Difference between revisions 11372251 and 11771823 on trwiki

< previous diff
next diff >
Bessel polinomları
{{More footnotes|date=September 2009}}
[[matematik]]'te,'' 'Bessel polinomları''' olan bir [[orthogonal polynomials|ortogonal]] [[polinom]]'lar dizisidir.Farklı ancak yakından ilişkili tanımları vardır.Matematikçilerin tercih ettiği tanım seri(Krall & Fink, 1948)ile verilir

:<math>y_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(n+k)!}{(n-k)!k!}\,\left(\frac{x}{2}\right)^k</math>

Elektrik mühendisleri tercih ettiği bir başka tanım, zaman zaman '''ters Bessel polinomları''' olarak bilinir.(Grosswald 1978, Berg 2000).
:<math>\theta_n(x)=x^n\,y_n(1/x)=\sum_{k=0}^n\frac{(2n-k)!}{(n-k)!k!}\,\frac{x^k}{2^{n-k}}</math>

İkinci tanımı katsayıları ilk olarak, ancak ters sıradan aynıdır. Örneği üçüncü derece Bessel polinomdur
:<math>y_3(x)=15x^3+15x^2+6x+1\,</math>
üçüncü derece ters Bessel polinomu ise
:<math>\theta_3(x)=x^3+6x^2+15x+15\,</math>

[[Bessel filter|Bessel elektronik filtreler]]'de ters Bessel polinomunun tasarımı kullanılır 
== Özellikleri ==
=== Bessel fonksiyonları açısından tanımı ===

Bessel polinom da kullanılarak tanımlanabilir artan faktöriyel adını aldığı polinomu çekiyor .
:<math>y_n(x)=\,x^{n}\theta_n(1/x)\,</math>
:<math>\theta_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+ \frac 1 2}(x)</math>
:<math>y_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{n+\frac 1 2}(1/x)</math>

burada <math>K_n(x)</math> is değiştirilmiş Bessel ikinci tür fonksiyon ve.<math>y_n(x)</math>   ters polinomdur(pag 7 and 34 Grosswald 1978).

=== Bir hipergeometrik fonksiyon olarak tanımı ===

Bessel polinomu ayrıca bu şekilde tanımlanabilir [[konfluent hipergeometrik fonksiyonu]] (Dita, 2006)

:<math>y_n(x)=\,_2F_0(-n,n+1;;-x/2)= \left(\frac 2 x\right)^{-n} U\left(-n,-2n,\frac 2 x\right)= \left(\frac 2 x\right)^{n+1} U\left(n+1,2n+2,\frac 2 x \right).</math>

Ters Bessel polinomu genelleştirilmiş bir şekilde tanımlanabilir [[Laguerre polinomu]]:
:<math>\theta_n(x)=\frac{n!}{(-2)^n}\,L_n^{-2n-1}(2x)</math>

bu aynı zamanda bir hipergeometrik fonksiyonu olarak tanımlanabilir ki aşağıda aldığı:

:<math>\theta_n(x)=\frac{(-2n)_n}{(-2)^n}\,\,_1F_1(-n;-2n;-2x)</math>

burada <math>(-2n)_n</math> is the [[Pochhammer sembolü]] (artan faktörlü).

=== Fonksiyonu oluşturma ===
Bessel polinomları üretme fonksiyonu var
:<math>\sum_{n=0} \sqrt{\frac 2 \pi} x^{n+\frac 1 2} e^x K_{n-\frac 1 2}(x) \frac {t^n}{n!}= e^{x(1-\sqrt{1-2t})}.</math>

=== Özyineleme ===

Bessel polinomu ayrıca bu özyineleme formülü tarafından tanımlanabilir:

:<math>y_0(x)=1\,</math>
:<math>y_1(x)=x+1\,</math>
:<math>y_n(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,</math>

ve

:<math>\theta_0(x)=1\,</math>
:<math>\theta_1(x)=x+1\,</math>
:<math>\theta_n(x)=(2n\!-\!1)\theta_{n-1}(x)+x^2\theta_{n-2}(x)\,</math>

=== Diferansiyel denklemler ===

Bessel polinomu aşağıdaki diferansiyel denkleme uyar:

:<math>x^2\frac{d^2y_n(x)}{dx^2}+2(x\!+\!1)\frac{dy_n(x)}{dx}-n(n+1)y_n(x)=0</math>

ve
:<math>x\frac{d^2\theta_n(x)}{dx^2}-2(x\!+\!n)\frac{d\theta_n(x)}{dx}+2n\,\theta_n(x)=0</math>

== Genelleme ==
=== Açık Formu ===
Bessel polinomları bir genelleme literatürde ileri sürülmektedir.(Krall, Fink), aşağıda gösterildiği gibi:

:<math>y_n(x;\alpha,\beta):= (-1)^n n! \left(\frac x \beta\right)^n L_n^{(1-2n-\alpha)}\left(\frac \beta x\right),</math>
karşılık gelen ters polinomları
:<math>\theta_n(x;\alpha, \beta):= \frac{n!}{(-\beta)^n}L_n^{(1-2n-\alpha)}(\beta x)=x^n y_n\left(\frac 1 x;\alpha,\beta\right).</math>

Ağırlıklandırma fonksiyonu için
:<math>\rho(x;\alpha,\beta):= \, _1F_1\left(1,\alpha-1,-\frac \beta x\right)</math>
Bu ilişkiler açısından ortogonal bulunmaktadır
:<math>0= \oint_c\rho(x;\alpha,\beta)y_n(x;\alpha,\beta) y_m(x;\alpha,\beta)\mathrm d x</math>
için de geçerlidir<math>m \neq n </math> ve <math> c </math> a 0 noktasını çevreleyen bir eğri. 

:<math>\alpha=\beta=2</math> için Bessel polinomları özelleştireceğiz,buradaki durumda <math>\rho(x)=e^{-2/x}</math>.

=== Bessel polinomları için Rodrigues formülü ===
Yukarıdaki diferansiyel denklemin özel çözümler olarak Bessel polinomları için Rodrigues formülü:

:<math>B_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_n^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha} e^{\frac{(-\beta)}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^n (x^{\alpha+2n} e^{\frac{(-\beta)}{x}})</math>

burada <math>a_n^{(\alpha,\beta)}</math> normalizasyon katsayılarıdır.

=== İlişkili Bessel polinomları ===


Bu genellemeye göre şu genelleştirilmiş ilişkinin Bessel polinomları diferansiyel denklem var:
:<math>x^2\frac{d^2B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)}{dx^2} + [(\alpha+2)x+\beta]\frac{dB_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)}{dx} - \left[ n(\alpha+n+1) + \frac{m \beta}{x} \right] B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=0</math>

burada <math>0\leq m\leq n</math>. çözümü,

:<math>B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_{n,m}^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha+m} e^{\frac{(-\beta)}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^{n-m} (x^{\alpha+2n} e^{\frac{(-\beta)}{x}})</math>

== Özel değerler ==

:<math>
\begin{align}
y_0(x) & = 1 \\
y_1(x) & = x  +  1 \\
y_2(x) & = 3x^2+  3x  +  1 \\
y_3(x) & = 15x^3+ 15x^2+  6x  +  1 \\
y_4(x) & = 105x^4+105x^3+ 45x^2+ 10x  + 1 \\
y_5(x) & = 945x^5+945x^4+420x^3+105x^2+15x+1
\end{align}
</math>

== Kaynakça ==
*{{cite journal
 | last =Carlitz
 | first = Leonard
 | authorlink = Leonard Carlitz
 | coauthors = 
 | year = 1957
 | month = 
 | title = A Note on the Bessel Polynomials
 | journal = Duke Math. J.
 | volume = 24
 | issue = 2
 | pages = 151–162
 | doi = 10.1215/S0012-7094-57-02421-3
 | mr = 0085360
 }}
*{{cite journal
 | last = Krall
 | first = H. L.
 | coauthors = Fink, O.
 | year = 1948
 | month = 
 | title = A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials
 | journal = Trans. Amer. Math. Soc.
 | volume =  65
 | issue = 1
 | pages = 100–115
 | doi = 10.2307/1990516
 | jstor = 1990516
 | accessdate = 
 | quotes = 
 }}
*{{cite web
| url = http://www.research.att.com/~njas/sequences
| title = The [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]
| accessdate = 2006-08-16
| author =Sloane, N. J. A.
| last = 
| first = 
| coauthors = 
| date = 
| year = 
| month = 
| work = 
| publisher = 
| pages = 
}} (See sequences {{OEIS2C|A001497}}, {{OEIS2C|A001498}}, and {{OEIS2C|A104548}})
*{{cite arxXiv
 | last1 =  Dita
 | first1 = P.
 | last2=Grama
 | first2= Grama, N.
 | year = 2006
 | month = May 24
 | title = On Adomian’s Decomposition Method for Solving Differential Equations
 | eprint = solv-int/9705008
 | quotes =
 | class =  solv-int 
 }}
*{{cite journal
 | last1 =  Fakhri
 | first1 = H.
 | last2= Chenaghlou
 | first2 =  A.
 | year = 2006
 | month = 
 | title = Ladder operators and recursion relations for the associated Bessel polynomials
 | journal = Physics Letters A
 | volume = 358
 | issue = 5–6
 | pages = 345–353
 | doi = 10.1016/j.physleta.2006.05.070
 | bibcode=2006PhLA..358..345F
 | accessdate = 
 | quotes = 
 }}
*{{cite book
 |last=Grosswald
 |first=E.
 |authorlink=Emil Grosswald
 |coauthors=
 |title=Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics)
 |year=1978
 |publisher=Springer
 |location= New York
 |isbn=0-387-09104-1
 }}
*{{cite book
 |last=Roman
 |first=S.
 |coauthors=
 |title=The Umbral Calculus (The Bessel Polynomials &sect;4.1.7)
 |year= 1984
 |publisher=Academic Press
 |location= New York
 |isbn=0-486-44139-3
 }}
*{{cite web
| url = http://www.math.ku.dk/~berg/manus/bessel.pdf
| title = Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions
| accessdate = 2006-08-16
| author =
| last = Berg
| first = Christian
| coauthors = Vignat, C.
| date = 
| year = 2000
| month = 
| format = PDF
| work = 
| publisher = 
| pages = 
}}

== Dış bağlantılar ==
*{{MathWorld|title=Bessel Polynomial|urlname=BesselPolynomial}}
*{{SloanesRef |sequencenumber=A001498|name=Coefficients of Bessel polynomials }}

[[Category:Orthogonal polynomials]]
[[Category:Special hypergeometric functions]]