Revision 55939 of "广义孪生素数猜想" on zhwikibooks

广义孪生素数猜想是指是否有无穷多个素数<math>p</math>，使得<math>p+2s</math>也是素数，s=1,2,3，....。其内容包括了孪生素数猜想，表兄弟素数猜想，六素数猜想，....。 
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2s''都是素数。}}
== 孪生素数猜想 ==
参见[[孪生素数猜想]]
	{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 2''都是素数。}}s=1.
=== 孪生素数的公式 ===
利用素数的判定法则，可以得到以下的结论：“若自然数<math>q</math>与<math>q+2</math>都不能被任何不大于<math>\sqrt{q+2}</math>的素数
[[整除]]，则<math>q</math>与<math>q + 2</math>都是素数”。这是因为一个自然数<math>n</math>是素数[[当且仅当]]它不能被任何小于等于<math>\sqrt{n}</math>的素数整除。

用数学的语言表示以上的结论，就是：
:存在一组自然数<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>，使得
:<math>q=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+b_{k} \qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (1)</math>

其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示从小到大排列时的前''k''个素数：2，3，5，....。并且满足
:<math>\forall 1 \le i  \le k, \ \ 0 < b_{i} < p_{i}, \ b_{i} \neq 0, \ b_{i} \neq p_{i} - 2.</math>

这样解得的自然数<math>q</math>如果满足<math>q<p^{2}_{K+1}-2</math>,则<math>q</math>与<math>q+2</math>是一对孪生素数。

我们可以把（1）式的内容等价转换成为同余方程组表示：

:<math>q \equiv b_1 \pmod{p_1}, q \equiv b_2 \pmod{p_2}, \dots, q \equiv b_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \qquad  \cdots \qquad (2)</math>

由于（2）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math>都是素数，因此两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>，（2）式有唯一一个小于<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>的正整数解。
=== 范例 ===
例如k=1时，<math>q=2m_{1}+1</math>，解得<math>q=3, 5</math>。由于<math>5<3^2-2</math>，所以可知<math>3</math>与<math>3+2</math>、<math>5</math>与<math>5+2</math>都是孪生素数。这样就求得了[[区间]]<math>(3, 3^2)</math>里的全部孪生素数对。
 
又比如k=2时，列出方程<math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得<math>q=5, 11, 17</math>。由于<math>17<5^2-2</math>，所以<math>11</math>与<math>11+2</math>、<math>17</math>与<math>17+2</math>都是了孪生素数。由于这已经是所有可能的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>值，所以这样就求得了区间<math>(5, 5^2)</math>的全部孪生素数对。
{| class="wikitable"
|-
! k=3时 !! <math>5m_{3}+1</math> !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+4</math>
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>= || 11,41 || 17 || 29
|}
由于这已经是所有可能的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>值，所以这样就求得了区间<math>(7, 7^2)</math>的全部孪生素数对。
{| class="wikitable"
|-
! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+2</math> !! <math>7m_{4}+3</math> !! <math>7m_{4}+4</math> !! <math>7m_{4}+6</math>
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math>= || 71 || 191 || 101 || 11 || 41
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math>= || 197 || 107 || 17 || 137 || 167
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+4</math>= || 29 || 149 || 59 || 179 || 209
|}
　　 　由于这已经是所有可能的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>值，所以这样就求得了区间<math>(11, 11^2)</math>的全部孪生素数对（8个小于121-2的解）。　　　 　　

仿此下去可以一个不漏地求得任意大的数以内的全部孪生素数对。对于所有可能的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>值，(1)和(2)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，有

（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-2</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）（3）
个解。
=== 结论推广 ===
孪生素数猜想就是在k值任意大时（1）和（2）式都有小于<math>p^{2}_{k+1}-2</math>的解。
== 相差4的孪生素数猜想 ==
 相差4的孪生素数是指两个素数之间相差4，例如：3,7；7,11；13,17；19,23；37,41；43,47；67,71；79,83,；...。这一列素数对是否有无穷多个？这就是相差4的孪生素数猜想。{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 4''都是素数。}},s=2.相差4的孪生素数与相差2的孪生素数在总体上数量基本一样。（详见参考文献）
=== 相差4的孪生素数公式 ===	
已经知道定理：
 
“若自然数w与w+4都不能被不大于<math>\sqrt{w+4}</math>任何素数
 
整除，则w与w+4都是素数，我们称为相差4的孪生素数，又叫cousin数”。
 
这是利用[[素数判定法则]]“若自然数n不能被不大于<math>\sqrt{n}</math>任何素数
 
整除，则n是一个素数。（代数学辞典259页，上海教育出版社1985年版）
 
我们可以把定理的汉字内容等价转换成为英语字母表示：
 
<math>w=p_{1}m_{1}+f_{1}=p_{2}m_{2}+f_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+f_{k} </math>（4）
 
其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。f≠0,f≠<math>p_{i}-4</math>。
 
若<math>w<P^{2}_{K+1}-4</math>,则w与w+4是一对素数。
 
我们可以把（4）式内容等价转换成为同余式组表示：
 
:<math>w \equiv f_1 \pmod{p_1}, w \equiv f_2 \pmod{p_2}, \dots, w \equiv f_k \pmod{p_k} (5)</math>
 
由于（5）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的<math>f_{1}</math>，<math>f_{2}</math>，...，<math>f_{k}</math>，（5）式在
 
<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内有唯一解。	
=== 范例 ===
 例如k=1时，<math>w=2m_{1}+1</math>，解得w=3。3<3²-4，得知3与3+4是相差4的孪生素数。求得了
（3，3²）区间的全部相差4的孪生素数。
 
k=2时，<math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得w=13，19； 19<5²-4。得知13与13+4,19与19+4都是相差4的孪生素数。求得了（5，5²）区间的全部相差4的孪生素数。
 
	
{| class="wikitable"
 
	
|-
 
	
! k=3时 !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+3</math> !! <math>5m_{3}+4</math>
 
	
|-
 
	
| <math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>= || 37 || 13,43 || 19
 	
|}
 
求得了（7，7²）区间的全部相差4的孪生素数。即：37与37+4,43与43+4，....，都是相差4的孪生素数。
 
	
{| class="wikitable"
 
	
|-
 
	
! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+2</math> !! <math>7m_{4}+4</math> !! <math>7m_{4}+5</math> !! <math>7m_{4}+6</math>
 
	
|-
 
−	
| <math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2</math>=  || 127 || 37 || 67 || 117 || 97
 
	
|-
 
	
| <math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math>=  || 43 || 163 || 193 || 103 || 13
 
	
|-
 
	
| <math>w=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4</math>=  || 169 || 79 || 109 || 19 || 139
 
	
|}  求得了（11,11²）区间的全部相差4的孪生素数。
 
	
仿此下去可以求得任意大的数以内的全部相差4的孪生素数。并且一个不漏地求得。对于所有可能的<math>f_{1}, f_{2} \cdot , f_{k}</math>值，(4)和(5)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，有：

（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-2</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）。（6）

个解。
 
	
=== 猜想 ===
 
	
相差4的孪生素数猜想就是说，在k任意大时（4）和（5）式都有小于<math>P^{2}_{K+1}-4</math>的解。
 
== 相差6的孪生素数猜想 ==
相差6的孪生素数就是指两个素数之间相差6，例如：5,11；7,13；11,17；13,19；17,23；23,29；31,37；37,43；41,47；
47,53；53,59；61,67；67,73；73,79；83,89；....。
1,17；13,19；23,29；....。与孪生素数（相差2的一对素数）相差4的孪生素数（相差4的一对素数）概念基本相同。相差6的孪生素数猜想是指这种相差6的素数是否有无穷多对。
{{squote|w=50%|存在无穷多个素数''p''，与''p + 6''都是素数。}}s=3.
 
=== 相差6的孪生素数公式 ===  
    
 已经知道定理：
 “若自然数R与R+6都不能被不大于<math>\sqrt{R+6}</math>任何素数         
 整除，则R与R+6都是素数，我们称为相差6的孪生素数”。这是依据[[素数判定法则]]得出的。   
 我们可以把定理的[[汉字]]内容等价转换成为[[英语]][[字母]]表示：   
 相差6的孪生素数公式   
　　<math>R=p_{1}m_{1}+e_{1}=p_{2}m_{2}+e_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+e_{k}.</math>(7)   
       
 　　其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。<math>e_{i}</math>≠0,<math>e_{i}</math>≠<math>p_{i}-6</math>。   
       
 若<math>R<P^{2}_{K+1}-6</math>,则R与R+6是一对相差6的孪生素数。   
 我们可以把（7）式内容等价转换成为同余式组表示：   
     
 :<math>R \equiv e_1 \pmod{p_1}, R \equiv e_2 \pmod{p_2}, \dots, R \equiv e_k \pmod{p_k} (8)</math>   
       
 　 由于（8）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，
对于给定的e值，（8）式<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内有唯一解。  
 
  
=== 范例 === 
  
 　　例如，k=2时，   
    
 <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得R=7，13； 13<5²-6。得知7与7+6,13与13+6都是6素数。   
    
 <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得R=5，11，17； 17<5²-6。得知5与5+6,11与11+6，17与17+6都是相差6的孪生素数   
    
 求得了（3，5²）区间的全部相差6的孪生素数R。   
 {| class="wikitable"   
 |-   
 ! k=3时 !! <math>5m_{3}+1</math> !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+3</math>   
 |-   
 |  <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>=|| 31 || 7,37 || 13   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>= || 11,41 || 17 || 23   
 |}   
       
 　求得了（5，7²）区间的全部相差6的孪生素数中的R。   
 {| class="wikitable"   
 |-   
 ! k=4时 !! <math>7m_{4}+2</math> !! <math>7m_{4}+3</math> !! <math>7m_{4}+4</math> !! <math>7m_{4}+5</math> !! <math>7m_{4}+6</math>   
 |-   
 |  <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+1</math>=|| 121 || 31 || 151 || 61 || 181   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2</math>= || 37 || 157 || 67 || 187 || 97   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math>= || 163 || 73 || 193 || 103 || 13   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math>= || 191 || 101 || 11 || 131 || 41   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math>= || 107 || 17 || 137 || 47 || 167   
 |-   
 | <math>R=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+3</math>= || 23 || 143 || 53 || 73 || 83   
 |}   
 求得了（7,11²）区间的全部6素数中R（小于121-6的18个数值）,仿此下去可以求得[[任意]]大的[[数]]以内的全部6
素数。并且一个不漏地求得。 
     
 由孙子定理知，对于所有可能的<math>e_{1}, e_{2} \cdot , e_{k}</math>值，(7)和(8)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，有

：（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）（9）。

个解。   
 两式的本质是从<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 中剔除掉<math>p_{i}m_{i}</math>（m>1)   
 的合数和<math>p_{1}-6</math>，<math>p_{2}-6</math>，...，<math>p_{k}-6</math>.。   
   
 
=== 猜想 === 
 
 相差6的孪生素数猜想就是说，在k任意大时（7）式和（8）式都有[[小于]]<math>P^{2}_{K+1}-6</math>的解。
问题已经转入初等数论范围。

== 数量对比 ==
例如，相差2的孪生素数和相差4的孪生素数在100以内是8对；而相差6的孪生素数在100以内是15对，
（3）式（6）式与（9）式的差别在于第二项：

（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-2</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）（3）或者（6）

 （<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）（9）
（3）式或者（6）式是（<math>p_{2}-2</math>）；（9）式是（<math>p_{2}-1</math>）.即模是素数3的时候，相差6的孪生素数公式中最小剩余只有一个，所有（<math>p_{2}-1</math>）；而相差2的孪生素数和相差4的孪生素数最小剩余有两个，所以（<math>p_{2}-2</math>）。
=='''广义孪生素数猜想等价于哥德巴赫猜想'''==
如果s=1,2,3,4，....。都成立，那么广义孪生素数猜想等价哥德巴赫猜想。
这是因为<math>p</math>+（<math>p+2s</math>）=
2（<math>p+s</math>）=偶数。
'''
== 附三胞胎素数 ==
在[[数论]]中，'''三胞胎素数'''（也称为'''三生素数'''）是一类由三个连续[[素数]]组成的数组。三胞胎素数的定义类似于[[孪生素数]]，它的名字也正是由此而来。
== 定义 ==
正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：
# A类三胞胎素数，构成为<math>(p, p+2, p+6)</math>，相差2的两个孪生素数在前面，例如：(5，7，11)；(11，13，17)； (17，19，23)；等等。
# B类三胞胎素数，构成为<math>(p, p+4, p+6)</math>，相差2的两个孪生素数在后面，例如：(7，11，13)；(13，17，19)；(37，41，43)；等等。    
当素数''p'' 大于3时，可以证明形同<math>(p, p+2, p+4)</math>的数组不可能是三胞胎素数{{cite book | title = ''Prime numbers: a computational perspective''| author =Richard E. Crandall, Carl Pomerance | publisher = Springer, 第二版| year =2005 | isbn =978-0387252827 }}第77页.</ref>。事实上，这三个数对3的模两两不同，所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大，因此一定有一个是3的倍数，从而这个数不是素数。
== 公式 ==
=== A类三胞胎素数 ===
为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数，可以利用一下的定理：“若自然数<math>A-2, A, A+4</math>都不能被不大于<math>\sqrt{A+4}</math>的任何素数整除，则<math>A-2, A</math>与<math>A+4</math>都是素数”。 这个定理的证明用到一个简单的事实：如果一个自然数<math>A</math>不能被不大于<math>\sqrt{A}</math>的任何素数整除，则<math>A</math>是素数。
考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前''k'' 个素数<math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>。解方程：
:<math>A=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+b_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (1)</math>
其中<math>b_{i} \neq 0</math>，<math>b_{i} \neq 2</math>，<math>b_{i} \neq p_{i}-4</math>（保证<math>A-2, A, A+4</math>都不能被任一个素数整除），<math>1 \le b_{i} \le p_{i} - 1</math>。 
 
如果解出<math>A<p^{2}_{k+1}-4</math>，则<math>A-2,A</math>与<math>A+4</math>是一组三胞胎素数。 
  
我们可以把（1）式内容等价转换成为[[同余]]方程组表示： 
:<math>A \equiv b_1 \pmod{p_1}, \  A \equiv b_2 \pmod{p_2}, \  \cdots,\  A \equiv b_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (2)</math> 
由于（2）式的模<math>p_{1}</math>、<math>p_{2}</math>、……、<math>p_{k}</math> 是素数，两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的<math>b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{k}</math>，（2）式在<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>范围内有唯一解。
=== A类三胞胎素数的例子 ===
例如k=2时，<math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得<math>A=7, 13, 19</math>。这三个素数都满足<math>A<p^{2}_{k+1}-4</math>的条件：<math>7, 13, 19<5^2-4</math>，因此，这三个素数所对应的素数组：
:7-2，7与7+4；
:13-2，13与13+4；
:19-2，19与19+4
都是三胞胎素数组。
这样，就求得了区间<math>(5, 5^2)</math>中的全部A类三胞胎素数。 
又如当k=3时，设有方程组<math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math>，解得<math>A=13</math> 与<math>A=43</math>。其中出现一个新的素数43，而<math>43<7^2-4</math>。因此，43-2，43与43+4也是一组三胞胎素数。
又比如求解方程组<math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4</math>，解得<math>A=19</math>，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。
由于余数不能是0、2或对应的素数减去4，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算已经求得了区间<math>(7,7^2)</math>的全部A类三胞胎素数。
{| class="wikitable"
|-
! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+4</math> !! <math>7m_{4}+5</math> !! <math>7m_{4}+6</math>
|-
| <math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3</math> || 43 || 193 || 103 || 13
|-
|<math>A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4</math>  || 169 || 109 || 19 || 139
|}
已经得到区间<math>(11,11^2)</math>的全部A类三胞胎素数
=== B类三胞胎素数 ===
对于B类的三胞胎素数，也可以用类似的结论：“若自然数<math>B-4, B, B+2</math>都不能被不大于<math>\sqrt{B+2}</math>任何素数整除，则<math>B-4, B</math>与<math>B+2</math>都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。
于是同样地，考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前''k'' 个素数<math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>。解方程：
:<math>B=p_{1}m_{1}+C_{1}=p_{2}m_{2}+C_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+C_{k}\qquad \qquad \cdots \quad (3) </math>  
其中<math>c_{i} \neq 0 </math>、<math>c_{i} \neq 4</math>、<math>c_{i} \neq p_{i} - 2 </math>。 
而如果<math>B<p^{2}_{k+1}-2</math>，则<math>B-4, B</math>与<math>B+2</math>是一组三胞胎素数。 
我们可以把（3）式内容等价转换成为同余方程组表示： 
:<math>B \equiv c_1 \pmod{p_1}, B \equiv c_2 \pmod{p_2}, \dots, B \equiv c_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad  (4)</math>
  
同样地，由于（4）式中的模<math>p_{1}</math>、<math>p_{2}</math>、……、<math>p_{k}</math> 是素数，两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的<math>c_{1}, c_{2}, \cdots , c_{k}</math>，（4）式在<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>范围内有唯一解。
=== B类三胞胎素数的例子 ===
例如k=2时，<math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得B=11，17。这两个素数都满足<math>B<p^{2}_{k+1}-2</math>的条件：<math>11, 17<5^2-2</math>，因此我们得到两组B类三胞胎素数：
:11-4，11与11+2；
:17-4，17与17+2；
这样，就求得了区间<math>(5, 5^2)</math>中的全部B类三胞胎素数。  
又比如当k=3时，解方程组<math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+2</math>，解得B=11，41。这两个素数都满足<math>B<p^{2}_{k+1}-2</math>的条件：<math>11, 41<7^2-2</math>，因此我们得到一组新的B类三胞胎素数：
:41-4，41与41+2。
而解方程组<math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math>，得B=17，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。
由于余数不能是0、4或对应的素数减去2，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算
已经求得了区间<math>(7, 7^2)</math>的全部B类三胞胎素数。 
{| class="wikitable"
|-
! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+2</math>  !! <math>7m_{4}+3</math>  !! <math>7m_{4}+6</math> 
|-
| <math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math> || 71 || 191 || 101 || 41
|-
| <math>B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math> || 197 || 107 || 17 || 167
|}已经求得了区间<math>(11, 11^2)</math>的全部B类三胞胎素数。
仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数，并且一个不漏地求得。
== 三胞胎素数猜想 ==
有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？这个问题迄今尚未解决。同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？用三胞胎素数公式的角度，就是以上的（1）（2）（3）（4）四个方程组k值任意大时是否都有小于<math>p_{k+1}^2-4</math> 或 <math>p_{k+1}^2-2</math> 的解。由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。同时，上面四个公式也把这个问题转入初等数论范围。
== 参考文献 ==
#《一万个世界之谜》湖北少儿出版社，梁宗巨主编。
#《谈谈素数表达式》【中等数学】1999年2期；
#《关于一个寻找素数方法的理论依据》【中等数学】2003年4期；
#《孪生质数公式》【中等数学】2000年1期。