Difference between revisions 73069 and 73071 on ruwikibooks

⏎
⏎
[[Файл:Graph of example function.svg|thumb|250px|График функции<br /> <math>\begin{align}&\scriptstyle  \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math>.]]
'''Функция'''    — [[Математика|математическое]] понятие, отражающее связь между элементами различных [[Множество|множеств]]. В самом общем виде, функция    — это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому '''''областью определения''''') ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого '''''областью значений''''').

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна [[величина]] полностью определяет значение другой величины. Так значение [[Переменная|переменной]] <math>x</math> однозначно определяет значение выражения <math>x^2</math>, а значение [[месяц]]а однозначно определяет значение следующего за ним месяца. Аналогично некоторый задуманный заранее [[алгоритм]] по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Изучением функций занимаются обширные математические теории, такие как [[математический анализ]] и [[функциональный анализ]]. Обычно рассматриваются [[Числовая функция|числовые функции]], которые ставят одни числа в соответствие другим. Такие функции удобно представляются на рисунках в виде [[График функции|графиков]].

== Введение ==
Понятие функции, наравне с понятием множества, является фундаментальным понятием математики.

По сути, функция    — это специальным образом устроенное [[Бинарное отношение|отношение]] (множество упорядоченных пар), где первый элемент пары называется ''аргументом'', а второй элемент    — ''результатом'': при заданном значении аргумента функциональная зависимость обеспечивает конкретное значение результата; последнее и называется '''значением функции''' (при заданном значении аргумента).  

Функция является синонимом таких понятий, как '''соответствие''' и '''отображение'''. В самом общем случае принято говорить об отображении. Функции, отображающие множества сами в себя (когда область значений совпадает с областью определения), нередко называют '''преобразованиями''' или '''операторами''', если речь идёт о каких-либо пространствах. '''Операция''' ([[Унарная операция|унарная]], [[Бинарная операция|бинарная]] или, более общо, <math>n</math>-арная)    — тоже пример функции, действующей на заданном множестве.    

В [[Теория множеств|теории множеств]] изучаются наиболее общие (абстрактные) свойства функций. В [[Математический анализ|математическом анализе]] (и, шире, в [[Комплексный анализ|комплексном анализе]]) исследуются [[Числовая функция|числовые функции]]. В [[Функциональный анализ|функциональном анализе]] рассматриваются целые совокупности функций, образующие [[функциональные пространства (математика)|функциональные пространства]]. Разрабатываемые в рамках [[Теория функций|теории функций]] методы находят своё широкое применение в [[Теория приближений|теории приближений]], [[Теория дифференциальных уравнений|теории дифференциальных уравнений]], а также в [[Физика|физике]].    

Отдельная ветвь исследований    — это изучение функций («стрелок»), как ''исходных объектов''. Сюда относится [[теория категорий]] и [[теория топосов]].

== Определения ==

=== Независимое определение ===

'''Функция''' <math>~f</math> ('''отображение''', '''операция''', '''оператор''')    — это ''закон'' или ''правило'', согласно которому каждому элементу <math>~x</math> из множества <math>~X</math> ставится в соответствие единственный элемент <math>~y</math> из множества <math>~Y</math>.<ref name="ilyin">{{книга
|автор        = [[Ильин, Владимир Александрович|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть               = Глава 3. Теория пределов
|заглавие         = Математический анализ
|ссылка             = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный= {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание           = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место               = М.
|издательство = Проспект
|год                   = 2006
|том                   = 1
|страницы         = 105 — —121
|страниц           = 672
|isbn                 = 5-482-00445-7
}}</ref> При этом говорят, что функция <math>~f</math> ''задана'' на множестве <math>~X</math>, или что <math>~f</math> ''отображает'' <math>~X</math> в <math>~Y</math>, и пишут <math>f \colon X \to Y</math>. Здесь <math>~x</math> можно понимать, как [[Переменная|переменную]], принимающую значения из множества <math>~X</math>.

Если элементу <math>x\in X</math> сопоставлен элемент <math>y\in Y</math>, то говорят, что элемент <math>~y</math> находится в '''''функциональной зависимости''''' <math>~f</math> от элемента <math>~x</math>. Наличие зависимости наиболее часто обозначается в виде равенства <math>~y=f(x)</math>; реже используется обозначение без скобок <math>~y=fx</math> или <math>~y=xf</math>; так же существует и операторное обозначение <math>~y=x^f</math>, которое можно встретить в [[Абстрактная алгебра|общей алгебре]].

При этом переменная <math>~x</math> называется '''''аргументом''''' функции <math>~f</math> или '''''независимой переменной''''', множество <math>~X</math> называется '''''областью задания''''' или '''''областью определения''''' функции, а элемент <math>~y</math>, соответствующий конкретному элементу <math>~x</math>    — '''''частным значением''''' функции <math>~f</math> в точке <math>~x</math>. Множество <math>~Y</math> всех возможных частных значений функции <math>~f</math> называется её '''''областью значений''''' или '''''областью изменения'''''. Сам же символ <math>~f</math> в записи <math>~y=f(x)</math> иногда называют '''''характеристикой функции'''''.<ref name="ilyin"/>

=== Теоретико-множественное определение ===

По сути, <math>f</math>    — это бинарное отношение    — множество упорядоченных пар <math>(x,y)</math>, которое удовлетворяет следующему условию:
коль скоро, <math>(x,y_1)\in f</math> и <math>(x,y_2)\in f</math>, то обязательно <math>y_1=y_2</math>.  

Это и позволяет говорить о том, что элементу <math>x\in X</math> сопоставлен '''один и только один''' элемент <math>y\in Y</math> такой, что <math>(x,y)\in f</math>.

<!-- Другими словами, '''функция'''    — это ''однозначное'' отображение, подразумевая под отображением произвольное отношение и предполагая, таким образом, существование многозначных отображений ([[#Многозначные функции|см. ниже]]).
-->
Таким образом, '''функция'''    — это ''упорядоченная тройка'' объектов <math>(f,X,Y)</math>, где
* множество <math>X</math> называется '''о́бластью определе́ния''';
* множество <math>Y</math> называется '''о́бластью значе́ний''';
* множество упорядоченных пар <math>f\subseteq X\times Y</math> или, что то же самое, [[график функции]].  
Далее
* сама функция обозначается как <math>f</math> (тем самым устанавливается, что функция    — это множество);
* область определения функции <math>f</math> (множество <math>X</math>) обозначается <math>\mathop{dom} f</math> (от англ. ''domain''    — область);
* область значений функции <math>f</math> (множество <math>Y</math>) обозначается <math>\mathop{ran} f</math> (от англ. ''range''    — диапазон) или <math>\mathop{cod} f</math> (от англ. ''codomain''    — ко-область).

=== Обратное отображение ===

Отношение <math>f</math> (как и всякое отношение) допускает обратное, обозначаемое как <math>f^{-1}</math>. При этом, как только <math>(x,y)\in f</math>, непременно выполняется <math>(y,x)\in f^{-1}</math>.
Далее,
* область определения отношения <math>f^{-1}</math> (множество <math>Y</math>) совпадает с областью значений отношения <math>f</math>: <math>\mathop{dom} f^{-1}=\mathop{cod} f</math>;
* область значений отношения <math>f^{-1}</math> (множество <math>X</math>) совпадает с областью определения отношения <math>f</math>: <math>\mathop{cod} f^{-1}=\mathop{dom} f</math>.
Если   отображение <math>f\colon X\to Y</math> является ''обратимым'' (см. ниже), то обратное отношение <math>f^{-1}\colon Y\to X</math> тоже оказывается отображением, которое, в таком случае, называется '''обратным отображением''' или '''обратной функцией'''.  

Отображение, обладающее обратным, называется '''одно-однозначным''' или '''взаимно однозначным''' '''отображением'''.

=== Образ и прообраз (при отображении) ===

Элемент <math>y=f(x)</math>, который сопоставлен элементу <math>x</math>, называется '''образом''' элемента (точки) <math>x</math> (при отображении <math>f</math>).

Если взять целое ''подмножество'' <math>A</math> области определения функции <math>f</math>, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества <math>A</math>, а именно подмножество области значений (функции <math>f</math>) вида
:  <math>f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}</math>,
которое, называется '''образом множества''' <math>A</math> (при отображении <math>f</math>). Это множество иногда обозначается как <math>f[A]</math> или <math>A^f</math>.  

Наоборот, взяв некоторое подмножество <math>B</math> области значений функции <math>f</math>, можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции <math>f</math>), чьи образы попадают в множество <math>B</math>, а именно    — множество вида
:  <math>f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}</math>,
которое называется ('''полным''') '''прообразом''' множества <math>B</math> (при отображении <math>f</math>).

В том частном случае, когда множество <math>B</math> состоит из одного элемента, скажем, <math>B=\{y\}</math>, множество <math>f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}</math> имеет более простое обозначение <math>f^{-1}(y)</math>.

=== Область отправления и область прибытия ===

Нередко функции рассматривают на более широких множествах. При этом, говорится, что функция действует на более широком множестве, хотя область определения у неё уже.  

Таким образом, возникает два множества:
* множество отправления    — множество, на котором действует функция;
* множество прибытия    — множество, на которое действует функция.
Соответственно этому,  
* область определения оказывается подмножеством множества отправления;
* а область значений    — подмножеством множества прибытия.

=== Сужение (ограничение) и распространение (продолжение) ===

Пусть дано отображение <math>f\colon X\to Y</math> и <math>M\subset X</math>.

Функция <math>g\colon M\to Y</math> (<math>\mathop{dom}\,g=M</math>) такая, что <math>g(x)=f(x)</math> (<math>\forall x\in M</math>),
называется '''суже́нием''' (или, иначе '''ограничением''') функции <math>f</math> на множество <math>M</math>.  

Сужение функции <math>f</math> на множество <math>M</math> обозначается как <math>f\big|_M</math>.

Если функция <math>g\colon M\to Y</math> такова, что она является сужением для некоторой функции   <math>f\colon X\to Y</math>, то функция   <math>f</math>, в свою очередь, называется продолжением функции <math>g</math> на множество <math>X</math>.

В математике распространён способ построения функций, когда, сначала, значения задаются на каком-то одном множестве, а потом значения функции конструируются на других множествах на основе значений данной функции на исходном множестве. Для числовых функций значения последовательно задаются на множестве натуральных, целых, затем, рациональных чисел и, наконец, в результате операции предельного перехода, на множестве вещественных (действительных) чисел. Для комплексных функций таким способом построения функций является [[аналитическое продолжение]].

=== Тождественное отображение ===

Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества '''в себя''' или '''преобразованиями'''.  

В частности, преобразование <math>f\colon X\to X</math>, которое сопоставляет каждой точке <math>x</math> множества <math>X</math> её саму или, что тоже самое,
:  <math>f(x)=x</math> для каждого <math>x\in X</math>,  
называется '''тождественным'''.

Это отображение имеет специальное обозначение: <math>id_X</math> или, проще, <math>id</math> (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову ''identity'' («идентичный»).  

Другое обозначение тождественного преобразования    — <math>1_X</math>. Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве <math>X</math>. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют '''единичным'''.

=== Композиция отображений ===

Если два отображения согласованы между собой таким образом, что область значений одного из них является подмножеством (не обязательно собственным) области определения другого, то можно составить новое отображение, которое будет эквивалентно последовательному осуществлению двух данных отображений.  

Такое отображение называется ''композицией'' двух заданных отображений.

Более формально: пусть <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon Y\to Z</math>    — два заданных отображения таких, что
*  <math>\mathop{dom}\,f=X</math> и <math>\mathop{ran}\,f=Y</math>
*  <math>\mathop{dom}\,g=Y</math> и <math>\mathop{ran}\,g=Z</math>
тогда определено отображение <math>h\colon X\to Z</math> такое, что
*  <math>\mathop{dom}\,h=X</math> и <math>\mathop{ran}\,h=Z</math>.
Отображение <math>h</math> называется композицией отображений <math>f</math> и <math>g</math> и обозначается  
*  либо <math>f\cdot g</math> или <math>f\cdot g</math>,
*  либо <math>g\circ f</math> (именно в таком порядке!), что является наиболее употребительным.
Таким образом, для всякого <math>x\in X</math> однозначно определяется элемент <math>z\in Z</math> такой, что <math>z=h(x)</math>:
:  <math>z=g(y)</math>, где <math>y=f(x)</math>, или, что тоже самое, <math>z=g(f(x))</math>.
Другими словами,
:  <math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> для всякого <math>x\in X</math>.
Этим обосновывается обозначение композиции двух функций <math>f</math> и <math>g</math> в виде <math>g\circ f</math>, поскольку предполагается, что сначала выполняется самое правое отображение, которое находится ближе всего к аргументу.

Композиция допускает обобщение на произвольное (конечное) количество функций входящих в композицию. Главное    — это соблюдение простого правила: область определения каждой последующей функции должна включать область значений предыдущей.

Всякое отображение <math>f\colon X\to X</math> (преобразование) допускает взятие произвольной композиции, которая называется '''итерацией''' данного отображения (преобразования), в частности,
*  <math>f^2=f\circ f</math>    — т.  н. «квадрат» отображения <math>f</math>.
Аналогичным образом определяется произвольная '''степень отображения''':
*  <math>f^n=f\circ f^{n-1}</math>, <math>f^1=f</math> (по определению),
где <math>n</math>    — натуральное число, большее единицы.

== Способы задания функций ==
⏎
⏎
=== Аналитический способ ===
Обычно функция задаётся с помощью [[Математическая формула|формулы]], в которую входят [[Переменная|переменные]], [[Операция (математика)|операции]] и [[элементарные функции]]. Возможно [[Кусочно-заданная функция|кусочное задание]], то есть различное для различных значений аргумента.

Примеры:
* <math>f \left( x \right) = x^2</math>;
* <math>f \left( x, y \right) = x \lor y</math>;
* <math>f \left( A \right) = \left| A \right|</math>;
* <math>f \left( x \right) = \begin{cases} x^2, & x \leqslant 0; \\ -x^3, & x > 0. \end{cases}</math>

=== Табличный способ ===
Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём [[Интерполяция|интерполяции]] или [[Экстраполяция|экстраполяции]].
Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений [[Булева функция|булевой функции]]:
{| class="standard"
 ! <math>~x</math>
 ! <math>~y</math>
 ! <math>~x \land y</math>
 |-
 |<math>0</math>
 |<math>0</math>
 |align="center"|<math>0</math>
 |-
 |<math>0</math>
 |<math>1</math>
 |align="center"|<math>0</math>
 |-
 |<math>1</math>
 |<math>0</math>
 |align="center"|<math>1</math>
 |-
 |<math>1</math>
 |<math>1</math>
 |align="center"|<math>1</math>
 |}

=== Графический способ ===
[[Файл:Oscillographe courant bidirectionnel.svg|thumb|250px|Осциллограмма задаёт значение некоторой функции графически.]]
Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её [[График функции|графика]] на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с [[осциллограф]]а. Этот способ задания может страдать от недостатка [[Точность|точности]], однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.

=== Рекурсивный способ ===
Функция может быть задана [[Рекурсия|рекурсивно]], то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.

Примеры:
* [[факториал]];
* [[числа Фибоначчи]];
* [[функция Аккермана]].

=== Словесный способ ===
Функцию можно описать словами на [[Естественный язык|естественном языке]] каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или [[алгоритм]], с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь [[Детерминированность|детерминированы]], как формальные.

Примеры:
* функция, возвращающая цифру в записи числа [[Пи (число)|пи]] по её номеру;
* функция, возвращающая число [[атом]]ов во [[Вселенная|вселенной]] в определённый момент [[Время|времени]];
* функция, принимающая в качестве аргумента [[человек]]а, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.

== Свойства ==

Пусть задана функция <math>f\colon X\to Y</math>, где <math>X</math> и <math>Y</math>    — данные множества, причём <math>X=dom f</math>. Каждая такая функция может обладать некоторыми свойствами, описание которых приведено ниже.  

=== Образ и прообраз при отображении ===

==== Взятие образа ====

Положим, <math>A</math> и <math>B</math>    — подмножества области определения. Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора <math>f</math>) обладает следующими свойствами:
* <math>f(\varnothing)=\varnothing</math>;
* <math>A\ne\varnothing\Rightarrow f(A)\ne\varnothing</math>;
* <math>A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)</math>.
Далее
* образ объединения равен объединению образов: <math>f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)</math>;
* образ пересечения является подмножеством пересечения образов <math>f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)</math>.
Последние два свойства, вообще говоря, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

==== Взятие прообраза ====

Положим, <math>A</math> и <math>B</math>    — подмножества множества <math>Y</math>.

По аналогии с взятием образа, взятие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двумя очевидными свойствами:
* прообраз объединения равен объединению прообразов: <math>f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)</math>;
* прообраз пересечения равен пересечению прообразов <math>f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)</math>.
Данные свойства, также, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

В случае, если отображение ''обратимо'' (см. [[#Обратимость|ниже]]), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:
* образ пересечения равен пересечению образов: <math>f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)</math>.

=== Классы функций ===

Функции обладают свойствами, которые позволяют их подразделять на классы.

==== Сюръективность ====

{{main|Сюръекция}}

Функция <math>f</math> называется '''сюръективной''' (или, коротко, '''сюръекция'''), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен, хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция <math>f</math> '''сюръективна''', если образ множества <math>X</math> при отображении совпадает с множеством <math>Y</math>: <math>f[X]=Y</math>.

Такое отображение, называется ещё '''отображением ''на'''''.

Если условие сюръективности нарушается, что такое отображение называют '''отображением в'''.

=== Инъективность ===

{{main|Инъекция (математика)}}

Функция <math>f</math> называется '''инъективной''' (или, коротко, '''инъекция'''), если каждому элементу множества <math>X</math> сопоставлен один и только один элемент множества <math>Y</math>. Более формально, функция <math>f</math> '''инъективна''', если для любых двух точек <math>x_1\in X</math> <math>x_2\in X</math> таких, что <math>f(x_1)=f(x_2)</math>, непременно выполняется <math>x_1=x_2</math>.

=== Биективность ===
{{main|Биекция}}
Если функция является и ''сюръективной'', и ''инъективной'', то такую функцию называют '''биективнной'''.
<!-- == Связанные понятия == -->
<!-- == Классы функций ==
При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств <math>X</math> и <math>Y</math>. Если <math>X</math> и <math>Y</math>    — числовые множества, такие, как <math>\R</math> или <math>\C</math>, то отображение называют функцией. Если <math>X</math> или <math>Y</math> многомерны, например, <math>\R^n</math> или <math>\C^n</math>, то отображение называют '''ве́ктор-фу́нкцией'''. Если <math>X</math>    — произвольной природы, а <math>Y</math>    — [[поле (алгебра)|поле]], то отображение называют '''функциона́лом'''. В специальных случаях используют и другие термины: [[Оператор (математика)|оператор]], [[Функтор (математика)|функтор]], [[преобразование]], [[морфизм]] и    т.    д.-->
<!-- == Вариации и обобщения ==
* [[многозначная функция]]-->
<!-- === Функции нескольких аргументов ===

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.
Пусть даны множества <math>X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n</math> и множество <math>Y</math>, тогда упорядоченное множество всех [[кортеж]]ей <math>f=\left\{(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n,\;y)\right\}</math> называется функцией <math>n</math> аргументов тогда и только тогда, когда для любых <math>(x'_1,\;x'_2,\;\ldots,\;x'_n,\;y')\in f</math> и <math>(x''_1,\;x''_2,\;\ldots,\;x''_n,\;y'')\in f</math> из <math>y'\neq y''</math> следует, что <math>x_{n}' \neq x_{n}'',\forall x\in [1,\;n]\cap\Z</math>.<ref>Кудрявцев Л.    Д.    Курс математического анализа.    — том 1.    — М.: Высшая школа, 1981.    — с. 8.</ref>
-->

== Исторический очерк ==
{{main|История понятия функции}}

== Примеры ==
* [[Функция Дирихле]]
** Возвращает [[1 (число)|единицу]], если аргумент    — [[рациональное число]], если же [[Иррациональное число|иррациональное]], то возвращает [[0 (число)|ноль]].
**:  <math>D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}</math>
** Область определения: <math>\R</math> (вся [[числовая ось]]).
** Область значений: <math>\left\{ 0, 1 \right\}</math>.

* [[Функция sgn(x)]]
** Возвращает знак аргумента.
**:  <math>\sgn x = \begin{cases} +1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}</math>
** Область определения: <math>\R</math>.
** Область значений: <math>\left\{ -1, 0, +1 \right\}</math>.

* <math>y = \sqrt{1 - x^2}</math>
** Область определения: <math>\left[ -1, +1 \right]</math>.
** Область значений: <math>\left[ 0, +1 \right]</math>.

* [[Факториал]]
** Возвращает произведение всех натуральных чисел, не больших данного. Кроме того, <math>~0! = 1</math>.
**: <math> n! = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ n \cdot \left( n - 1 \right)!, & n \neq 0 \end{cases} </math>
** Область определения: <math>\N_0</math> (множество [[Натуральное число|натуральных чисел]] с нулём).
** Область значений: <math>\left\{ 1, 2, 6, 24, 120, \ldots \right\}</math>

* [[Целая часть|Антье (пол)]]
** Возвращает целую часть числа.
**: <math>\lfloor x \rfloor = \max \left\{ q \in \Z \mid q \leqslant x \right\}</math>
** Область определения: <math>\R</math>.
** Область значений: <math>\Z</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Алгоритм]]
* [[График функции]]
* [[Композиция функций]]
* [[Многозначная функция]]
* [[Последовательность]]
* [[Предикат]]
* [[Уравнение]]
* [[Функционал]]
* [[Функциональное уравнение]]
* [[Функциональный анализ]]
* [[Числовая функция]]
* [[Элементарные функции]]

== Литература ==
* Функция. Математический энциклопедический словарь.    — Гл. ред. Ю.    В.    Прохоров.    — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
* ''Клейн Ф.'' [[s:Элементарная математика с точки зрения высшей/Общее понятие функции|Общее понятие функции]]. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933

== Ссылки ==