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广义孪生素数猜想是指是否有无穷多个素数<math>p</math>，使得<math>p+2s</math>也是素数，s=1,2,3，....。其内容包括了孪生素数猜想，表兄弟素数猜想，六素数猜想，....。 
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2s''都是素数。}}
== 孪生素数猜想 ==
参见[[孪生素数猜想]]
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2''都是素数。}}s=1.
=== 孪生素数的公式 ===
利用素数的判定法则，可以得到以下的结论：“若自然数<math>q</math>与<math>q+2</math>都不能被任何不大于<math>\sqrt{q+2}</math>的素数
[[整除]]，则<math>q</math>与<math>q + 2</math>都是素数”。这是因为一个自然数<math>n</math>是素数[[当且仅当]]它不能被任何小于等于<math>\sqrt{n}</math>的素数整除。

用数学的语言表示以上的结论，就是：
:存在一组自然数<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>，使得
:<math>q=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+b_{k} \qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (1)</math>

其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示从小到大排列时的前''k''个素数：2，3，5，....。并且满足
:<math>\forall 1 \le i  \le k, \ \ 0 < b_{i} < p_{i}, \ b_{i} \neq 0, \ b_{i} \neq p_{i} - 2.</math>

这样解得的自然数<math>q</math>如果满足<math>q<p^{2}_{K+1}-2</math>,则<math>q</math>与<math>q+2</math>是一对孪生素数。

我们可以把（1）式的内容等价转换成为同余方程组表示：

:<math>q \equiv b_1 \pmod{p_1}, q \equiv b_2 \pmod{p_2}, \dots, q \equiv b_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \qquad  \cdots \qquad (2)</math>

由于（2）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math>都是素数，因此两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>，（2）式有唯一一个小于<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>的正整数解。
=== 范例 ===
例如k=1时，<math>q=2m_{1}+1</math>，解得<math>q=3, 5</math>。由于<math>5<3^2-2</math>，所以可知<math>3</math>与<math>3+2</math>、<math>5</math>与<math>5+2</math>都是孪生素数。这样就求得了[[区间]]<math>(3, 3^2)</math>里的全部孪生素数对。
 
又比如k=2时，列出方程<math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得<math>q=5, 11, 17</math>。由于<math>17<5^2-2</math>，所以<math>11</math>与<math>11+2</math>、<math>17</math>与<math>17+2</math>都是了孪生素数。由于这已经是所有可能的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>值，所以这样就求得了区间<math>(5, 5^2)</math>的全部孪生素数对。
{| class="wikitable"
|-
! k=3时 !! <math>5m_{3}+1</math> !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+4</math>
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>= || 11,41 || 17 || 29
|}
由于这已经是所有可能的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>值，所以这样就求得了区间<math>(7, 7^2)</math>的全部孪生素数对。
{| class="wikitable"
|-
! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+2</math> !! <math>7m_{4}+3</math> !! <math>7m_{4}+4</math> !! <math>7m_{4}+6</math>
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math>= || 71 || 191 || 101 || 11 || 41
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math>= || 197 || 107 || 17 || 137 || 167
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+4</math>= || 29 || 149 || 59 || 179 || 209
|}
　　 　由于这已经是所有可能的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>值，所以这样就求得了区间<math>(11, 11^2)</math>的全部孪生素数对（8个小于121-2的解）。　　　 　　

仿此下去可以一个不漏地求得任意大的数以内的全部孪生素数对。对于所有可能的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>值，(1)和(2)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，有

（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-2</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）（3）
个解。
=== 结论推广 ===
孪生素数猜想就是在k值任意大时（1）和（2）式都有小于<math>p^{2}_{k+1}-2</math>的解。
== 相差4的孪生素数猜想 ==
 相差4的孪生素数是指两个素数之间相差4，例如：3,7；7,11；13,17；19,23；37,41；43,47；67,71；79,83,；...。这一列素数对是否有无穷多个？这就是相差4的孪生素数猜想。{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 4''都是素数。}},s=2.相差4的孪生素数与相差2的孪生素数在总体上数量基本一样。（详见参考文献）
=== 相差4的孪生素数公式 ===	
已经知道定理：
 
“若自然数w与w+4都不能被不大于<math>\sqrt{w+4}</math>任何素数
 
整除，则w与w+4都是素数，我们称为相差4的孪生素数，又叫cousin数”。
 
这是利用[[素数判定法则]]“若自然数n不能被不大于<math>\sqrt{n}</math>任何素数
 
整除，则n是一个素数。（代数学辞典259页，上海教育出版社1985年版）
 
我们可以把定理的汉字内容等价转换成为英语字母表示：
 
<math>w=p_{1}m_{1}+f_{1}=p_{2}m_{2}+f_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+f_{k} </math>（4）
 
其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。f≠0,f≠<math>p_{i}-4</math>。
 
若<math>w<P^{2}_{K+1}-4</math>,则w与w+4是一对素数。
 
我们可以把（4）式内容等价转换成为同余式组表示：
 
:<math>w \equiv f_1 \pmod{p_1}, w \equiv f_2 \pmod{p_2}, \dots, w \equiv f_k \pmod{p_k} (5)</math>
 
由于（5）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的<math>f_{1}</math>，<math>f_{2}</math>，...，<math>f_{k}</math>，（5）式在
 
<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内有唯一解。	
=== 范例 ===
 例如k=1时，<math>w=2m_{1}+1</math>，解得w=3。3<3²-4，得知3与3+4是相差4的孪生素数。求得了
（3，3²）区间的全部相差4的孪生素数。
 
k=2时，<math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得w=13，19； 19<5²-4。得知13与13+4,19与19+4都是相差4的孪生素数。求得了（5，5²）区间的全部相差4的孪生素数。
 
	
{| class="wikitable"
 
	
|-
 
	
! k=3时 !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+3</math> !! <math>5m_{3}+4</math>
 
	
|-
 
	
| <math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>= || 37 || 13,43 || 19
 	
|}
 
求得了（7，7²）区间的全部相差4的孪生素数。即：37与37+4,43与43+4，....，都是相差4的孪生素数。
 
	
{| class="wikitable"
 
	
|-
 
	
! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+2</math> !! <math>7m_{4}+4</math> !! <math>7m_{4}+5</math> !! <math>7m_{4}+6</math>
 
	
|-
 
−	
| <math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2</math>=  || 127 || 37 || 67 || 117 || 97
 
	
|-
 
	
| <math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math>=  || 43 || 163 || 193 || 103 || 13
 
	
|-
 
	
| <math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4</math>=  || 169 || 79 || 109 || 19 || 139
 
	
|}  求得了（11,11²）区间的全部相差4的孪生素数。
 
	
仿此下去可以求得任意大的数以内的全部相差4的孪生素数。并且一个不漏地求得。对于所有可能的<math>f_{1}, f_{2} \cdot , f_{k}</math>值，(4)和(5)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，有：

（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-2</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）。（6）

个解。
 
	
=== 猜想 ===
 
	
相差4的孪生素数猜想就是说，在k任意大时（4）和（5）式都有小于<math>P^{2}_{K+1}-4</math>的解。
 
== 相差6的孪生素数猜想 ==
相差6的孪生素数就是指两个素数之间相差6，例如：5,11；7,13；11,17；13,19；17,23；23,29；31,37；37,43；41,47；
47,53；53,59；61,67；67,73；73,79；83,89；....。
1,17；13,19；23,29；....。与孪生素数（相差2的一对素数）相差4的孪生素数（相差4的一对素数）概念基本相同。相差6的孪生素数猜想是指这种相差6的素数是否有无穷多对。
{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 6''都是素数。}}s=3.
 
=== 相差6的孪生素数公式 ===  
    
 已经知道定理：
 “若自然数R与R+6都不能被不大于<math>\sqrt{R+6}</math>任何素数         
 整除，则R与R+6都是素数，我们称为相差6的孪生素数”。这是依据[[素数判定法则]]得出的。   
 我们可以把定理的[[汉字]]内容等价转换成为[[英语]][[字母]]表示：   
 相差6的孪生素数公式   
　　<math>R=p_{1}m_{1}+e_{1}=p_{2}m_{2}+e_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+e_{k}.</math>(7)   
       
 　　其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。<math>e_{i}</math>≠0,<math>e_{i}</math>≠<math>p_{i}-6</math>。   
       
 若<math>R<P^{2}_{K+1}-6</math>,则R与R+6是一对相差6的孪生素数。   
 我们可以把（7）式内容等价转换成为同余式组表示：   
     
 :<math>R \equiv e_1 \pmod{p_1}, R \equiv e_2 \pmod{p_2}, \dots, R \equiv e_k \pmod{p_k} (8)</math>   
       
 　 由于（8）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，
对于给定的e值，（8）式<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内有唯一解。  
 
  
=== 范例 === 
  
 　　例如，k=2时，   
    
 <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得R=7，13； 13<5²-6。得知7与7+6,13与13+6都是6素数。   
    
 <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得R=5，11，17； 17<5²-6。得知5与5+6,11与11+6，17与17+6都是相差6的孪生素数   
    
 求得了（3，5²）区间的全部相差6的孪生素数R。   
 {| class="wikitable"   
 |-   
 ! k=3时 !! <math>5m_{3}+1</math> !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+3</math>   
 |-   
 |  <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>=|| 31 || 7,37 || 13   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>= || 11,41 || 17 || 23   
 |}   
       
 　求得了（5，7²）区间的全部相差6的孪生素数中的R。   
 {| class="wikitable"   
 |-   
 ! k=4时 !! <math>7m_{4}+2</math> !! <math>7m_{4}+3</math> !! <math>7m_{4}+4</math> !! <math>7m_{4}+5</math> !! <math>7m_{4}+6</math>   
 |-   
 |  <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+1</math>=|| 121 || 31 || 151 || 61 || 181   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2</math>= || 37 || 157 || 67 || 187 || 97   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math>= || 163 || 73 || 193 || 103 || 13   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math>= || 191 || 101 || 11 || 131 || 41   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math>= || 107 || 17 || 137 || 47 || 167   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+3</math>= || 23 || 143 || 53 || 73 || 83   
 |}   
 求得了（7,11²）区间的全部6素数中R（小于121-6的18个数值）,仿此下去可以求得[[任意]]大的[[数]]以内的全部6
素数。并且一个不漏地求得。 
     
 由孙子定理知，对于所有可能的<math>e_{1}, e_{2} \cdot , e_{k}</math>值，(7)和(8)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，有

：（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）（9）。

个解。   
 两式的本质是从<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 中剔除掉<math>p_{i}m_{i}</math>（m>1)   
 的合数和<math>p_{1}-6</math>，<math>p_{2}-6</math>，...，<math>p_{k}-6</math>.。   
   
 
=== 猜想 === 
 
 相差6的孪生素数猜想就是说，在k任意大时（7）式和（8）式都有[[小于]]<math>P^{2}_{K+1}-6</math>的解。
问题已经转入初等数论范围。

== 数量对比 ==
例如，相差2的孪生素数和相差4的孪生素数在100以内是8对；而相差6的孪生素数在100以内是15对，
（3）式（6）式与（9）式的差别在于第二项：

（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-2</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）（3）或者（6）

 （<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）（9）
（3）式或者（6）式是（<math>p_{2}-2</math>）；（9）式是（<math>p_{2}-1</math>）.即模是素数3的时候，相差6的孪生素数公式中最小剩余只有一个，所有（<math>p_{2}-1</math>）；而相差2的孪生素数和相差4的孪生素数最小剩余有两个，所以（<math>p_{2}-2</math>）。
=='''广义孪生素数猜想等价于哥德巴赫猜想'''==
如果s=1,2,3,4，....。都成立，那么广义孪生素数猜想等价哥德巴赫猜想。
这是因为<math>p</math>+（<math>p+2s</math>）=
2（<math>p+s</math>）=偶数。
'''
== 需要的定理--埃拉托斯特尼区间筛法 ==  
       將1至<math>p_{1}p_{2}p_{3}</math>...<math>p_{k-2}p_{k-1}p_{k}</math>连续的自然数按照<math>p_{k-1}p_{k}</math>为一个区间，分为<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}</math>个区间，依次按2，3，⏎
⏎
5,....順序⏎
⏎
篩，篩K次後， 任兩個含連續自然數個數相等的區間，被篩（或末被篩）數相差不超過K。
（中国科学院的数学家认为这个是十分显然的，毫无疑问的）
    
       說明：本篩法與埃拉托斯特尼篩法不同，埃氏篩先用2篩，然後把2的倍數剔除掉；再用3篩，然後又把3的倍 
   數剔除掉；再用5篩，…。本篩法也是按照2,3,5，...順序篩,用不大於的素數去篩（不得用大於的素數去篩），
只 是已篩過的數數不馬上剔除掉，而是做上標記，等全部篩完過後再把篩過的數剔除掉。於是，有一些含有
幾個不同 素因數的數可能就要被篩幾遍，例如，“6”就要被“2”和“3”各篩一遍。 
    
    證明：根據除法算式定理：“給定正整數a和b，b≠0，存在惟一整數b和q，使a=bq+r”得知，如果
從a中篩 bm形數，a個連續自然數中，最多含有q個bm形數，r個連續自然數中，最多含有1個形數。 
    例如a=35，b=3。 35個連續自然數中最多含有11+1=12個3m形數。如36—70有12個3m形數，1－35
有11個3m形數。 
    現在設某兩個區間為A與B，含自然數的個數分別為|A|與|B|，|A|=|B|，下證明P去篩，兩個區間被
篩形數（或 未被篩數）個數相差最多不超過1，由上所述篩法，用順序素數2,3,5,..依次去篩，兩個區間每次被篩形數
（或未被篩數） 個數相差最多不超過1，故篩次兩區間被篩數（或未被篩數數）個數最多不超過個。 
    
    證法（1），設|A|=a=bq+r,則|B|=a=bq+r，即區間A和B中均至少含有q（q>1）個bm形數，又由於
r<b，故r個連續 自然數中至多有一個形數，即被篩bm形個數相差不超過1。 
    
    證法（2），假若不然，篩K次有兩個區間A與B，被篩數相差大於K，比如有K+1個，那會出現現什麼
問題呢？我們問第是個什麽數，見圖，假如與用2和3篩，如果出現了相差3個，第一個記為形，第二個記為形，問第三個（？
）是什麼形式，（每一方括号表示一個自然數，）。 
    
    A：[][]...[] --------------------------- [][][][][][] 
    
   B：[][]...[][2m][3m][？]-----------------------[][][] 
    
        已篩過部分--------------------   未篩過部分 
   
    如果第三個（？）是2m或3m形，顯然與除法算式定理矛盾；如果不是2m或3m形，它就不應“站在”
已篩過部分行列，無論哪種情況，假設都不成立，證畢。 
  '''为什么区间要大于<math>2p_{k}</math>''' 
   如果区间小于<math>2p_{k}</math>，并且不按照顺序筛法，就会出现其它异常。例如，我们直接用5和
7筛，区间为2×5-1=9个自然数； 
    
   A区间：31,32,33,34,35,36,37,38,39；（用5和7筛，只筛掉35） 
   
   B区间：13,14,15,16,17,18,19,20,21.（用5和7筛，筛掉14,15,20,21有四个）。 
    
   筛2次相差3个。如果先用2和3筛过，实际上只是相差1个（35）。B区间实际上都是已经筛过的。如果区间
加大一个自然数， 使得区间≥<math>2p_{k}</math>，上面构造就不能成立。 筛法里面有许许多多问题值得研究。

== 证明提纲 ==
【1】将1至<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}p_{k-1}p_{k}</math>按（<math>p_{k-1}p_{k}</math>为一组，划分成<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}</math>个组（或区间）

[1，（<math>p_{k-1}p_{k}</math>）], 

 [（<math>p_{k-1}p_{k}</math>）+1，2（<math>p_{k-1}p_{k}</math>）]，

....，

[<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}p_{k-1}p_{k}</math>—（<math>p_{k-1}p_{k}</math>+1，<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}p_{k-1}p_{k}</math>]。

（4）式就是筛2k次。

【2】证明[1，（<math>p_{k-1}p_{k}</math>）]有解，就是证明了[1，<math>p^{2}_{k+1}</math>]有解，因为（（<math>p_{k-1}p_{k}</math>）小于<math>p^{2}_{k+1}</math>。

【3】如果第一区间无解，根据定理：“两个含自然数个数相等的区间筛k次被筛数相差不超k“。其它区间的解数就不会超高2k。还有<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}</math>-1个区间，总解数不超过

（<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}</math>—1）x2k个，

而：
（<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}</math>—1）2k个<（<math>p_{1}p_{2}</math>...<math>p_{k-2}</math>）2k个<（<math>p_{1}-1</math>)（<math>p_{2}-2</math>)（<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>).

【4】对比：第二项作为分母，第三项作为分子，第三项（<math>p_{i}-2</math>）对应第二项<math>p_{i-1}</math>。

前面11项为：
:<math>\frac{2-1}{1} \times \frac{3-2}{2} \times </math><math>\frac{5-2}{3} \times \frac{7-2}{5} \times </math><math>\frac{11-2}{7} \times \frac{13-2}{11} \times </math>...:<...<math>\frac{31-2}{29} \times \frac{37-2}{31} </math>=1.086

后面每一项分子大于分母或者等于分母：

:<math>\frac{41-2}{37} \times \frac{43-2}{41}\times  </math>,...×<math>\frac{P_{K-1}-2}{P_{K-2}} \times \frac{P_{K}-2}{2K} </math>.

当k>7时，(<math>P_{K}-2</math>)>2K,即17-2>2X7=14. 

【5】。也就是说，如果第一区间无解，其它区间的解就会少于（1）(2)式固有的解数（3）式。而（3）式的解数是由孙子定理得来的。与孙子定理矛盾，必然是错误的。

=== 例题 ===
有人说最后一对孪生素数是59和61，请证明错误或者正确

'''证明'''：

【1】假定59与61是最后一对孪生素数，那么对于下面：

:<math>q=2m_{1}+b_{1}=3m_{2}+b_{2}=\dots=61m_{18}+b_{18} \qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (*)</math>
（61是第18个素数）
 就没有小于<math>67^{2}-2</math>的解，我们把2x3x5x7x....x53x59x61,按照59x61为一组。

分成2x3x5x7x....x53个区间：

[1，,59X61],

[59X61+1,2X59X61]

,...,

[2x3x5x7x....x53x59x61-59x61+1,2x3x5x7x....x53x59x61].

【2】如果第一区间无解，则其它区间的解，根据引理，也不会超高2k个，还有
2x3x5x7x....x53-1个区间，解数不超高（2x3x5x7x....x53-1）2x18个，而：
（2x3x5x7x....x53-1）2x18<（2x3x5x7x....x53）2x18<（2-1）（3 -2）（5 -2）.....（59 -2）（61 -2).
第二项与第三项比较：第三项大于第二项，说明原来假设是错误的。

== 参考文献 ==
#《一万个世界之谜》湖北少儿出版社，梁宗巨主编。
#《谈谈素数表达式》【中等数学】1999年2期；
#《关于一个寻找素数方法的理论依据》【中等数学】2003年4期；
#《孪生质数公式》【中等数学】2000年1期。
[[Category:質數猜想]]
[[Category:素数猜想]]


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[[Category:素数猜想]]

[[bn:জোড় মৌলিক অনুমান]]
[[en:Twin prime conjecture]]
[[eo:Ĝemela prima konjekto]]
[[es:Conjetura de los números primos gemelos]]
[[fr:Conjecture des nombres premiers jumeaux]]
[[he:השערת המספרים הראשוניים התאומים]]
[[hu:Ikerprím-sejtés]]
[[it:Congettura dei numeri primi gemelli]]
[[ko:쌍둥이 소수 추측]]
[[pt:Conjectura dos primos gêmeos]]
[[simple:Twin Prime Conjecture]]
[[sv:Primtalstvillingsförmodan]]
[[th:ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด]]