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Ein '''parametrischer Oszillator''' ist ein [[harmonischer Oszillator]], dessen Parameter (die Frequenz <math>\omega</math> sowie die Dämpfungskonstante <math>\beta</math>) eine zeitabhängige Funktion sind. 

:<math>
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \beta(t) \frac{dx}{dt} + \omega^{2}(t) x = 0
</math>

(contracted; show full)nander unabhängigen Änderungen der Dämpfung und Resonanzfrequenz, <math>g(t)</math> und <math>h(t)</math>, sich in einer Funktion <math>f(t)</math> zusammenfassen lassen. Die Funktion <math>f</math> wird auch als Pumpfunktion bezeichnet. Folglich kann jede Form einer parametererregten Schwingung sowohl durch Änderung der Resonanzfrequenz als auch durch Änderung der Dämpfung oder beidem geschehen.

==Lösung der transformierten Gleichung==

Wir nehmen an, dass 
die Pumpfunktion <math>f(t)</math> sinusförmig ist, und sich schreiben lässt als

:<math>
f(t) = f_{0} \sin 2\omega_{p}t
</math>

wobei die Pumpfrequenz <math>2\omega_{p} \approx 2\omega_{n}</math> ungefähr der gedämpften Schwingfrequenz entspricht. Eine exakte Übereinstimmung ist nicht notwendig. Die Lösung <math>q(t)</math> der transformierten Differentialgleichung lässt sich schreiben als

:<math>
q(t) = A(t) \cos \omega_{p}t + B(t) \sin \omega_{p}t
</math>

where we have factored out the rapidly varying cIn dieser Gleichung wurden die Komponents (en <math>\cos \omega_{p}t</math> aund <math>\sin \omega_{p}t</math>) to isolate the slowly varying a, welche sich schnell verändern, ausfaktorisiert. Damit lassen sich die langsamen Änderungen der Amplitudesn <math>A(t)</math> aund <math>B(t)</math>. isolieren. Diese Methode nennt man... This corresponds to Laplace's variation of parameters method.

Substituting this solution into the transformed equation and retaining only the terms first-order in <math>f_{0} \ll 1</math> yields two coupled equations

:<math>
2\omega_{p} \frac{dA}{dt} = 
\left( \frac{f_{0}}{2} \right) \omega_{n}^{2} A - 
\left( \omega_{p}^{2} - \omega_{n}^{2} \right) B
(contracted; show full)* [[Optical parametric amplifier]]

[[Category:Oscillators]]
[[Category:Amplifiers]]
[[Category:Dynamical systems]]
[[Category:Ordinary differential equations]]

</pre>