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Ein '''parametrischer Oszillator''' ist ein [[harmonischer Oszillator]], dessen Parameter (die Frequenz <math>\omega</math> sowie die Dämpfungskonstante <math>\beta</math>) eine zeitabhängige Funktion sind. 

:<math>
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \beta(t) \frac{dx}{dt} + \omega^{2}(t) x = 0
</math>

(contracted; show full)

:<math>
q(t) = A(t) \cos \omega_{p}t + B(t) \sin \omega_{p}t
</math>

In dieser Gleichung wurden die Komponenten <math>\cos \omega_{p}t</math> und <math>\sin \omega_{p}t</math>, welche sich schnell verändern, ausfaktorisiert. Damit lassen sich die langsamen Änderungen der Amplituden <math>A(t)</math> und <math>B(t)</math> isolieren. Diese Methode nennt man... This corresponds to Laplace's variation of parameters method.

S
ubstituting this solution into the transformed equation and retaining only the terms first-order in <math>f_{0} \ll 1</math> yields two coupled equationsetzt man diese Lösung in die transformierte Differentialgleichung ein und behält nur Terme erster Ordnung in <math>f_{0} \ll 1</math>, so erhält man zwei gekoppelte Gleichungen

:<math>
2\omega_{p} \frac{dA}{dt} = 
\left( \frac{f_{0}}{2} \right) \omega_{n}^{2} A - 
\left( \omega_{p}^{2} - \omega_{n}^{2} \right) B
</math>

:<math>
2\omega_{p} \frac{dB}{dt} = 
-\left( \frac{f_{0}}{2} \right) \omega_{n}^{2} B + 
\left( \omega_{p}^{2} - \omega_{n}^{2} \right) A
</math>

We may decouple and solve these equations by making another change of variablesDieses Gleichungssystem lässt sich mit Hilfe einer weiteren Variablentransformation entkoppeln und lösen

:<math>
A(t) \equiv r(t) \cos \theta(t)
</math>

:<math>
B(t) \equiv r(t) \sin \theta(t)
(contracted; show full)* [[Optical parametric amplifier]]

[[Category:Oscillators]]
[[Category:Amplifiers]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Ordinary differential equations]]

</pre>