math>12\cdot \lim_{x \to a^-}f(x) </math>.

No primeiro caso dizemos que o '''limite lateral pela direita''' da função é o valor para o qual a função tende quando <math>12\cdotx</math> 
se aproxima de <math>12\cdota</math> pela direita. No segundo caso dizemos que '''o limite lateral pela esquerda''' da função é o valor para o qual a função tende quando <math>12\cdotx</math> se aproxima de <math>12\cdota</math> pela esquerda.

====Limite lateral pela direita====

Dizemos que <math>12\cdot \lim_{x \to a^+}f(x) = L </math>, quando:

<math>12\cdot\left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad 0\ <\ x\ -\ a\ <\ \delta </math>

====Limite lateral pela esquerda====

Dizemos que <math>12\cdot \lim_{x \to a^-}f(x) = L </math>, quando:

 <math>12\cdot\left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon \quad \forall \quad - \delta \ <\ x\ -\ a\ <\ 0 </math>

===Infinitos===

Já lhe perguntaram o que é o ''infinito''? Certamente alguém lhe deu uma resposta poética a respeito e de fato no sentido poético, o ''infinito'' é algo fascinante...
Agora imagine um número absolutamente tão alto quanto é possível você conceber... Conseguiu? Pois bem, por maior que seja o número escolhido, ele não é ''infinito''. Aqui, falaremos do ''infinito'' como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. '''Infinito''' é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto que jamais 
poderíamos atingir. É como se fosse um caminho sem fim, como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim.

[[#Breve explanação|No início]] deste capítulo, discutimos como analisar o comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas situações novas:
* O que acontece com os valores de <math>12\cdotf(x)</math>, quando <math>12\cdotx</math> é muito grande?
* O que fazer quando, ao aproximar <math>12\cdotx</math> de um ponto <math>12\cdota</math>, os valores de <math>12\cdotf(x)</math> ficam cada vez maiores?
Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos". Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de ''limite''. Para isso, quando realizarmos um cálculo, podemos tratar o ''infinito'' como se fosse um ''número'', embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar. Por exemplo, caso a variável <math>12\cdotx </math> esteja ''tendendo ao infinito'', e apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com a expressão caso <math>12\cdotx </math> fosse um número suficientemente grande. Então façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das funções quando a variável ''tende a infinito''.

Considerando uma função definida como:

<math>12\cdotf(x)=\frac{1}{|x|} </math>

Pensemos na melhor maneira de variar ''x'' para aumentar sucessivamente o valor desta função. Isto é possível fazendo com que <math>12\cdot|x| </math> forneça valores que diminuem até zero. É importante notar que quanto mais <math>12\cdot|x|</math> diminui, mais os valores da função <math>12\cdotf(x)</math> aumentam.

Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente. Usaremos esta pois nos ajuda a evitar expressões como ''quociente de funções complicadas'' ou ''composição de várias funções'', e assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante.

Vejamos alguns exemplos numéricos de como a função aumenta sucessivamente os seus valores, quando a variável se aproxima de zero. Acompanhe a tabela:
<center>
{| class="wikitable" 
|-
! <math>12\cdotx </math> 
| -2500 || -200 || -10 || -0,5 || -0,002 || -0,000016 || 0 || 0,00008 || 0,0025 || 2,5 || 250|| 4000
|-
! <math>12\cdoty=f(x) </math>
| 0,0004 || 0,005 || 0,1 || 2 || 500 || 62500 || <math>12\cdot\mathcal{6}\exists </math> || 12500 || 400 || 0,4 || 0,04 || 0,00025
|}
</center>
Vemos que ao aproximar <math>12\cdotx </math> de zero, os valores de <math>12\cdoty=f(x) </math> ''tendem a ficar muito grandes''. No entanto, se tivéssemos utilizado a função <math>12\cdotg(x)=\frac{1}{x} </math> em vez de <math>12\cdotf(x)=\frac{1}{|x|} </math>, teríamos um comportamento ligeiramente para valores negativos de <math>12\cdotx </math>: Ao fazer <math>12\cdotx </math> se aproximar de zero, <math>12\cdotg(x) </math> ''decresceria'' indefinidamente (tenderia a <math>12\cdot-\infty </math>).

Levando em conta a discussão anterior, formalizaremos expressões intuitivas como "os valores da função vão para o infinito", "<math>12\cdotf(x)</math> tende ao infinito" e outras do gênero, com a notação <math>12\cdot\lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|} = \infty </math>, que será definida precisamente mais adiante.

Isto é um exemplo do que chamamos de ''infinito matemático''.

====Tendências infinitas====
Neste ponto, nosso interesse é tratar da possibilidade de <math>12\cdotf(x) </math> se aproximar de um certo número real, quando escolhemos valores cada vez maiores para <math>12\cdotx </math>. Um ótimo exemplo é a função apresentada acima. De acordo com a tabela, vemos que parece ser razoável escrever:

<math>12\cdot\lim_{x \to \infty}\ \frac{1}{|x|}\ =\ 0 </math>

Isso se justifica, pois os valores de <math>12\cdotf(x) </math> ficam muito pequenos (próximos de zero), quando <math>12\cdot|x| </math> é muito grande.

Este é um conceito importantíssimo na análise, no cálculo e em diversos campos das ciências exatas. Iremos aprofundar este conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos. Para isso, considere a função <math>12\cdotf(x)\ =\ \frac{x^2-2}{x^2-1} </math>. Pode-se mostrar que o seu valor jamais será maior que 1 quando tomamos valores de <math>12\cdotx </math> maiores que 1 (verifique!).

Fazendo sucessivas aproximações vemos que:

<math>12\cdotx=1,5 \Rightarrow\quad f(x)=(0,2) </math>

<math>12\cdotx=2,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,809523) </math>

<math>12\cdotx=3,5\Rightarrow \quad f(x)=(0,911111) </math>

<math>12\cdotx=5,0\Rightarrow \quad f(x)=(0,985333) </math>

<math>12\cdotx=10\Rightarrow \quad f(x)=(0,989898) </math>

<math>12\cdotx=100\Rightarrow \quad f(x)=(0,999899) </math>

De fato temos uma ''tendência'' do valor da função se igualar a 1 quando levamos <math>12\cdotx </math> para números muito altos, embora ela nunca alcance o valor 1. Chamamos isso de '''limite no infinito''', ou '''tendência infinita''', e dizemos que <math>12\cdotf(x) </math> tende a 1 quando <math>12\cdotx </math> tende ao infinito.

Podemos simbolizar a tendência de <math>12\cdotf(x) </math>, quando <math>12\cdotx </math> fica cada vez maior, usando uma destas formas:

 <math>12\cdot\lim_{x \to + \infty}f(x) </math>

ou 

 <math>12\cdot\lim_{x \to \infty^+}f(x) </math>

O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente tende ao infinito negativo (<math>12\cdot- \infty </math>), então podemos representá-la assim:

 <math>12\cdot\lim_{x \to - \infty}f(x) </math>

ou 

 <math>12\cdot\lim_{x \to \infty^-}f(x) </math>

A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de forma rigorosa as ''têndências infinitas'' e os ''limites infinitos''.

'''Definição'''

Chamamos o número <math>12\cdotL </math> de '''limite lateral no infinito positivo''' se:

 <math>12\cdot \forall \epsilon >0,\quad \exists N>0 \quad </math> tal que vale a implicação <math>12\cdot x>N \quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon </math>

Ou seja, <math>12\cdotL </math> é o número para qual uma função <math>12\cdotf(x) </math> tende a se igualar quando a variável independente <math>12\cdotx </math> ultrapassa o número positivo N.

Do mesmo modo, chamamos o número <math>12\cdotL </math> de '''limite lateral no infinito negativo''' se:

 <math>12\cdot \forall \epsilon >0,\quad \exists N<0 \quad </math> tal que vale a implicação <math>12\cdotx<N \quad \Rightarrow \quad \left|f(x)\ -\ L \right|\ <\ \epsilon </math>

Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função, que portanto deve necessariamente ser ilimitado.

====Limites infinitos====

Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce vertiginosamente até zero, o que podemos fazer?

Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível colocar qualquer valor.
Adotamos <math>12\cdot + \infty </math> ou <math>12\cdot - \infty </math>, pois <math>12\cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\ =\ + \infty </math>, como já definimos anteriormente.

==Continuidade==

O básico conceito de continuidade expressa da ausência de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação. 

Ao definir o conceito de '''continuidade''', o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de ''quebras'' ou ''saltos'' em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela ''"cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel"''. Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma ''interpretação'' do conceito, e que este é muito mais amplo.

{| WIDTH="100%"
|-
| style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top |
'''Definição: (função contínua em um ponto)'''

Se <math>12\cdotf(x) </math> é definida num intervalo aberto contendo <math>12\cdotc </math>, então <math>12\cdotf(x) </math> é dita ser '''contínua em <math>12\cdotc \;</math>''' se, e somente se <math>12\cdot\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) </math>.
|}

Para exprimir em símbolos que uma função <math>12\cdotf(x) </math> é '''contínua''' no ponto <math>12\cdota </math>, escreve-se:

 <math>12\cdot \forall \; \epsilon > 0, \; \exists \; \delta > 0 \; \quad|\quad \forall \; x \in D_f, |x-a| < \delta \implies |f(x)-f(a)| < \epsilon </math>

Isto significa que:
 
* <math>12\cdot\exists \; \lim_{x \rightarrow c} f(x) </math>
* <math>12\cdot\exists f(a) </math>
* <math>12\cdot\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a) </math>

Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.

{{CaixaMsg|tipo=exemplo|texto=
;Exemplos:
# Considere a função <math>12\cdotf </math> definida por <math>12\cdot f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2-1}{x-1},  & \mbox{se } x \ne 1 \\
               2 ,  & \mbox{se } x = 1
\end{cases} </math>

Tem-se:
* <math>12\cdot \lim_{x \to 1}f(x) \; \exists \;\Leftrightarrow \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} </math>. Como <math>12\cdot \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = 2 = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} </math>, se conclui que o limite existe, e é igual a 2.
* <math>12\cdot f(1)=2 </math>.
* <math>12\cdot\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a) </math>
}}

== Notas ==
<references/>

{{AutoCat}}

[[en:Calculus/Limits]]