Difference between revisions 11362057 and 11806331 on trwiki

[[Matematiksel analiz]]'de'''Bessel–Clifford fonksiyonu''', [[Friedrich Bessel]] ve [[William Kingdon Clifford]] anısına atfetdilen  iki [[kompleks değişken]]'li bir [[Tam fonksiyon]]dur. Bu teori [[Bessel fonksiyonu]]na alternatif bir gelişme temin etmek için kullanılabilir.

:<math>\pi(x) = \frac{1}{\Pi(x)} = \frac{1}{\Gamma(x+1)}</math> ise

[[ters Gama fonksiyonu]] vasıtası ile tam fonksiyonu ile tanımlanabilir,daha sonra Bessel-Clifford fonksiyon serisi tanımlandı
:<math>{\mathcal C}_n(z) = \sum_{k=0}^\infty \pi(k+n) \frac{z^k}{k!}</math>

''z''/''k'' (''n''&nbsp;+&nbsp;''k''),ardışık terimlerin oranı ''z'' nin tüm değerleri için ve artan &nbsp;''k'' ile''n'' sıfıra gitme eğilimindedir.
[[oran testi]] ile bu seri tüm ''z'' ve &nbsp;''n'' için kesinlikle yakınsaktır, düzgün |''z''|'nin sınırlı olan tüm bölgeleri için düzgündür ve bunun sonucu olarak Bessel–Clifford fonksiyonu iki karmaşık değişken''n'' ve &nbsp;''z'' bir tam fonksiyondur .

== Bessel-Clifford fonksiyonunun diferansiyel denklemi ==

yukarıdaki  seriden sırasıyla ''x'' ve <math>{\mathcal C}_n(x)</math> diferansiyeli aşağıdaki [[linear differential equation|doğrusal ikinci derece homojen diferansiyel denklem]]'ini karşılar.

:<math>xy'' + (n+1)y' = y. \qquad</math>
Bu denklem, genelleştirilmiş hipergeometrik tip olup aslında Bessel-Clifford fonksiyonu  [[generalized hypergeometric series|Pochhammer–Barnes hipergeometrik fonksiyonu]]'nun bir ölçeklendirme faktörü kadardır;

:<math>{\mathcal C}_n(z) = \pi(n)\ _0F_1(;n+1; z).</math>

n negatif olmadığı sürece,bu durumda sağ taraftaki tanımsızdır, İki tanım esasen eşittir; böylece ''z'' = 0 değerinde  normalize edilen hipergeometrik fonksiyonu tektir.

== Bessel fonksiyonları ile ilişkisi ==

Bessel-Clifford fonksiyonu birinci tür [[Bessel fonksiyonu]] açısından tanımlanabilir.

:<math>J_n(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^n {\mathcal C}_n\left(-\frac{z^2}{4}\right);</math>

Eğer ''n'' tamsayı değilse biz Bessel fonksiyonunun tam olmadığından  sözedebiliriz. Benzer biçimde, birinci tür modifiye Bessel fonksiyonundada tanımlanabilir.
:<math>I_n(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^n {\mathcal C}_n\left(\frac{z^2}{4}\right).</math>

prosedür tabii ki tersine çevrilebilir,böylece Bessel-Clifford fonksiyonu tanımlanabilir, 
:<math>{\mathcal C}_n(z) = z^{-n/2} I_n(2 \sqrt{z});</math>

Birinci tür Bessel-Clifford fonksiyonu açısından tanımlanabilir;
:<math>{\mathcal C}</math> tam idi.

== Bessel fonksiyonu ==

Hemen bu takiple tanımlanan seriden <math>\frac{d}{dx}{\mathcal C}_n(x) = {\mathcal C}_{n+1}(x).</math>

<math>{\mathcal C}</math> 'yi yerine kullanarak diferansiyel denklemi düzeltip yazmak istersek 

:<math>x {\mathcal C}_{n+2}(x) + (n+1){\mathcal C}_{n+1}(x) = {\mathcal C}_n(x),</math> bu formül için

Bessel-Clifford fonksiyonu için tekrarlama ilişkisini tanımlar,sub>0</sub>''F''<sub>1</sub> için bu eşitlikteki benzer bir ilişkidir.[[Gauss sürekli kesri]]'nin özel bir durumudur.

:<math>\frac{{\mathcal C}_{n+1}(x)}{{\mathcal C}_n(x)} = \cfrac{1}{n+1 + \cfrac{x}{n+2+\cfrac{x}{n+3+ \cfrac{x}{\ddots}}}}.</math>

Bu sürekli kesrin her durumda yakınsak olduğu gösterilebilir.

== İkinci türden Bessel-Clifford fonksiyonu ==

:<math>xy'' + (n+1)y' = y \qquad</math>

İki lineer bağımsız çözümü vardır,diferansiyel denklemin bir düzgün tekil noktası orijindedir, ve <math>{\mathcal C}</math> tam olduğundan,İkinci çözüm başlangıç ​​noktasında tekil olmalıdır.
Bizim yapı 

:<math>{\mathcal K}_n(x) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \exp\left(-t-\frac{x}{t}\right) \frac{dt}{t^{n+1}}</math>

<math>\Re(x) > 0</math> için yakınsak,ve analitik devamlıdır,bu diferansiyel denklem için ikinci bir lineer bağımsız çözüm elde edilebilir..
<math>{\mathcal K}</math> ifadesine 1/2 faktorü eklenerek yerleştirilir,ikinci türden Bessel fonksiyonlarına karşılık gelir. Elimizde olan 

:<math>K_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n {\mathcal K}_n\left(\frac{x^2}{4}\right).</math>

ve

:<math>Y_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n {\mathcal K}_n\left(-\frac{x^2}{4}\right).</math>

terimler içinde ''K'' da var; 

:<math>{\mathcal K}_n(x) = x^{-n/2} K_n(2 \sqrt{x}).</math>

Bu nedenle tıpkı birinci tür Bessel fonksiyonu <math>{\mathcal C}</math> heriki cinsindende ifade edilebilir  ve modifiye Bessel fonksiyonu <math>{\mathcal K}</math> heriki cinsindende ifade edilebilir. 

== Üreteç fonksiyonu ==
exp(''t'') için mutlak yakınsak seri ile çarparsak ve 
exp(''z''/''t'') birlikte,(eğer ''t'' sıfır değilse) mutlak yakınsak seri ile exp(''t''&nbsp;+&nbsp;''z''/''t'')serisini alırsak, 
''t'' ortak termdir,<math>{\mathcal C}_n</math> için Biz kuvvet serileri tanımı ile karşılaştırma bulabiliriz. Şu var
:<math>\exp\left(t + \frac{z}{t}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty t^n {\mathcal C}_n(z).</math>
Bu üreteç fonksiyonu sonra daha fazla formülleri elde etmek için kullanılabilir,özellikle de kullandığımız [[Cauchy integral formülü]] ve tamsayı'' n'' için <math>{\mathcal C}_n</math> olarak elde edilir.

:<math>{\mathcal C}_n(z) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{\exp(z+z/t)}{t^{n+1}}\, dt = \frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} \exp(z(1+\exp(-i\theta))-ni\theta))\,d\theta.</math>

== Kaynaklar ==
*{{Citation Kaynak|authorlink=William Kingdon Clifford |last=Clifford |first=William Kingdon |title=On Bessel's Functions |journal=Mathematical Papers |location=London |year=1882 |pages=346–349 }}.
*{{Citation Kaynak|first=A. George |last=Greenhill |title=The Bessel–Clifford function, and its applications |journal=Philosophical Magazine |volume=Sixth Series |year=1919 |pages=501–528 }}.
*{{Citation Kaynak|authorlink=Adrien-Marie Legendre |first=Adrien-Marie |last=Legendre |title=Éléments de Géometrie |series=Note IV |year=1802 |location=Paris |publisher= }}.
*{{Citation Kaynak|first=Ludwig |last=Schläfli |title={{lang|it|Sulla relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati}} |journal=Annali di Matematica Pura ed Applicata |volume=2 |issue=I |year=1868 |pages=232–242 }}.
*{{Citation Kaynak|first=G. N. |last=Watson |authorlink=G. N. Watson |title=A Treatise on the Theory of Bessel Functions |edition=Second |location=Cambridge |publisher=Cambridge University Press |year=1944 |isbn= }}.
*{{Citation Kaynak|first=Rolf |last=Wallisser |chapter=On Lambert's proof of the irrationality of &pi; |title=Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis |editor1-first=Franz |editor1-last=Halter-Koch |editor2-first=Robert F. |editor2-last=Tichy |year=2000 |location=Berlin |publisher=Walter de Gruyer |isbn=3-11-016304-7 }}.

{{DEFAULTSORT:Bessel–Clifford Function}}
[[Kategori:Karmaşık analiz]]
[[Kategori:Özel hipergeometrik fonksiyonlar]]
[[Kategori:Cebirsel sayı kuramı]]

[[en:Bessel–Clifford function]]