Revision 14589339 of "Вектори у шкільному курсі математики" on ukwiki

{{Db-scope}}
::<big><big>'''''Вектор'''''</big></big> – одне з фундаментальних понять сучасної математичної науки та її застосувань. Вектори широко застосовуються у різних галузях науки та техніки. Вони є невід’ємним компонентом математичної освіти, як вищої так і середньої.<br />
='''Реформа шкільної математичної освіти'''=
У 50-х роках XX ст. на початку всесвітнього руху за реформу шкільної математичної освіти у всіх розвинутих країнах була висловлена одностайна думка – впровадити ідею вектора в шкільну математику. При цьому пропонувалося два підходи.<br />
# Крайні модерністи (Ж. Дьєдонне, Л. Фелікс, Г. Шоке) наполягали на тому, щоб зробити ідею вектора базисною ідеєю шкільного курсу і, зокрема, курс геометрії будувати на основі ідеї векторного простору, наприклад, використовуючи аксіоматику Вейля. <br />
# У колишньому СРСР [[Колмогоров Андрій Миколайович|А. М. Колмогоров]], [http://www.intellect-invest.org.ua/pedagog_personalias_markushevitch_oi/ О. І. Маркушевич], які очолювали перебудову змісту шкільної математичної освіти пропонували не розглядати ідею вектора як базисну і не будувати навіть певний розділ геометрії на векторній основі. Передбачалось ввести поняття вектора і необхідний апарат векторної алгебри із загальноосвітньою метою та використовувати вектори як апарат для доведення теорем і розв'язування задач геометрії, фізики.

='''Введення векторів у математику Європи'''=
:Модернізація шкільного курсу математики неодноразово обговорювалася на міжнародних конференціях та симпозіумах.<br />
:Проблеми навчальних планів та програм з математики обговорювались на Міжнародному симпозиумі в Будапешті у 1962 році, де основними доповідачами були угорський математик і педагог професор Т. Варга і професор із Австралії З. Д'єнеш.<br />
:На симпозиумі були розглянуті пропозиції стосовно змісту математичної освіти, розроблені країнами Європейської економічної спільноти (ЄЕС). Важливою проблемою, яка обговорювалася, була структура курсу геометрії. Математики із групи Н. Бурбакі, зокрема Ж. Д'єдоне, вважали, що геометрія вивчає векторні простори із заданими у них скалярним добутком. Однак, надалі Д'єдоне уточнив, що його припущення стосувалося лише для старших класів.<br />
:[http://100v.com.ua/ru/Papi-Zhorzh-person Ж. Папі] вважав, що центральним пунктом навчальної програми є поняття векторного простору. Ж. Папі вимагав увести поняття вектора на початку вивчення геометрії і всі геометричні доведення будувати на цій доволі абстрактній моделі.<br />
:Група математиків, які зібралися у 1963 році на конференцію у [[Кембридж|Кембриджі]] з питання шкільної математики, запропонувала ввести у шкільний курс математики тензори як об'єкта, який узагальнює такі поняття як скаляр, лінійний оператор, вектор.

='''Введення векторів у математику СРСР'''=
:У 1958 р. розпочинається рух за реформу шкільної математичної освіти в СРСР. З’являється новий радикальний проект програми і навчальний посібник В. Г. Болтянського та [[Яглом Ісаак Мойсейович|І. М. Яглома]] «Геометрія», побудований на основі [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0) векторної алгебри] та геометричних перетворень.<br />
:У 1959 році була опублікована стаття [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%BE%D0%BB%D1%82%D1%8F%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,_%D0%92%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80_%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87 В. Г. Болтянського], [[Вілєнкін Наум Якович|Н. Я Вілєнкіна]] і І. М. Яглома, основним змістом якої була запропонована ними програма з математики. Автори статті пропонували почати вивчення геометрії з 5-го класу.<br />
:У 1967 році нову Програму з математики складали В. Г. Болтянський, А. Н. Колмогоров, Ю. Н. Макаричев, О. І. Маркушевич, Г. Г. Маслова, К. І. Нєшков, А. Д. Семушин, А. І. Фетісов, О. А. Шершевський, І. М. Яглом. Остаточна редакція пояснювальної записки до програми з курсу геометрії належить І. М. Яглому [1].<br />
:Програма передбачає, що формування навичок дедуктивного мислення учнів  на всіх етапах навчання.<br />
:Курс геометрії у 9-10 класах відрізнявся від традиційного широким застосуванням векторів та координат. Переваги аналітичних методів над синтетичними дозволять спростити деякі розділи програми, наприклад, використання скалярного добутку суттєво допоможе у виведенні тверджень про перпендикулярність прямої і площини.<br />
:За цією програмою в курсі геометрії 9 класу передбачається вивчення теми "Розташування прямих та площині. Координати і вектори у просторі." На вивчення даної теми у курсі геометрії відводилось 70 годин (2 години на тиждень).

='''Аналіз навчальних підручників'''=
=='''''Підручник з геометрії Болтянського В. Г.'''''==
:У контексті нашого дослідження заслуговує на увагу аналіз підручника геометрії для 9 класу середньої школи, авторами якого є Болтянський Володимир Григорович та Яглом Ісаак Моісейович [2].<br />
:Зміст цього підручника складається з двох частин. Частина 1 — геометричні перетворення, частина 2 — векторна алгебра. У підручнику спочатку висвітлюється теоретичний матеріал, а потім окремо задачі і вправи до обох частин підручника.
::'''Теоретичний матеріал векторної алгебри містить у собі 4 розділи:'''<br />
:I. Сума та різниця векторів: сума двох векторів; сума двох паралельних векторів; нульовий вектор; комутативність суми векторів; асоціативність суми векторів; різниця векторів.<br />
:II. Множення вектора на число: означення множення вектора на число; властивості операції множення вектора на число; поділ відрізка в заданому відношенні.<br />
:III. Проекції та координати вектора: проекція вектора на вісь; властивості проекції; координати вектора; координати суми двох векторів та множення вектора на число; зв'язок між координатами вектора з тригонометричними формулами.<br />
:IV. Скалярний добуток векторів: означення скалярного добутку векторів; властивості скалярного добутку; обчислення скалярного добутку в координатах; обчислення довжин та кутів.<br />
:До кожного розділу та параграфа у підручнику є задачі на побудову, дослідження, доведення та обчислення. Підручник містить також прикладні задачі та задачі підвищеної складності. У деяких з цих розділів представлені розв'язані задачі. Це такі розділи як: розділ II та розділ IV.
:До підручника є методичний посібник для вчителя, який призначений для викладу геометричного матеріалу для 9 класу середньої школи — виклад на векторній основі з використанням аксіоматики Вейля [3].

=='''''Нова програма з математики'''''==
:У 1968 р. після широкого громадського обговорення кількох проектів було прийнято нову програму з математики. Крім іншого, цією програмою передбачалося введення векторів у курс геометрії (з 7 класу) та широке їх використання і в стереометрії (включаючи скалярний добуток).<br />
:У 1977 р. модернізація шкільного курсу математики на основі обов’язкового здійснення єдиного теоретико-множинного підходу до побудови навчальних курсів математики була різко розкритикована і згодом школи перейшли на нову програму і нові підручники. Теми «Декартові координати» і «Вектори» залишилися в програмі для основної і старшої школи. Причиною введення теми "Вектори" у 7 класі було те, що вже з перших уроків фізики вони постійно використовуються.<br />
:Усі питання, пов'язані із введенням та застосуванням векторів у курсі планіметрії, розглянуто в статті Гусєва В. А., Колягіна Ю. М., Луканкіної Г. Л., Хана Д. І. "Вектори та їх застосування до розв'язування задач", що містилася в збірнику статтей [4].<br />
:У цій статті розглядаються всі операції над векторами на площині, методика розв'язування задач із застосуванням векторів, а також система задач. У статті висвітлені деякі питання, які не входять у програму 6-8 класів (скалярний добуток векторів та переміщення векторів). Проте, вчителю, який працює із 6-8 класами необхідно представити увесь векторний апарат на площині, так як учень повинен бути підготовленим, тим більше, що в старших класах векторам на площині приділено мало уваги. Матеріал теми "Вектори на площині" переноситься у тему "Вектори у просторі".<br />
:На цей час геометрію в школі вивчали за підручником під редакцією О.М. Колмогорова.

=='''''Підручник з геометрії Колмогорова О. М.'''''==
:Відомо, що існує декілька підходів для введення поняття вектор. У фізиці за допомогою векторів позначають різні величини: сила, швидкість, прискорення і т. д., в силу чого вектор визначається як направлений відрізок. При цьому часто така направлена величина зв'язана з певною точкою (точкою відкладання) або прямою. Такі вектори називаються [http://znaimo.com.ua/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0) ковзними]. У математиці зазвичай використовується так званий [http://znaimo.com.ua/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0) "вільний" вектор] (вектор, не пов'язаний ні з прямою, ні з фіксованою точкою відкладання).<br />
:''З геометричної точки зору'' [[вектор]] — це об'єкт, який характеризується напрямом (тобто деякою множиною співнапрямлених променів) та довжиною. Однак, як відомо, тими ж ознаками характеризується і паралельне перенесення [5]. Тому будь-яке паралельне перенесення представляється як вектор [6]. За підручником Колмогорова О. М. визначення вектора не пов'язано з поняттям напрямленого відрізка. Під вектором розуміють або множину упорядкованих пар точок, які задають паралельне перенесення, або саме це ж перенесення.<br />
:У шкільному курсі геометрії [[Паралельне перенесення|паралельним перенесенням]] (вектором) називається відображення площини на саму себе, при якому всі точки площини відображаються в одному і тому ж напрямі на одну і ту саму відстань. Такий підхід для визначення вектора як паралельного перенесення дозволяє позбутися від труднощів з теоретико-множинної точки зору на поняття рівності векторів, які виникли при традиційному визначенні поняття вектора як напрямленого відрізка.<br />
:Тобто поняття вектора ототожнюється з поняттям паралельне перенесення.
::'''У курсі геометрії Колмогорова О. М. наступним чином визначаються операції над векторами:'''<br />
:::1. Сума та різниця векторів
:::2. Множення вектора на число.<br />
::::За підручником Колмогорова О. М. "Добуток вектора a ⃗ на число x називається вектор, який має напрям a ⃗ (при a ⃗≠0 ⃗, якщо х > 0 і протилежний напрям, якщо х < 0). Довжина цього вектора дорівнює добутку довжини вектора a ⃗ на модуль числа х".
:::3. Колінеарність векторів.<br />
::::Вводиться через побудову співнапрямлених або протилежно напрямлених векторів a ⃗,b ⃗,c ⃗. Ці вектори відкладаються від однієї і тієї ж точки О.
:::4. Властивості операцій над векторами.
::::Вивчаються наступні властивості:<br />
:::::1) a ⃗+b ⃗=b ⃗+a ⃗ - комутативність;<br />
:::::2) a ⃗+(b ⃗+c ⃗ )=(a ⃗+b ⃗ )+c ⃗ - асоціативність;<br />
:::::3) a ⃗+0 ⃗=0 ⃗+a ⃗=a ⃗ - закон поглинання нульового вектора;<br />
:::::4) (xy) a ⃗=x(ya ⃗) - сполучний закон;<br />
:::::5) xa ⃗+ya ⃗=(x+y)a ⃗ - перший розподільчий закон;<br />
:::::6) xa ⃗+xb ⃗=x(a ⃗+b ⃗) - другий розподільчий закон;<br />
:::::7) 0∙a ⃗=0 ⃗ - закон поглинання нуля;<br />
:::::8) x∙0 ⃗=0 ⃗ - закон поглинання нульового вектора.<br />
:::5. Скалярний добуток двох векторів і його властивості.


='''''Введення векторів у 1970-х роках'''''=
:У 70-х роках у 6-8 класах скалярний добуток векторів не розглядався, однак, для площини ця операція могла бути розглянута на [http://pidruchniki.ws/1029072435493/pedagogika/fakultativni_zanyattya факультативних заняттях] з математики.<br />
:Вводиться скалярний добуток двох векторів як добуток їхніх довжин на косинус кута між ними. Якщо хоч один із векторів дорівнює 0 ⃗, то скалярний добуток приймається рівним нулю.<br />
:У навчальних посібниках 70-х років з геометрії, починаючи з 7 класу використовується векторний апарат при доведенні деяких теорем. До таких теорем можна віднести наступну теорему: "Якщо при гомотетії з коефіцієнтом k точки X та Y відображаються на точки X_1 та Y_1; то (X_1 Y_1 ) ⃗=k(XY) ⃗" [6].<br />
:Уведений у середню школу векторний апарат дає новий метод розв'язання задач. Цей метод можна прирівняти до методу складання рівнянь.

='''''Вектори у підручниках Погорєлова О. В.'''''=
:Згодом геометрію починають вивчати за підручником [[Погорєлов Олексій Васильович|О. В. Погорєлова]] «Геометрія, 7-9», «Геометрія, 10-11» [7, 8]. За програмою тема «Вектори» вивчається у 8 та 10 класах. Розглядалися такі питання, які подані у таблиці 1.<br />
:Зміст теми «Вектори» в підручниках О. В. Погорєлова

{| class="wikitable"
|-
! 8 клас !! 10 клас
|-
| Абсолютна величина і напрям вектора.<br />
Рівність векторів. Координати вектора.<br />
Додавання векторів. Додавання сил.<br />
Множення вектора на число.<br />
Розкладання вектора за двома неколінеарними векторами.<br />
Скалярний добуток векторів.<br />
Розкладання вектора за координатними осями. |<br />
| Введення декартових координат у просторі<br />
(координатна вісь, координатна площина).<br />
Відстань між точками. Координати середини відрізка.<br />
Вектори у просторі (абсолютна величина, напрям, рівність<br />
векторів як аналогія з векторами на площині).<br />
Дії над векторами у просторі (сума, множення вектора на число, скалярний добуток).
|-
|}
:У підручниках О. В . Погорєлова деякі означення вводяться описово та за домовленістю. Наприклад, означення вектора як напрямленого відрізка; координати вектора, як певні числа. Є у підручниках [7, 8] і строгі означення. Наприклад, означення абсолютної величини; рівність векторів; дії над векторами (додавання, віднімання векторів, множення вектора на число); колінеарність векторів; скалярний добуток векторів; кут між векторами; одиничний вектор. <br />
:Наприклад, два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням.<br />
:'''У темі «Вектори» вивчалися та доводилися такі теореми:'''<br />
::Теорема 1 (правило трикутника).<br />
:З теореми випливає спосіб побудови довільних векторів. Такий спосіб знаходження суми двох векторів називається «правилом трикутника» додавання векторів.<br />
::Теорема 2 (про колінеарність векторів).<br />
::Теорема 3: (скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними).<br />
:З теореми 3 випливає, що коли вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.<br />
:Усі теореми теми доводяться.<br />
:Вивчається прикладне застосування векторів, зокрема, у фізиці («додавання сил»).<br />
:У підручнику О. В. Погорєлова теоретичний матеріал стосовно векторів відрізняється чіткістю, економністю, простотою доведень законів дій над векторами. Водночас у ньому мало наведено геометричних ілюстрацій, які розвивали б просторові уявлення і уяву, вправ на побудову.
:'''Види задач теми'''<br />
:Серед задач, які подані у підручниках Погорєлова О. В. є задачі на дослідження (незначна кількість), на побудову, на обчислення та доведення. Доцільно зауважити, що задач на доведення досить велика кількість. У задачах прослідковується перехід від простіших задач до задач підвищеної складності. У цій темі є усні задачі, зокрема це задачі початкового рівня за складністю; прикладні задачі фізичного (визначення сили натягу нитки та сили, з якою треба утримувати певний вантаж) та геометричного змісту (проведена медіана у трикутнику, довести, що медіана трикутника дорівнює пів сумі двох бічних сторін цього трикутника). Є задачі за готовими малюнками та задачі підвищеного рівня складності.<br />
:Розглядається векторний метод розв’язування задач. Суть цього методу полягає в тому, щоб геометричні розміщення точок, прямих і площин у просторі записати мовою векторів, точніше - у вигляді векторної рівності. І навпаки, мову векторних формул і рівностей наповнити геометричним змістом, тобто перевести ту чи іншу векторну рівність на мову геометрії, надати їй, геометричного звучання. Це ефективний метод розв’язання різних геометричних задач доведення теорем, з його допомогою можна показати широке застосування векторного апарату в інших областях знань: техніці, фізиці, хімії тощо, а також формувати в учнів такі якості мислення, як гнучкість, цілеспрямованість, раціональність, критичність та інше [9].<br />

='''''Висновки'''''=
:Найбільшого поширення набув апарат векторної алгебри 70-х років, який дозволив спростити виклад деяких складних геометричних понять, доведення деяких теорем шкільного курсу геометрії, створив особливий метод розв'язання різних геометричних задач.<br />
Введення поняття вектора збагатило шкільний курс геометрії так само як геометричні перетворення. Цим були створені сприятливі умови для використання векторів та геометричних перетворень при розв'язуванні геометричних задач, а також для більш простого доведення багатьох теорем.<br />
Для введення векторів у шкільний курс математики було 2 підходи, а саме: спочатку вектор визначався як базисне поняття шкільного курсу геометрії і на його основі будувався курс геометрії. Але під час вивчення векторів в учнів виникли проблеми (важко було уявляти математичні об'єкти, які були повністю побудовані на векторному численні). З часом математики залишили вектор, як базисне поняття, але вже не будували геометрію повністю на векторній основі. Так залишилось і до сьогодні. За сучасними навчальними програмами з математики та підручниками з геометрії вектори — одна із змістових ліній геометрії. Основна школа — вектори на площині, старша школа — вектори у просторі.<br />


=Література=
# Научная программа с математики/ Сост. В. Г. Болтянський, А. Н. Колмогоров, Ю. Н. Макаричев, А. І. Маркушевич, Г. Г. Маслова, К. І. Нєшков, А. Д. Семушин, А. І. Фетісов, А. А. Шершевський, І. М. Яглом. — 1967 г.
# 2Болтянський В. Г., И. М. Яглом Геометрия. Учебное пособие для 9 класса средней школы. — М.: Издательство "Просвещение" Государственного комитета Совета Министров РС ФРС по печати, 1969 г. - 128 с., ил.
# Болтянский В. Г., Волович М. Б., Семушин А. Д. "Векторное изложение геометрии (в 9 классе средней школы)": Пособие для учителей. — М.:  "Просвещение", 1982 г. - 143 с., ил.
# Сост. Гусев В. А. Преподавание геометрии в 6-8 классах. Сб. статей. — М.: "Просвещение", 1979 г. - 281 с. ил.
# [http://www.rusichi-center.ru/e/3171357-staryie-sovetskie-uchebniki-skachat Колмогоров А. Н. и др. Геометрия, VI класс. 7-е изд. — М., Просвещение, 1978 г. - 80 с.]
# [http://www.rusichi-center.ru/e/3171357-staryie-sovetskie-uchebniki-skachat Колмогоров А. Н. и др. Геометрия, VII класс. 7-е изд. — М., Просвещение, 1978 г.] - 59 с.
# [http://www.yrok.net/index.php/matematika-algebra-geometriya/225-geometriya-7-9-klasi-pogorelov-o Погорєлов О. В. Планіметрія: Підручн. для 7-9 кл. серед. шк. - 3-тє вид. — К.: Освіта, 1998 р. - 223 с.]
# [http://textbook.su/kniga/geometriya-stereometriya-10-11-klasi-pidruchnik Погорєлов О. В. Стереометрія: Підручн. для 10-11 кл. серед. шк. - 3-тє вид. — К.: Освіта, 1997 р. - 128 с.]
# [http://edu-lib.net/matematika-2/dlya-studentov/slyepkan-z-i-metodika-navchannya-matema Слєпкань З. І. Методика навчання матем.: Підручник. - 2-ге видання, допов. і переробл. — К.: Вища шк., 2006 р. - 582 с., іл.]