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'''Iteration''' (von [[Latein|lat.]] ''iterare'' ,wiederholen‘) wird als Begriff in mehreren Anwendungsbereichen mit unterschiedlicher Bedeutung verwendet:

== Numerische Mathematik ==

In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]]  bezeichnet er eine Methode, sich der exakten Lösung eines Rechenproblems schrittweise, aber zielgerichtet anzunähern ''(sukzessive [[Approximation]])''. Sie besteht in der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens.

Meistens ''iteriert'' man mit [[Rückkopplung]]: Die Ergebnisse eines IterationssSchrittes werden als Ausgangswerte des jeweils nächsten Schrittes genommen – bis das Ergebnis (beziehungsweise Veränderung einer Bestandsgröße) zufrieden stellt. Ei. Die Folge der Ergebnisse muss [[Grenzwert (Folge)|konvergieren]]. Wenn die Differenz zum vorangegangenen Rechenschritt kleiner als der akzeptierte Fehler ist, dann ist das Ergebnis hinreichend genau bestimmt, und das Verfahren wird beendet. Eines der bekanntesten Beispiel dafüre ist das [[Newton-Verfahren]]. Manchmal setzt man denim nächsten Schritt aus den Ergebnissen der vorherigen zwei Schritte (oder vor noch mehr aus zwei oder noch mehr vorangehenden Schritten) an, zum Beispiel bei der [[Regula Falsi]].

Es muss anschließend noch [[Beweis (Mathematik)|bewiesen]] werden, dass die Iterationsfolge konvergiert und dass der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] mit der gesuchten Lösung übereinstimmt. Die Geschwindigkeit der [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] ist ein Maß dafür, wie brauchbar die Iterationsmethode ist.

=== Anwendung der Methode ===

* Iteration wird angewandt in Fällen, in denen das Ergebnis sich nicht in geschlossener Form berechnen lässt, zum Beispiel bei der [[Kepler-Gleichung]] oder allgemeiner bei [[Optimierungsverfahren]], oder  wenn nachgebessert werden muss ([[. 
* [[Lineares Gleichungssystem|Lineares Gleichungssystem|Glee]] lassen sich  ungssystem]]e);ter bestimmten Voraussetzungen iterativ lösen.
* Bei Anwendungsproblemen können die Eingabedaten fehlerbehaftet sein, dann ist die „exakte Lösung“ des gegebenen Problems nicht notwendigerweise besser als ihre Approximation. Das Iterationsverfahren wird bevorzugt, wenn es eine gute Näherung schneller liefert, als die Berechnung der exakten Lösung braucht.
* Manche Funktionen auf [[Taschenrechner]]n oder [[Fraktal]]e werden beispielsweise iterativ berechnet.

=== Beispiel: Bestimmung von Nullstellen einer Funktion ===
Approximationen an [[Nullstelle]]n einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] sind, sofern überhaupt eine existiert, iterativ oft rascher gefunden als durch andere algebraische Methoden (etwa als geschlossener Ausdruck):

(contracted; show full)[[nl:Iteratie]]
[[pl:Iteracja]]
[[pt:Iteração]]
[[ru:Итерация]]
[[simple:Iteration]]
[[sv:Iteration]]
[[tr:İterasyon]]
[[uk:Ітерація]]