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'''Iteration''' (von [[Latein|lat.]] ''iterare'' ,wiederholen‘) wird als Begriff in mehreren Anwendungsbereichen mit unterschiedlicher Bedeutung verwendet:

== Numerische Mathematik ==

In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]]  bezeichnet er eine Methode, sich der exakten Lösung eines Rechenproblems schrittweise, aber zielgerichtet anzunähern ''(sukzessive [[Approximation]])''. Sie besteht in der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens.

Meistens ''iteriert'' man mit [[Rückkopplung]]: Die Ergebnisse eines Iterationsschrittes werden als Ausgangswerte des jeweils nächsten Schrittes genommen – bis das Ergebnis (beziehungsweise Veränderung einer Bestandsgröße) zufrieden stellt. Ein Beispiel dafür ist das [[Newton-Verfahren]]. Manchmal setzt man den nächsten Schritt aus den Ergebnissen der vorherigen zwei Schritte (oder vor noch mehr Schritten) an, zum Beispiel bei der [[Regula Falsi]].

Es muss anschließend noch [[Beweis (Mathematik)|bewiesen]] werden, dass die Iterationsfolge konvergiert und dass der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] mit der gesuchten Lösung übereinstimmt. Die Geschwindigkeit der [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] ist ein Maß dafür, wie brauchbar die Iterationsmethode ist.

=== Anwendung der Methode ===

* Iteration wird angewandt in Fällen, in denen das Ergebnis sich nicht in geschlossener Form berechnen lässt, zum Beispiel bei der [[Kepler-Gleichung]] oder allgemeiner bei [[Optimierungsverfahren]], oder  wenn nachgebessert werden muss ([[Lineares Gleichungssystem|Gleichungssystem]]e);
* Bei Anwendungsproblemen können die Eingabedaten fehlerbehaftet sein, dann ist die „exakte Lösung“ des gegebenen Problems nicht notwendigerweise besser als ihre Approximation. Das Iterationsverfahren wird bevorzugt, wenn es eine gute Näherung schneller liefert, als die Berechnung der exakten Lösung braucht.
* Manche Funktionen auf [[Taschenrechner]]n oder [[Fraktal]]e werden beispielsweise iterativ berechnet.

=== Beispiel: Bestimmung von Nullstellen einer Funktion ===
Approximationen an [[Nullstellen]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] sind, sofern überhaupt eine existiert, iterativ oft rascher gefunden als durch andere algebraische Methoden (etwa als geschlossener Ausdruck):

# Man wählt zwei Näherungswerte <math>x_1,\,  x_2</math> für die Nullstelle der Funktion <math>x\rightarrow f(x)</math> und zwar so, dass <math>f(x_1)\cdot f(x_2)<0</math> ist. (Falls die betrachtete Nullstelle zugleich lokale Extremstelle der Funktion sein sollte, versagt das Verfahren.)
# Man stellt die Gleichung der durch <math>(x_1; f(x_1))</math> und <math>(x_2; f(x_2))</math> gegebenen [[Sekante]] auf.
# Die Schnittstelle <math>x_3 = x_1 -  \frac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)} \cdot f(x_1)</math>  der Sekante mit der x-Achse ist dann ein „besserer“ Näherungswert für die gesuchte Nullstelle von <math>f</math>.
# Man wiederholt die beiden vorgenannten Schritte so lange, bis die Nullstelle mit gewünschter Genauigkeit gefunden ist ([[Regula Falsi]]).

=== Effizienz versus Eleganz ===

Als [[Algorithmus]] ist die Iteration oft [[Effizienz (Informatik)|effizienter]] als der elegantere [[Rekursion|rekursive]] Weg. Zudem ist die rekursive Programmierung fehleranfälliger, weil komplexer, als die iterative Programmierung.<ref>I. Sommerville: ''Software Engineering.'' 8. Auflage. Pearson Studium, 2007</ref>

== Informatik ==
Neben der mathematischen iterativen Problemlösung wird in der [[Informatik]] auch von Iteration gesprochen, wenn ein Zugriff iterativ, das heißt schrittweise, beziehungsweise wiederholt, auf Datenstrukturen erfolgt, beispielsweise bei einer [[Schleife (Programmierung)|FOR-Schleife]]. Hierbei steht der Begriff [[Datenstruktur]] für Sammlungen von [[Objekt (Programmierung)|Objekt]]en, [[Referenz (Programmierung)|Objektreferenzen]] oder [[Datentyp]]en. Der [[Zeiger (Informatik)|Zeiger]] auf diese Objekte nennt sich [[Iterator]]. In der Regel handelt es sich um [[Feld (Datentyp)|Arrays]], [[Liste (Datenstruktur)|Liste]]n, Schlüssel-Wert-Paare (Maps, [[Hash-Funktion|Hash]]es) oder [[Mengenlehre|Menge]]n (Sets).

''Siehe auch: [[Iterative Programmierung]]''

== Linguistik ==

Die [[Iteration (Sprache)|sprachliche Iteration]] bezeichnet die Wiederholung von Wortteilen wie bei ''Ururgroßmutter''.

== Softwaretechnik ==

In der [[Softwaretechnik]] bezeichnet eine Iteration einen einzelnen Entwicklungszyklus, je nach [[Vorgehensmodell (Software)|Vorgehensmodell]] beginnend mit Planung, Analyse oder Entwurf, endend mit Implementierung, Test oder Wartung. Eine besondere Rolle spielen Iterationen beim [[Extreme Programming]] und beim [[Rational Unified Process]]. Bei [[Scrum]] (Agiles Projektmanagement) kommt oft ein iterativer Prozess für die Entwicklung von Software zum Einsatz. Man spricht hier von Feedback-Schleifen in allen Phasen der Planung, Durchführung, Überprüfung und Anpassung.

== Geschichtswissenschaft ==
In der Geschichtswissenschaft bezeichnet der Begriff die wiederholte Ausübung desselben Amtes in der [[Cursus honorum|Ämterlaufbahn]] der [[römische Republik|römischen Republik]]. Nach dem [[Mos maiorum]] war die Iteration verpönt. Beim [[Consulat|Konsulat]] kam die mehrfache, in Ausnahmefällen auch unmittelbar aufeinander folgende Bekleidung des Amtes allerdings schon seit der frühen Republik vor; seit der Verfassungsreform des Diktators [[Lucius Cornelius Sulla Felix|Sulla]] aus dem Jahr 82 v. Chr. war die wiederholte Bekleidung des Konsulats erst nach zehn Jahren erlaubt. Das Iterationsverbot war neben dem [[Kollegialität]]s- und dem [[Annuitätsprinzip]] das wichtigste Mittel, eine gefährliche Machtfülle von Amtsträgern zu verhüten.

Insbesondere in der [[Römische Bürgerkriege|Krise der Republik]] kam die Iteration wiederholt vor: Bekannteste Beispiele sind [[Gaius Sempronius Gracchus]], der sich in drei Jahren hintereinander zum [[Volkstribun]]en wählen lassen wollte, [[Gaius Marius]], der das Konsulat in fünf aufeinanderfolgenden Jahren (104 bis 100 v. Chr) und insgesamt sieben Mal ausübte, sowie [[Gaius Iulius Caesar]], der das Konsulat in den Jahren 59, 48, 46, 45 und 44 v. Chr. bekleidete. In der Kaiserzeit ab [[Augustus]] war die Iteration des Konsulats Zeichen für eine herausgehobene soziopolitische Stellung. Unmittelbar aufeinanderfolgende Konsulate gab es nur bei Angehörigen des Kaiserhauses.

== Philosophie ==
[[Jacques Derrida]] führte den Begriff in die Sprache der [[Philosophie]] ein.<ref> Jacques Derrida (1988): "Signatur, Ereignis, Kontext", in: ''Randgänge der Philosophie''. Hg.: Peter Engelmann. Wien: Passagen </ref> "Iteration" bezeichnet hier die Wiederholung eines Begriffs im philosophischen und gesellschaftlichen Diskurs. Laut Derrida verändert sich mit jeder Wiederholung ("Iteration") eines Begriffs seine Bedeutung, so dass niemals dieselbe Bedeutung reproduziert wird wie beim vorausgehenden Gebrauch des Begriffs. Jede Iteration hat vielmehr eine Variation der Bedeutung zur Folge, die dem ursprünglichen Begriff etwas hinzufügt und ihn bereichert. Eine ursprüngliche Definition von Begriffen, auf die man ihre Bedeutung zurückführen könnte, kann es demnach nicht geben.

== Bauökonomie ==

In der [[Bauökonomie]] ist ein ''iterativer Prozess'' das schrittweise Annähern von ursprünglichen Bauzielen an die machbare Umsetzung.<ref>Robert Fischer, Peter Schwer: ''Module für das Haus der Zukunft'', [[vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich]] und Interact Verlag, Hochschule Luzern, Luzern 2009, S. 14, [http://books.google.com/books?id=nitAImkd7xoC&lpg=PA27&ots=xdvHvdEXKZ&dq=%22iterativer%20Prozess%22%20%2B%20bau%C3%B6konomie&lr&pg=PA14#v=onepage&q&f=true online bei Google bücher], ISBN 978-3-7281-3286-4 (vdf) bzw. ISBN 978-3-906413-72-3 (interact)</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Iteration}}
[http://coding-bereich.de/2010/05/12/php/iterieren-unter-php.html Informatik: Objektiteration unter PHP]

[[Kategorie:Vorgehensmodell (Software)]]
[[Kategorie:Programmierung]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Römische Geschichte]]
[[Kategorie:Abstraktum]]

[[be:Ітэрацыя]]
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[[bg:Итерация]]
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[[en:Iteration]]
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