Revision 11731601 of "Хилбертова и Пеанова крива у равни и простору" on srwiki

{{Spajanje|Геометријски фрактали}}
{{МАТФ2015}}
'''Геометријски фрактал''' је "[[геометријски лик]] који се може разложити на мање делове тако да је сваки од тих делова, макар приближно, умањена копија целине".{{sfn|Mandelbrot|1982|pp=}} Још се каже и да је такав лик сам себи сличан. Термин фрактал је извео [[Беноа Манделброт]] [[1975]].<ref>{{Cite book |title=Measure, Topology, and Fractal Geometry |last=Edgar|first=Gerald  |year=2008|publisher=Springer Science+Business Media|location= New York |isbn=978-0-387-74748-4 |pages= VII}}</ref> године из [[Латински језик|латинске]] речи ''-{fractus}-'' која значи „сломљен“, „разломљен“.
[[датотека:Dragon_curve_animation.gif|мини|десно|300p|[[Змајевa крива]]]]
Основна подела фрактала је на:
* ''геометријске'',
* ''алгебарске'' и
* ''стохастичке'' фрактале.
Фрактал често има следеће особине:<ref>Falconer, ''Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications''-{, стр. }-xxv</ref><ref>{{Cite book |title=Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications |last=Falconer|first=Kenneth|year=1982|publisher=John Wiley & Sons, Ltd|location=  |isbn=978-0-470-84862-3 |pages=}}</ref>
* фину структуру на произвољно малом увећању;
* превише је неправилан да би могао бити описан традиционалним [[еуклидова геометрија|еуклидским језиком]];
* сам је себи сличан (макар приближно или стохастички);
* [[Хауздорфова димензија|Хауздорфова димензија]] фрактала је већа од његове [[Тополошка димензија|тополошке димензије]] (иако овај услов не испуњавају [[бесконачно густе криве]] као што је Хилбертова крива);<ref name=patterns>{{Cite book |title=Fractals:The Patterns of Chaos |last=Briggs|first=John |authorlink= |coauthors= |year=1992|publisher= London : Thames and Hudson, 1992.|location= |isbn=978-0500276938, 0500276935 |pages=148}}</ref><ref>The Hilbert curve map is not a homeomorhpism, so it does not preserve topological dimension. The topological dimension and Hausdorff dimension of the image of the Hilbert map in '''R'''<sup>2</sup> are both 2. Note, however, that the topological dimension of the ''graph'' of the Hilbert map (a set in '''R'''<sup>3</sup>) is 1.</ref>
[[датотека:Pythagoras tree 1 1 13 Summer.svg|мини|десно|300p|[[Питагорино дрво]]]]

== Геометријски фрактали ==
[[Датотека:Mengersponge.gif|мини|лево|200п|[[Менгеров сунђер]]]]
[[датотека:Cantorcubes.gif|мини|десно|200p|[[Канторов облак]]]]
'''Геометријски фрактали''' су први фрактали које су изучавали [[математичар]]и у [[19. век|19. веку]], захваљујући њиховој очигледности, односно зато што је код њих одмах приметна особина самосличности.

[[Димензија|Дводимензионе]] геометријске фрактале је могуће добити задавањем произвољне [[крива|криве]] која ће послужити као ''генератор''. Затим се, у сваком следећем кораку, средњи део те криве замени генератором - умањеним ликом целе криве. [[Бесконачност|Бесконачним]] понављањем овог поступка добија се изломљена фрактална крива. Иако је та крива веома сложена, њен општи облик могуће је задати само генератором. На тај начин могу се генерисати [[змајева крива]], [[Кохова пахуља|Кохова крива]], [[Левијева крива]], [[крива Минковског]], [[#Пеанова крива|Пеанова крива]] и [[#Хилбертова крива|Хилбертова крива]].

Поред наведених фракталних кривих, у геометријске фрактале спадају и [[Канторов скуп]], као и његова вишедимензиона уопштења, Канторова прашина (у равни) и Канторов облак (у простору), [[троугао Сјерпињског]], [[тепих Сјерпињског]], [[Питагорино дрво]] и [[Менгеров сунђер]].

== Бесконачно густе криве ==
'''Бесконачно густе криве''' су фракталне криве које након бесконачног броја итерација потпуно прекривају део <math>n</math>-димензионог [[Простор|простора]] у којем се налазе (<math> n>1</math>). Тако ће бесконачно густа крива у [[Раван|равни]] заузимати сваку тачку нпр. [[Квадрат|квадрата]], а у тродимензионом простору сваку тачку [[Коцка|коцке]]. Први их је описао италијански математичар [[Ђузепе Пеано]], па се све оне понекад називају Пеановим кривама.

=== Својства ===
[[Фрактална димензија|Фракталне димензије]] свих бесконачно густих кривих одговарају тополошкој димензији простора у којем се налазе, баш зато што испуњавају читав тај простор, иако је њихова тополошка димензија увек <math>1</math>. Дакле, фрактална димензија бесконачно густих кривих у [[Раван|равни]] (јединичном квадрату) је <math>2</math>, у [[Простор|простору]] (јединичној коцки) је <math>3</math> итд.

==Пеанова крива== 
'''Пеанова крива''' је прва описана бесконачно густа крива. Њу је [[1890.]] године описао италијански математичар Ђузепе Пеано.<ref>{{citation|first=G.|last=Peano|authorlink=Giuseppe Peano|title=Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane|journal=Mathematische Annalen|volume=36|issue=1|year=1890|pages=157–160|doi=10.1007/BF01199438}}.</ref>

===Конструкција===
Пеанова крива се конструише низом [[итерација|итерација]].
 
Прва итерација је задата каква јесте. 
Наредну итерацију добијамо на следећи начин: 
*Претходну итерацију посматрамо као квадрат и поделимо га на 9 нових квадрата једнаких величина.
*Сваки од тих квадрата заменимо 9 пута умањеним квадратом из претходне итерације. 
*Затим се изврши хоризонтална, односно вертикална [[Рефлексија|рефлексија]] квадрата, како би спајање било коректно извршено. 
*На крају, криве у квадратима се споје у једну непрекидну криву.
{| align="лево" 
|-
| [[Датотека:Peanocurve.png|мини|700п]]
|-
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прве три итерације Пеанове криве</small>
|}


Постоји велики број варијанти Пеанових кривих, у зависности изгледа прве итерације и поделе на квадрате.

==Хилбертова крива==
[[Датотека:Hilbert curve.gif|thumb|260x260px|Анимирана конструкција Хилбертове криве у првих 8 итерација]]
При конструкцији Хилбертове криве користи се идеја базирана на подели квадрата на 4 мања, уместо на 9 мањих квадрата једнаких величина.

'''Хилбертова крива''' је бесконачно густа крива коју је описао [[Немачка|немачки]] математичар [[Давид Хилберт]] [[1891|1891.]]<ref>D. Hilbert: [http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN235181684_0038&DMDID=dmdlog40 Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück.] Mathematische Annalen 38 (1891), 459&ndash;460.</ref> године.
Хауздорфова димензија Хилбертове криве је <math>2</math>. Иако је Хилбертова крива у равни ограничена квадратом, њена дужина експоненцијално расте са бројем итерација и износи <math>H_n=2^n-\frac{1}{2^n}</math>.

=== Конструкција ===
Конструкција је слична конструкцији Пеанове криве. Прво, задају се две почетне итерације (онакве какве јесу), а затим се у свакој наредној итерацији сви сегменти слични кривој из прве итерације замене читавом кривом из друге итерације. Даља конструкција се може извршити на два начина, иако је резултат потпуно исти:
* <math>n</math>-ту итерацију добијемо ако у <math>(n-1)</math>-ој итерацији сваки сегмент сличан кривој из '''прве''' итерације заменимо читавом '''другом''' итерацијом.
* <math>n</math>-ту итерацију добијемо ако у <math>(n-1)</math>-ој итерацији сваки сегмент сличан кривој из '''претходне''' итерације заменимо '''том''' читавом итерацијом.
{| align="лево" 
|-
| [[Датотека:Hilbert_curve_1.svg|мини|220п]]
| [[Датотека:Hilbert_curve_2.svg|мини|220п]]
| [[Датотека:Hilbert_curve_3.svg|мини|220п]]
|-
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прва итерација</small>
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прва и друга итерација</small>
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прве три итерације</small>
|}
Хилбертова крива у простору се прави једноставном аналогијом.
{| align="лево" 
|-
|
|
| [[Датотека:Hilbert3d-step1.png|мини|центар|200п|]]
|
|
|
|
| [[Датотека:Hilbert3d-step2.png|мини|центар|200п|]]
|
|
|
|
| [[Датотека:Hilbert3d-step3.png|мини|центар|200п|]]
|
|
|
|
| [[Датотека:Hilbert3d-step4.png|мини|центар|200п|]]
|
|
|-
|
|
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прва итерација</small>
|
|
|
|
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Друга итерација</small>
|
|
|
|
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Трећа итерација</small>
|
|
|
|
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Четврта итерација</small>
|
|
|}

==== Конструкција коришћењем -{L}--система ====
* '''Почетак:<math>L</math>'''
* '''Правила:'''
** <math>L</math>→ <math>+RF-LFL-FR+</math>
** <math>R</math>→ <math>-LF+RFR+FL-</math>
* '''Значење:'''
** '''<math>F</math>'''<math>=</math> "цртај напред"
** '''<math>-</math>''' <math>=</math> "окрени у смеру казаљке на сату за <math>\frac{\pi}{2}</math> "
** '''<math>+</math>''' <math>=</math> "окрени у смеру супротном од смера казаљке на сату за <math>\frac{\pi}{2}</math> "

=== Примене ===
Хилбертова крива има вишеструке примене у разним областима, а највише у рачунарству и информатици. Користи се код -{IP}- адреса рачунара, како би могла да се конструише слика мреже. Код за генерисање слике ће претворити -{2D}- у -{1D}- да би нашао боју сваког пиксела, а Хилбертова крива се понекад користи јер блиске -{IP}- адресе у слици чува једну близу друге. Такође је нашла примену у мултидимензионим базама података - при тражењу записа могу помоћи у одређивању приоритета претраге. Користе се и при изради црно-белих фотографија. Хилбертове криве у већим димензијама представљају генерализацију [[Грејев код|Грејевог кода]], и користе се у сличне сврхе.

==Референце==
{{reflist|30em}}

==Литература==
* {{Cite book |ref= harv|title=Measure, Topology, and Fractal Geometry |last=Edgar|first=Gerald  |year=2008|publisher=Springer Science+Business Media|location= New York |isbn=978-0-387-74748-4 |pages= VII}}
* {{Cite book |ref= harv|title=Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature |editor= Miroslav M. Novak |year=2004|publisher=World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd|location=  |id=ISBN 981-238-822-2}}
* {{Cite book |ref= harv|title=The Fractal Geometry of Nature |last=Mandelbrot|first=B.B.  |year=1982|publisher=W.H. Freeman and Company|location=  |isbn=978-0-7167-1186-5}}
* {{Cite book |ref= harv|title=Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications |last=Falconer|first=Kenneth|year=1982|publisher=John Wiley & Sons, Ltd|location=  |isbn=978-0-470-84862-3}}

==Спољашње везе==
* [http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html Фрактали] на -{mathworld.wolfram.com}- {{ен}}
* [http://classes.yale.edu/fractals/ Предавања о фракталима] са Универзитета Јејл {{ен}}
* [http://math.rice.edu/~lanius/fractals/self.html Особине фрактала] {{ен}}
* [http://mathworld.wolfram.com/PeanoCurve.html Пеанова крива] {{ен}}
* [http://mathworld.wolfram.com/HilbertCurve.html Хилбертова крива] на -{mathworld.wolfram.com}- {{ен}}
* [http://eskola.hfd.hr/mini_projekt/mp7/fraktali_1.htm Фрактали - чудесне слике хаоса] {{хр}}
* [http://e.math.hr/fraknum/index.html Фрактални облици у нумеричким апроксимацијама] {{хр}}
* [https://en.wikipedia.org/wiki/L-system -{L}--систем] {{ен}}