Revision 53152 of "Cálculo Avançado/Índice/Séries de termos positivos" on ptwikiversity

<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III'''''</div>
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===Séries de termos positivos===

<math> \sum a_n; \, a_n > 0, \forall n </math>

====Teste da integral====

Seja <math>\sum a_n</math> uma série de termos positivos.
Seja <math>f(x)</math> uma função positiva, contínua e decrescente para <math>x \ge 1</math>,
e tal que <math>f(n) = a_n</math>, para <math>n \ge 1</math>. Então a série
<math>\sum a_n = \sum f(x) = f(1) + f(2) + \ldots</math>:

* Converge, se <math>\int_1^{+\infty} f(x) \, dx</math> convergir;
* Diverge, se <math>\int_1^{+\infty} f(x) \, dx</math> divergir.

====Teste da comparação simples====

Sejam <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math>, <math>a_n, b_n</math> > <math>0</math>, tais que <math>a_n \ge b_n</math>. Então:
* Se <math>\sum a_n</math> converge, então <math>\sum b_n</math> converge
* Se <math>\sum b_n</math> diverge, então <math>\sum a_n</math> diverge

====Teste da comparação por limite====

Sejam <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math>, <math>a_n, b_n</math> > <math>0</math>, tais que <math>a_n \ge b_n</math>. Se:
* <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = k, k \ne 0</math>, então as séries têm o mesmo comportamento
* <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0</math>, então a série <math>\sum a_n</math> converge se a série <math>\sum b_n</math> converge
* <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = +\infty</math>, então a série <math>\sum a_n</math> diverge se a série <math>\sum b_n</math> diverge

====P-séries (Critério de Dirichelet)====

Uma série do tipo <math>\sum \frac{1}{n^p}</math> converge se ''p'' > 1 e diverge se <math>p \le 1</math>.
Essas séries são conhecidas como ''p-séries'', e são comumente usadas em testes de comparação.

====Teste da razão (Critério de d'Alembert)====

Seja <math>\sum a_n</math> uma série, onde <math>a_n</math> > <math>0</math>. Então:

<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = k </math>
* Se k < 1, a série converge
* Se k > 1, a série diverge
* Se k = 1, nada se pode concluir

====Teste da raiz (Critério de Cauchy)====

Seja <math>\sum a_n</math> uma série, onde <math>a_n</math> > <math>0</math>. Então:

<math> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = k </math>
* Se k < 1, a série converge
* Se k > 1, a série diverge
* Se k = 1, nada se pode concluir



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